Страница 235 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

?6.48. Для каких чисел верно равенство:

а) $|a| = a;$

б) $|a| = -a?$

а)

По определению, модуль (абсолютная величина) числа $a$, который обозначается как $|a|$, равен самому числу $a$ в том случае, если число $a$ неотрицательное, то есть больше или равно нулю.
Следовательно, равенство $|a| = a$ верно для всех чисел $a$, которые удовлетворяют условию $a \ge 0$.
Примеры:
Если $a = 5$, то $|5| = 5$. Равенство верно.
Если $a = 0$, то $|0| = 0$. Равенство верно.
Если $a = -5$, то $|-5| = 5$. В правой части равенства стоит $a$, то есть $-5$. Равенство $5 = -5$ неверно.
Ответ: для всех неотрицательных чисел ($a \ge 0$).

б)

По определению, модуль числа $a$ равен противоположному числу $-a$ в том случае, если число $a$ отрицательное ($a < 0$).
Рассмотрим также случай, когда $a = 0$. Подставим это значение в равенство:
Левая часть: $|0| = 0$.
Правая часть: $-a = -0 = 0$.
Так как $0 = 0$, равенство верно и для $a=0$.
Объединяя эти два случая ($a < 0$ и $a=0$), получаем, что равенство $|a| = -a$ верно для всех неположительных чисел, то есть $a \le 0$.
Примеры:
Если $a = -7$, то $|-7| = 7$ и $-a = -(-7) = 7$. Равенство $7=7$ верно.
Если $a = 0$, то $|0|=0$ и $-a=0$. Равенство $0=0$ верно.
Если $a = 7$, то $|7|=7$, а $-a = -7$. Равенство $7 = -7$ неверно.
Ответ: для всех неположительных чисел ($a \le 0$).

6.49. Найдите модуль (абсолютную величину) числа:

а) $-2.\overline{3}$;

б) $-0.5777$;

в) $-12.0\overline{12}$;

г) $3.0\overline{13}$.

Модулем (или абсолютной величиной) числа называется расстояние от этого числа до нуля на координатной прямой. Модуль всегда является неотрицательной величиной.

• Если число положительное или равно нулю, его модуль равен самому числу: $|a| = a$, при $a \geq 0$.
• Если число отрицательное, его модуль равен противоположному ему положительному числу: $|-a| = a$, при $a > 0$.

а)

Найдём модуль числа $-2,(3)$.

Число $-2,(3)$ является отрицательным. Его модуль равен противоположному числу $2,(3)$.

$|-2,(3)| = 2,(3)$

Ответ: $2,(3)$.

б)

Найдём модуль числа $-0,5777$.

Число $-0,5777$ является отрицательным. Его модуль равен противоположному числу $0,5777$.

$|-0,5777| = 0,5777$

Ответ: $0,5777$.

в)

Найдём модуль числа $-12,0(12)$.

Число $-12,0(12)$ является отрицательным. Его модуль равен противоположному числу $12,0(12)$.

$|-12,0(12)| = 12,0(12)$

Ответ: $12,0(12)$.

г)

Найдём модуль числа $3,0(13)$.

Число $3,0(13)$ является положительным. Его модуль равен самому числу.

$|3,0(13)| = 3,0(13)$

Ответ: $3,0(13)$.

6.50. Найдите число, противоположное числу:

а) $2,5(3);$

б) $-1,(72);$

в) $3,1(12);$

г) $3,0(13).$

Противоположные числа — это два числа, которые равны по модулю (абсолютной величине), но имеют разные знаки. Для любого числа $a$ противоположным ему является число $-a$. Чтобы найти число, противоположное данному, необходимо изменить его знак на противоположный.

а)

Дано число $2,5(3)$. Это положительное число. Противоположное ему число должно быть отрицательным с той же абсолютной величиной.

Следовательно, число, противоположное $2,5(3)$, равно $-2,5(3)$.

Ответ: $-2,5(3)$.

б)

Дано число $-1,(72)$. Это отрицательное число. Противоположное ему число должно быть положительным с той же абсолютной величиной.

Следовательно, число, противоположное $-1,(72)$, равно $-(-1,(72)) = 1,(72)$.

Ответ: $1,(72)$.

в)

Дано число $3,1(12)$. Это положительное число. Противоположное ему число должно быть отрицательным с той же абсолютной величиной.

Следовательно, число, противоположное $3,1(12)$, равно $-3,1(12)$.

Ответ: $-3,1(12)$.

г)

Дано число $3,0(13)$. Это положительное число. Противоположное ему число должно быть отрицательным с той же абсолютной величиной.

Следовательно, число, противоположное $3,0(13)$, равно $-3,0(13)$.

Ответ: $-3,0(13)$.

6.51. Сравните числа:

а) $3,5$ и $3,(5)$;

б) $-2,14$ и $-2,1(4)$;

в) $-3,(2)$ и $4,11$;

г) $-5,(43)$ и $-5,(4)$.

а) Сравним числа $3,5$ и $3,(5)$.

Первое число $3,5$ является конечной десятичной дробью. Второе число $3,(5)$ является бесконечной периодической десятичной дробью. Запишем его в развернутом виде: $3,(5) = 3,555...$

Чтобы сравнить эти два числа, будем сравнивать их цифры по разрядам, начиная слева.

Целые части обоих чисел равны $3$.

Цифры в разряде десятых также равны $5$.

Сравним цифры в разряде сотых. У числа $3,5$ (которое можно записать как $3,50$) в разряде сотых стоит $0$. У числа $3,(5) = 3,555...$ в разряде сотых стоит $5$.

Поскольку $0 < 5$, то и $3,5 < 3,(5)$.

Ответ: $3,5 < 3,(5)$.

б) Сравним числа $-2,14$ и $-2,1(4)$.

Оба числа отрицательные. Чтобы сравнить два отрицательных числа, нужно сравнить их модули (абсолютные величины). Большим будет то число, модуль которого меньше.

Сравним модули чисел: $|-2,14| = 2,14$ и $|-2,1(4)| = 2,1(4)$.

Запишем число $2,1(4)$ в развернутом виде: $2,1(4) = 2,1444...$ Число $2,14$ можно записать как $2,1400...$

Сравниваем $2,1400...$ и $2,1444...$

Целые части, десятые и сотые разряды у чисел совпадают. Сравним тысячные разряды: у первого числа это $0$, у второго – $4$.

Так как $0 < 4$, то $2,14 < 2,1(4)$.

Поскольку мы сравниваем отрицательные числа, знак неравенства меняется на противоположный: $-2,14 > -2,1(4)$.

Ответ: $-2,14 > -2,1(4)$.

в) Сравним числа $-3,(2)$ и $4,11$.

Число $-3,(2)$ является отрицательным, так как $-3,(2) = -3,222...$

Число $4,11$ является положительным.

Любое отрицательное число меньше любого положительного числа.

Следовательно, $-3,(2) < 4,11$.

Ответ: $-3,(2) < 4,11$.

г) Сравним числа $-5,(43)$ и $-5,(4)$.

Оба числа являются отрицательными периодическими дробями. Распишем их:

$-5,(43) = -5,434343...$

$-5,(4) = -5,444444...$

Сравним модули этих чисел: $|-5,(43)| = 5,(43)$ и $|-5,(4)| = 5,(4)$.

$5,(43) = 5,434343...$

$5,(4) = 5,444444...$

Сравниваем эти числа поразрядно. Целые части и десятые разряды совпадают. В сотом разряде у первого числа стоит цифра $3$, а у второго – цифра $4$.

Так как $3 < 4$, то $5,(43) < 5,(4)$.

Поскольку мы сравниваем отрицательные числа, знак неравенства меняется на противоположный: $-5,(43) > -5,(4)$.

Ответ: $-5,(43) > -5,(4)$.

6.52. Округлите числа $a$ и $b$ с точностью до $0,1$ и вычислите приближённо разность $a - b$, если:

а) $a = 12,32, b = 0,1;$

б) $a = 0,\overline{2}, b = -2,323;$

в) $a = 4,2, b = 1,\overline{1};$

г) $a = 45,6\overline{12}, b = 10,\overline{2}.$

а) $a = 12,32, b = 0,1$

Сначала необходимо округлить числа $a$ и $b$ с точностью до 0,1 (до десятых).

Для числа $a = 12,32$, смотрим на цифру в разряде сотых. Это 2. Так как $2 < 5$, то цифру в разряде десятых оставляем без изменений. Таким образом, $a \approx 12,3$.

Число $b = 0,1$ уже представлено с точностью до десятых, поэтому $b \approx 0,1$.

Теперь вычислим приближенную разность $a - b$:

$a - b \approx 12,3 - 0,1 = 12,2$.

Ответ: 12,2

б) $a = 0,(2), b = -2,323$

Сначала необходимо округлить числа $a$ и $b$ с точностью до 0,1 (до десятых).

Число $a = 0,(2)$ является периодической дробью $0,222...$. Для округления до десятых смотрим на цифру в разряде сотых. Это 2. Так как $2 < 5$, округляем в меньшую сторону: $a \approx 0,2$.

Для числа $b = -2,323$, смотрим на цифру в разряде сотых. Это 2. Так как $2 < 5$, округляем в меньшую сторону (по модулю): $b \approx -2,3$.

Теперь вычислим приближенную разность $a - b$:

$a - b \approx 0,2 - (-2,3) = 0,2 + 2,3 = 2,5$.

Ответ: 2,5

в) $a = 4,2, b = 1,(1)$

Сначала необходимо округлить числа $a$ и $b$ с точностью до 0,1 (до десятых).

Число $a = 4,2$ уже представлено с точностью до десятых, поэтому $a \approx 4,2$.

Число $b = 1,(1)$ является периодической дробью $1,111...$. Для округления до десятых смотрим на цифру в разряде сотых. Это 1. Так как $1 < 5$, округляем в меньшую сторону: $b \approx 1,1$.

Теперь вычислим приближенную разность $a - b$:

$a - b \approx 4,2 - 1,1 = 3,1$.

Ответ: 3,1

г) $a = 45,6(12), b = 10,(2)$

Сначала необходимо округлить числа $a$ и $b$ с точностью до 0,1 (до десятых).

Число $a = 45,6(12)$ является периодической дробью $45,61212...$. Для округления до десятых смотрим на цифру в разряде сотых. Это 1. Так как $1 < 5$, округляем в меньшую сторону: $a \approx 45,6$.

Число $b = 10,(2)$ является периодической дробью $10,222...$. Для округления до десятых смотрим на цифру в разряде сотых. Это 2. Так как $2 < 5$, округляем в меньшую сторону: $b \approx 10,2$.

Теперь вычислим приближенную разность $a - b$:

$a - b \approx 45,6 - 10,2 = 35,4$.

Ответ: 35,4

6.53. Найдите приближённо сумму чисел, беря слагаемые с точностью до 0,01:

а) $3,5 + 3,\overline{5}$;

б) $1,359 + 3,2\overline{6}$;

в) $12,351 + 0,\overline{3}$;

г) $7,\overline{41} + 5,\overline{36}$.

Для нахождения приближенной суммы необходимо сначала округлить каждое слагаемое до сотых (с точностью до 0,01), а затем выполнить сложение.

а) $3,5 + 3,(5)$

1. Округлим первое слагаемое $3,5$. Для точности до сотых запишем его как $3,50$.

2. Округлим второе слагаемое $3,(5) = 3,555...$ . Третья цифра после запятой равна 5, поэтому вторую цифру после запятой увеличиваем на единицу: $3,555... \approx 3,56$.

3. Найдем сумму приближенных значений: $3,50 + 3,56 = 7,06$.

Ответ: $7,06$.

б) $1,359 + 3,2(6)$

1. Округлим первое слагаемое $1,359$. Третья цифра после запятой равна 9, поэтому вторую цифру после запятой увеличиваем на единицу: $1,359 \approx 1,36$.

2. Округлим второе слагаемое $3,2(6) = 3,2666...$ . Третья цифра после запятой равна 6, поэтому вторую цифру после запятой увеличиваем на единицу: $3,2666... \approx 3,27$.

3. Найдем сумму приближенных значений: $1,36 + 3,27 = 4,63$.

Ответ: $4,63$.

в) $12,351 + 0,(3)$

1. Округлим первое слагаемое $12,351$. Третья цифра после запятой равна 1, поэтому вторая цифра после запятой остается без изменений: $12,351 \approx 12,35$.

2. Округлим второе слагаемое $0,(3) = 0,333...$ . Третья цифра после запятой равна 3, поэтому вторая цифра после запятой остается без изменений: $0,333... \approx 0,33$.

3. Найдем сумму приближенных значений: $12,35 + 0,33 = 12,68$.

Ответ: $12,68$.

г) $7,(41) + 5,(36)$

1. Округлим первое слагаемое $7,(41) = 7,4141...$ . Третья цифра после запятой равна 4, поэтому вторая цифра после запятой остается без изменений: $7,4141... \approx 7,41$.

2. Округлим второе слагаемое $5,(36) = 5,3636...$ . Третья цифра после запятой равна 3, поэтому вторая цифра после запятой остается без изменений: $5,3636... \approx 5,36$.

3. Найдем сумму приближенных значений: $7,41 + 5,36 = 12,77$.

Ответ: $12,77$.

6.54. Найдите приближённо разность чисел, беря уменьшаемое и вы-читаемое с точностью до 0,001:

а) $11,(4) - 7,3$;

б) $12,(15) - 3,7236$;

в) $7,(93) - 2,(39)$;

г) $3,3297 - 6,(8)$.

а)

Для нахождения приближенной разности сначала округлим уменьшаемое и вычитаемое с точностью до 0,001 (до тысячных).

Уменьшаемое: $11,(4) = 11,4444...$

Чтобы округлить до тысячных, смотрим на четвертую цифру после запятой. Это 4. Поскольку $4 < 5$, округляем в меньшую сторону, оставляя третью цифру без изменений.

$11,4444... \approx 11,444$.

Вычитаемое: $7,3$. Представим его с точностью до тысячных: $7,3 = 7,300$.

Теперь вычислим разность приближенных значений:

$11,444 - 7,300 = 4,144$.

Ответ: $4,144$.

б)

Округлим уменьшаемое и вычитаемое до тысячных.

Уменьшаемое: $12,(15) = 12,1515...$

Четвертая цифра после запятой - 5. Поскольку $5 \ge 5$, округляем в большую сторону (увеличиваем третью цифру на единицу).

$12,1515... \approx 12,152$.

Вычитаемое: $3,7236$.

Четвертая цифра после запятой - 6. Поскольку $6 \ge 5$, округляем в большую сторону.

$3,7236 \approx 3,724$.

Найдем разность приближенных значений:

$12,152 - 3,724 = 8,428$.

Ответ: $8,428$.

в)

Округлим уменьшаемое и вычитаемое до тысячных.

Уменьшаемое: $7,(93) = 7,9393...$

Четвертая цифра после запятой - 3. Поскольку $3 < 5$, округляем в меньшую сторону.

$7,9393... \approx 7,939$.

Вычитаемое: $2,(39) = 2,3939...$

Четвертая цифра после запятой - 9. Поскольку $9 \ge 5$, округляем в большую сторону.

$2,3939... \approx 2,394$.

Найдем разность приближенных значений:

$7,939 - 2,394 = 5,545$.

Ответ: $5,545$.

г)

Округлим уменьшаемое и вычитаемое до тысячных.

Уменьшаемое: $3,3297$.

Четвертая цифра после запятой - 7. Поскольку $7 \ge 5$, округляем в большую сторону. Третья цифра 9 увеличивается на 1, что дает 10, поэтому вторая цифра тоже увеличивается: $3,329 \rightarrow 3,330$.

$3,3297 \approx 3,330$.

Вычитаемое: $6,(8) = 6,8888...$

Четвертая цифра после запятой - 8. Поскольку $8 \ge 5$, округляем в большую сторону.

$6,8888... \approx 6,889$.

Найдем разность приближенных значений:

$3,330 - 6,889 = -3,559$.

Ответ: $-3,559$.

6.55. Найдите приближённо произведение чисел, беря множители с точностью до второй значащей цифры:

а) $1,3 \cdot 12,\overline{1}$;

б) $0,56 \cdot 0,\overline{3}$;

в) $9,\overline{1} \cdot 6,\overline{2}$;

г) $12,\overline{45} \cdot 1,\overline{1}$.

Для решения этой задачи необходимо сначала округлить каждый из множителей до второй значащей цифры, а затем найти их произведение.

а) $1,3 \cdot 12,(1)$
Первый множитель $1,3$ уже имеет две значащие цифры (1 и 3).
Второй множитель $12,(1)$ является бесконечной периодической дробью $12,111...$. Его первые две значащие цифры - 1 и 2. Следующая цифра 1, она меньше 5, поэтому округляем в меньшую сторону: $12,(1) \approx 12$.
Находим произведение приближенных значений: $1,3 \cdot 12 = 15,6$.
Ответ: 15,6.

б) $0,56 \cdot 0,(3)$
Первый множитель $0,56$ уже имеет две значащие цифры (5 и 6).
Второй множитель $0,(3)$ является бесконечной периодической дробью $0,333...$. Его первые две значащие цифры - 3 и 3. Следующая цифра 3, она меньше 5, поэтому округляем в меньшую сторону: $0,(3) \approx 0,33$.
Находим произведение приближенных значений: $0,56 \cdot 0,33 = 0,1848$.
Ответ: 0,1848.

в) $9,(1) \cdot 6,(2)$
Первый множитель $9,(1)$ является бесконечной периодической дробью $9,111...$. Его первые две значащие цифры - 9 и 1. Следующая цифра 1, она меньше 5, поэтому округляем в меньшую сторону: $9,(1) \approx 9,1$.
Второй множитель $6,(2)$ является бесконечной периодической дробью $6,222...$. Его первые две значащие цифры - 6 и 2. Следующая цифра 2, она меньше 5, поэтому округляем в меньшую сторону: $6,(2) \approx 6,2$.
Находим произведение приближенных значений: $9,1 \cdot 6,2 = 56,42$.
Ответ: 56,42.

г) $12,(45) \cdot 1,(1)$
Первый множитель $12,(45)$ является бесконечной периодической дробью $12,4545...$. Его первые две значащие цифры - 1 и 2. Следующая цифра 4, она меньше 5, поэтому округляем в меньшую сторону: $12,(45) \approx 12$.
Второй множитель $1,(1)$ является бесконечной периодической дробью $1,111...$. Его первые две значащие цифры - 1 и 1. Следующая цифра 1, она меньше 5, поэтому округляем в меньшую сторону: $1,(1) \approx 1,1$.
Находим произведение приближенных значений: $12 \cdot 1,1 = 13,2$.
Ответ: 13,2.

6.56. Найдите приближённо частное чисел, беря делимое и делитель с точностью до третьей значащей цифры:

а) $3,2 : 0,(2)$;

б) $0,(5) : 2$;

в) $3,(82) : 2,(3)$;

г) $35,0(8) : 4,(02)$.

а) Чтобы найти приближенное частное, сначала необходимо округлить делимое и делитель до трёх значащих цифр, как указано в условии.

Делимое: 3,2. Это число имеет две значащие цифры (3 и 2). Для точности до третьей значащей цифры дописываем ноль: 3,20.

Делитель: 0,(2) представляет собой бесконечную периодическую дробь 0,2222... Первые три значащие цифры — это 2, 2, 2. Четвертая значащая цифра — 2. Так как $2 < 5$, то округляем в меньшую сторону. Получаем 0,222.

Теперь выполним деление округленных чисел:

$3,20 : 0,222 = \frac{3200}{222} = \frac{1600}{111} \approx 14,4144...$

Поскольку исходные данные были взяты с точностью до трёх значащих цифр, результат также целесообразно округлить до трёх значащих цифр: 14,4.

Ответ: 14,4.

б) Округлим делимое и делитель до трёх значащих цифр.

Делимое: 0,(5) = 0,5555... Первые три значащие цифры — 5, 5, 5. Четвертая значащая цифра — 5. Так как $5 \ge 5$, округляем в большую сторону. Получаем 0,556.

Делитель: 2. Это число имеет одну значащую цифру. Для точности до третьей значащей цифры запишем его как 2,00.

Теперь выполним деление округленных чисел:

$0,556 : 2,00 = 0,278$.

Ответ: 0,278.

в) Округлим делимое и делитель до трёх значащих цифр.

Делимое: 3,(82) = 3,828282... Первые три значащие цифры — 3, 8, 2. Четвертая значащая цифра — 8. Так как $8 \ge 5$, округляем в большую сторону. Получаем 3,83.

Делитель: 2,(3) = 2,3333... Первые три значащие цифры — 2, 3, 3. Четвертая значащая цифра — 3. Так как $3 < 5$, округляем в меньшую сторону. Получаем 2,33.

Теперь выполним деление округленных чисел:

$3,83 : 2,33 = \frac{383}{233} \approx 1,64377...$

Округлим результат до трёх значащих цифр: 1,64.

Ответ: 1,64.

г) Округлим делимое и делитель до трёх значащих цифр.

Делимое: 35,0(8) = 35,0888... Первые три значащие цифры — 3, 5, 0. Четвертая значащая цифра — 8. Так как $8 \ge 5$, округляем в большую сторону (цифра 0 увеличивается до 1). Получаем 35,1.

Делитель: 4,(02) = 4,020202... Первые три значащие цифры — 4, 0, 2. Четвертая значащая цифра — 0. Так как $0 < 5$, округляем в меньшую сторону. Получаем 4,02.

Теперь выполним деление округленных чисел:

$35,1 : 4,02 = \frac{3510}{402} \approx 8,73134...$

Округлим результат до трёх значащих цифр: 8,73.

Ответ: 8,73.

6.57. а) Что получится, если к числу прибавить 0?

б) Чему равна сумма противоположных чисел?

в) Можно ли разность $a-b$ записать в виде суммы?

г) Что получится, если число умножить на 1?

д) Что получится, если число умножить на 0?

а) Если к любому числу прибавить 0, то число не изменится. Это свойство нуля называется аддитивной идентичностью. Для любого числа $a$ справедливо равенство: $a + 0 = a$.

Ответ: получится то же самое число.

б) Противоположные числа — это два числа, которые отличаются друг от друга только знаком. Для любого числа $a$ противоположным ему будет число $-a$. Сумма противоположных чисел всегда равна нулю: $a + (-a) = 0$. Например, $5 + (-5) = 0$.

Ответ: 0.

в) Да, разность двух чисел можно записать в виде суммы. Вычитание числа $b$ из числа $a$ — это то же самое, что и прибавление к числу $a$ числа, противоположного $b$, то есть $(-b)$. Таким образом, разность $a - b$ можно записать как сумму $a + (-b)$.

Ответ: да, можно. $a - b = a + (-b)$.

г) Если любое число умножить на 1, то число не изменится. Это свойство единицы называется мультипликативной идентичностью. Для любого числа $a$ справедливо равенство: $a \cdot 1 = a$.

Ответ: получится то же самое число.

д) Если любое число умножить на 0, в результате всегда получится 0. Это основное свойство нуля при умножении. Для любого числа $a$ справедливо равенство: $a \cdot 0 = 0$.

Ответ: получится 0.

ДОКАЗЫВАЕМ

6.58. Докажите, пользуясь свойствами действительных чисел, что:

а) если $a < b$ и $c$ — отрицательное число, то $a \cdot c > b \cdot c$;

б) если $0 < a < b$, то $a^2 < b^2$;

в) если $a < b < 0$, то $a^2 > b^2$.

а)

По условию, $a < b$ и $c$ — отрицательное число, то есть $c < 0$. Докажем, что $a \cdot c > b \cdot c$.

Для этого рассмотрим разность $a \cdot c - b \cdot c$ и определим её знак. Вынесем общий множитель $c$ за скобки:

$a \cdot c - b \cdot c = c(a - b)$

Проанализируем знаки множителей. Из условия $a < b$ следует, что разность $a - b$ является отрицательным числом ($a - b < 0$). По условию, $c$ также является отрицательным числом ($c < 0$).

Произведение двух отрицательных чисел всегда положительно. Следовательно, $c(a - b) > 0$.

Так как $a \cdot c - b \cdot c > 0$, то, прибавив $b \cdot c$ к обеим частям неравенства, получим $a \cdot c > b \cdot c$. Утверждение доказано.

Ответ: $a \cdot c > b \cdot c$.

б)

По условию, $0 < a < b$. Это означает, что $a$ и $b$ — положительные числа. Докажем, что $a^2 < b^2$.

Рассмотрим разность квадратов $b^2 - a^2$. Если эта разность положительна, то неравенство $a^2 < b^2$ будет доказано.

Воспользуемся формулой разности квадратов: $b^2 - a^2 = (b - a)(b + a)$.

Определим знаки множителей. Из условия $a < b$ следует, что разность $b - a$ положительна ($b - a > 0$). Так как $a$ и $b$ — положительные числа ($a > 0, b > 0$), их сумма $a + b$ также положительна ($a + b > 0$).

Произведение двух положительных чисел $(b - a)$ и $(b + a)$ является положительным. Значит, $b^2 - a^2 > 0$.

Из неравенства $b^2 - a^2 > 0$ следует, что $b^2 > a^2$, или $a^2 < b^2$. Утверждение доказано.

Ответ: $a^2 < b^2$.

в)

По условию, $a < b < 0$. Это означает, что $a$ и $b$ — отрицательные числа. Докажем, что $a^2 > b^2$.

Рассмотрим разность квадратов $a^2 - b^2$. Если эта разность положительна, то неравенство $a^2 > b^2$ будет доказано.

Воспользуемся формулой разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Определим знаки множителей. Из условия $a < b$ следует, что разность $a - b$ отрицательна ($a - b < 0$). Так как $a$ и $b$ — отрицательные числа ($a < 0, b < 0$), их сумма $a + b$ также отрицательна ($a + b < 0$).

Произведение двух отрицательных чисел $(a - b)$ и $(a + b)$ является положительным. Значит, $a^2 - b^2 > 0$.

Из неравенства $a^2 - b^2 > 0$ следует, что $a^2 > b^2$. Утверждение доказано.

Ответ: $a^2 > b^2$.