Страница 242 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

6.76. а) Чему равно отношение длины окружности к длине её диаметра?

б) Чему равно отношение длины окружности к длине её радиуса?

а) Чему равно отношение длины окружности к длине её диаметра?

Длина окружности, обозначаемая как $C$, и её диаметр, обозначаемый как $d$, связаны фундаментальной математической формулой: $C = \pi d$.
В этой формуле $\pi$ (пи) — это математическая константа, которая по определению и является отношением длины окружности к её диаметру для любой окружности.

Чтобы найти это отношение, нужно разделить длину окружности $C$ на длину диаметра $d$:
$\frac{C}{d} = \frac{\pi d}{d}$

Сократив $d$ в числителе и знаменателе, получаем:
$\frac{C}{d} = \pi$

Следовательно, отношение длины окружности к её диаметру является постоянной величиной и равно числу $\pi$.

Ответ: $\pi$.

б) Чему равно отношение длины окружности к длине её радиуса?

Длину окружности $C$ можно также выразить через её радиус $r$. Поскольку диаметр окружности в два раза больше её радиуса ($d=2r$), мы можем подставить это выражение в формулу длины окружности:
$C = \pi d = \pi(2r) = 2\pi r$

Теперь найдем отношение длины окружности $C$ к длине её радиуса $r$, разделив $C$ на $r$:
$\frac{C}{r} = \frac{2\pi r}{r}$

Сократив $r$ в числителе и знаменателе, получаем:
$\frac{C}{r} = 2\pi$

Таким образом, отношение длины окружности к её радиусу также является постоянной величиной и равно $2\pi$.

Ответ: $2\pi$.

6.77. Напишите формулу для вычисления:

а) длины окружности;

б) площади круга.

а) длины окружности
Длина окружности — это длина линии, ограничивающей круг. Её можно вычислить, зная радиус или диаметр окружности.
Пусть $C$ — длина окружности, $r$ — её радиус, а $d$ — её диаметр ($d = 2r$).
Формула для вычисления длины окружности через радиус:$C = 2\pi r$
Формула для вычисления длины окружности через диаметр:$C = \pi d$
Здесь $\pi$ (пи) — это математическая константа, иррациональное число, которое выражает отношение длины окружности к её диаметру. Приблизительное значение $\pi \approx 3,14159$.
Ответ: $C = 2\pi r$

б) площади круга
Площадь круга — это величина, характеризующая размер части плоскости, которая находится внутри окружности.
Пусть $S$ — площадь круга, а $r$ — его радиус.
Формула для вычисления площади круга через радиус:$S = \pi r^2$
Формула показывает, что площадь круга равна произведению числа $\pi$ на квадрат радиуса.
Если известен диаметр $d$, то можно использовать формулу:$S = \frac{\pi d^2}{4}$
Эта формула получается из предыдущей, если подставить $r = d/2$.
Ответ: $S = \pi r^2$

6.78. Вычислите длину окружности радиуса:

а) $3 \text{ см}$;

б) $0,06 \text{ м}$;

в) $0,4 \text{ дм}$.

Для вычисления длины окружности (обозначим её $C$) по известному радиусу ($R$) используется формула:

$C = 2\pi R$

Здесь $\pi$ — это математическая константа, примерно равная 3,14159.

а)
Дан радиус $R = 3$ см.
Подставляем это значение в формулу:
$C = 2 \cdot \pi \cdot 3 = 6\pi$ см.
Ответ: $6\pi$ см.

б)
Дан радиус $R = 0,06$ м.
Подставляем это значение в формулу:
$C = 2 \cdot \pi \cdot 0,06 = 0,12\pi$ м.
Ответ: $0,12\pi$ м.

в)
Дан радиус $R = 0,4$ дм.
Подставляем это значение в формулу:
$C = 2 \cdot \pi \cdot 0,4 = 0,8\pi$ дм.
Ответ: $0,8\pi$ дм.

6.79. Вычислите площадь круга радиуса:

а) 3 см;

б) 4,6 дм;

в) 0,2 м.

Площадь круга вычисляется по формуле $S = \pi r^2$, где $S$ — это площадь, а $r$ — радиус круга. В решении мы предоставим как точный ответ (с использованием числа $\pi$), так и приближенный (используя $\pi \approx 3,14$).

а)

Дан радиус $r = 3$ см. Подставим это значение в формулу площади:

$S = \pi \cdot 3^2 = 9\pi$ см².

Для получения численного значения, используем приближение $\pi \approx 3,14$:

$S \approx 9 \cdot 3,14 = 28,26$ см².

Ответ: $9\pi$ см².

б)

Дан радиус $r = 4,6$ дм. Подставим это значение в формулу площади:

$S = \pi \cdot (4,6)^2 = 21,16\pi$ дм².

Для получения численного значения, используем приближение $\pi \approx 3,14$:

$S \approx 21,16 \cdot 3,14 = 66,4424$ дм².

Ответ: $21,16\pi$ дм².

в)

Дан радиус $r = 0,2$ м. Подставим это значение в формулу площади:

$S = \pi \cdot (0,2)^2 = 0,04\pi$ м².

Для получения численного значения, используем приближение $\pi \approx 3,14$:

$S \approx 0,04 \cdot 3,14 = 0,1256$ м².

Ответ: $0,04\pi$ м².

6.80. Как изменится длина окружности, если её радиус:

а) увеличить в 3 раза;

б) уменьшить в 2 раза?

Длина окружности ($C$) и её радиус ($r$) связаны прямой пропорциональностью, которая выражается формулой: $C = 2\pi r$. Это означает, что во сколько раз изменяется радиус, во столько же раз изменяется и длина окружности.

а) Пусть первоначальная длина окружности равна $C_1 = 2\pi r_1$. Если радиус увеличить в 3 раза, то новый радиус будет $r_2 = 3r_1$. Тогда новая длина окружности $C_2$ будет равна:
$C_2 = 2\pi r_2 = 2\pi (3r_1) = 3 \cdot (2\pi r_1) = 3C_1$.
Следовательно, длина окружности увеличится в 3 раза.
Ответ: увеличится в 3 раза.

б) Пусть первоначальная длина окружности равна $C_1 = 2\pi r_1$. Если радиус уменьшить в 2 раза, то новый радиус будет $r_2 = \frac{r_1}{2}$. Тогда новая длина окружности $C_2$ будет равна:
$C_2 = 2\pi r_2 = 2\pi \left(\frac{r_1}{2}\right) = \frac{2\pi r_1}{2} = \frac{C_1}{2}$.
Следовательно, длина окружности уменьшится в 2 раза.
Ответ: уменьшится в 2 раза.

6.81. Как изменится радиус окружности, если её длину:

а) увеличить в 5 раз;

б) уменьшить в 7 раз?

Длина окружности $C$ и её радиус $R$ связаны формулой $C = 2 \pi R$.

Из этой формулы можно выразить радиус через длину окружности: $R = \frac{C}{2 \pi}$.

Эта зависимость показывает, что радиус окружности $R$ прямо пропорционален её длине $C$ (с коэффициентом пропорциональности $\frac{1}{2 \pi}$). Это означает, что во сколько раз изменяется длина окружности, во столько же раз изменяется и её радиус.

а)

Пусть начальная длина окружности была $C_1$, а её радиус — $R_1$. Тогда $R_1 = \frac{C_1}{2 \pi}$.

Длину окружности увеличили в 5 раз, значит, новая длина $C_2 = 5 \cdot C_1$.

Новый радиус $R_2$ будет равен:

$R_2 = \frac{C_2}{2 \pi} = \frac{5 \cdot C_1}{2 \pi} = 5 \cdot \frac{C_1}{2 \pi}$

Так как $R_1 = \frac{C_1}{2 \pi}$, то $R_2 = 5 \cdot R_1$.

Следовательно, радиус окружности увеличится в 5 раз.

Ответ: радиус увеличится в 5 раз.

б)

Пусть начальная длина окружности была $C_1$, а её радиус — $R_1$. Тогда $R_1 = \frac{C_1}{2 \pi}$.

Длину окружности уменьшили в 7 раз, значит, новая длина $C_2 = \frac{C_1}{7}$.

Новый радиус $R_2$ будет равен:

$R_2 = \frac{C_2}{2 \pi} = \frac{\frac{C_1}{7}}{2 \pi} = \frac{C_1}{7 \cdot 2 \pi} = \frac{1}{7} \cdot \frac{C_1}{2 \pi}$

Так как $R_1 = \frac{C_1}{2 \pi}$, то $R_2 = \frac{1}{7} \cdot R_1 = \frac{R_1}{7}$.

Следовательно, радиус окружности уменьшится в 7 раз.

Ответ: радиус уменьшится в 7 раз.

6.82. Как изменится длина окружности, если её радиус:

а) увеличить на 3 см;

б) уменьшить на 3 см?

Длина окружности $C$ вычисляется по формуле $C = 2\pi R$, где $R$ — это радиус окружности. Рассмотрим, как изменится длина окружности в каждом из случаев.

а) увеличить на 3 см

Пусть первоначальный радиус окружности был $R_1$. Тогда её первоначальная длина была $C_1 = 2\pi R_1$.
Новый радиус $R_2$ станет равен $R_1 + 3$ см.
Новая длина окружности $C_2$ будет равна $C_2 = 2\pi R_2 = 2\pi(R_1 + 3)$.
Чтобы найти изменение длины, вычтем из новой длины первоначальную:
$C_2 - C_1 = 2\pi(R_1 + 3) - 2\pi R_1 = 2\pi R_1 + 6\pi - 2\pi R_1 = 6\pi$ см.
Поскольку результат — положительное число, длина окружности увеличилась.

Ответ: Длина окружности увеличится на $6\pi$ см.

б) уменьшить на 3 см

Пусть первоначальный радиус окружности был $R_1$. Тогда её первоначальная длина была $C_1 = 2\pi R_1$.
Новый радиус $R_2$ станет равен $R_1 - 3$ см.
Новая длина окружности $C_2$ будет равна $C_2 = 2\pi R_2 = 2\pi(R_1 - 3)$.
Найдем изменение длины:
$C_2 - C_1 = 2\pi(R_1 - 3) - 2\pi R_1 = 2\pi R_1 - 6\pi - 2\pi R_1 = -6\pi$ см.
Отрицательный результат означает, что длина окружности уменьшилась.

Ответ: Длина окружности уменьшится на $6\pi$ см.

6.83. Как изменится радиус окружности, если её длину:

а) увеличить на 6,28 см;

б) уменьшить на 9,42 дм?

Длина окружности $C$ и её радиус $r$ связаны формулой $C = 2 \pi r$. Из этой формулы можно выразить радиус: $r = \frac{C}{2 \pi}$.

Это означает, что изменение радиуса $\Delta r$ напрямую зависит от изменения длины окружности $\Delta C$. Пусть $C_1$ и $r_1$ — начальные длина и радиус, а $C_2$ и $r_2$ — новые. Тогда изменение радиуса можно найти так:

$\Delta r = r_2 - r_1 = \frac{C_2}{2 \pi} - \frac{C_1}{2 \pi} = \frac{C_2 - C_1}{2 \pi} = \frac{\Delta C}{2 \pi}$

В расчетах будем использовать приближенное значение числа $\pi \approx 3,14$.

а) увеличить на 6,28 см

Длина окружности увеличилась на 6,28 см, следовательно, изменение длины окружности $\Delta C = 6,28$ см. Подставим это значение в нашу формулу для изменения радиуса:

$\Delta r = \frac{6,28 \text{ см}}{2 \pi} \approx \frac{6,28 \text{ см}}{2 \times 3,14} = \frac{6,28 \text{ см}}{6,28} = 1 \text{ см}$

Положительное значение $\Delta r$ означает, что радиус увеличился.

Ответ: радиус увеличится на 1 см.

б) уменьшить на 9,42 дм

Длина окружности уменьшилась на 9,42 дм, следовательно, изменение длины окружности $\Delta C = -9,42$ дм (знак минус означает уменьшение). Найдем соответствующее изменение радиуса:

$\Delta r = \frac{-9,42 \text{ дм}}{2 \pi} \approx \frac{-9,42 \text{ дм}}{2 \times 3,14} = \frac{-9,42 \text{ дм}}{6,28} = -1,5 \text{ дм}$

Отрицательное значение $\Delta r$ означает, что радиус уменьшился.

Ответ: радиус уменьшится на 1,5 дм.

6.84. Как изменится площадь круга, если его радиус:

а) увеличить в 3 раза;

б) уменьшить в 2 раза?

Площадь круга вычисляется по формуле $S = \pi r^2$, где $S$ — площадь, а $r$ — радиус круга. Поскольку площадь зависит от квадрата радиуса, изменение радиуса приводит к квадратичному изменению площади.

а) увеличить в 3 раза

Пусть первоначальный радиус круга был $r_1$, а площадь $S_1$. Тогда $S_1 = \pi r_1^2$.

Новый радиус $r_2$ в 3 раза больше: $r_2 = 3r_1$.

Новая площадь $S_2$ будет равна:

$S_2 = \pi r_2^2 = \pi (3r_1)^2 = \pi \cdot 9r_1^2 = 9 \cdot (\pi r_1^2)$.

Так как $S_1 = \pi r_1^2$, то мы можем подставить это в формулу для $S_2$:

$S_2 = 9S_1$.

Чтобы найти, во сколько раз изменилась площадь, найдем отношение новой площади к старой: $\frac{S_2}{S_1} = \frac{9S_1}{S_1} = 9$.

Следовательно, при увеличении радиуса в 3 раза площадь круга увеличится в $3^2 = 9$ раз.

Ответ: площадь увеличится в 9 раз.

б) уменьшить в 2 раза

Пусть первоначальный радиус круга был $r_1$, а площадь $S_1$. Тогда $S_1 = \pi r_1^2$.

Новый радиус $r_2$ в 2 раза меньше: $r_2 = \frac{r_1}{2}$.

Новая площадь $S_2$ будет равна:

$S_2 = \pi r_2^2 = \pi \left(\frac{r_1}{2}\right)^2 = \pi \frac{r_1^2}{4} = \frac{1}{4} \cdot (\pi r_1^2)$.

Так как $S_1 = \pi r_1^2$, то мы можем подставить это в формулу для $S_2$:

$S_2 = \frac{1}{4}S_1$.

Чтобы найти, во сколько раз уменьшилась площадь, найдем отношение старой площади к новой: $\frac{S_1}{S_2} = \frac{S_1}{\frac{1}{4}S_1} = 4$.

Следовательно, при уменьшении радиуса в 2 раза площадь круга уменьшится в $2^2 = 4$ раза.

Ответ: площадь уменьшится в 4 раза.

6.85. Сравните длины красной и синей линий, являющихся половинами окружностей (рис. 133).

a) б) Рис. 133

a)

Для нахождения длины линии, являющейся полуокружностью, используется формула $L = \frac{1}{2}\pi d$, где $d$ — диаметр окружности.

Красная линия состоит из двух полуокружностей. Диаметр первой — отрезок $AM$, диаметр второй — отрезок $MB$. Общая длина красной линии ($L_{красная}$) равна сумме длин этих двух полуокружностей.

$L_{красная} = (\text{длина полуокружности с диаметром } AM) + (\text{длина полуокружности с диаметром } MB)$

$L_{красная} = \frac{1}{2}\pi \cdot AM + \frac{1}{2}\pi \cdot MB$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}\pi$ за скобки:

$L_{красная} = \frac{1}{2}\pi (AM + MB)$

Из рисунка видно, что точка $M$ лежит на отрезке $AB$, поэтому сумма длин отрезков $AM$ и $MB$ равна длине отрезка $AB$, то есть $AM + MB = AB$.

Подставив это в формулу, получаем:

$L_{красная} = \frac{1}{2}\pi \cdot AB$

Синяя линия представляет собой одну полуокружность с диаметром $AB$. Ее длина ($L_{синяя}$) вычисляется по той же формуле:

$L_{синяя} = \frac{1}{2}\pi \cdot AB$

Сравнивая выражения для длин красной и синей линий, мы видим, что они одинаковы.

Ответ: Длины красной и синей линий равны.

б)

Решение для этого случая полностью аналогично предыдущему пункту, так как расположение полуокружностей (над или под диаметром) не влияет на их длину.

Длина красной линии ($L_{красная}$), состоящей из двух полуокружностей с диаметрами $AM$ и $MB$, равна:

$L_{красная} = \frac{1}{2}\pi \cdot AM + \frac{1}{2}\pi \cdot MB = \frac{1}{2}\pi (AM + MB)$

Так как $AM + MB = AB$, получаем:

$L_{красная} = \frac{1}{2}\pi \cdot AB$

Длина синей линии ($L_{синяя}$), являющейся полуокружностью с диаметром $AB$, равна:

$L_{синяя} = \frac{1}{2}\pi \cdot AB$

Таким образом, длины красной и синей линий снова равны.

Ответ: Длины красной и синей линий равны.