Номер 6.85, страница 242 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

6.7. Длина окружности. Площадь круга. Глава 6. Обыкновенные и десятичные дроби - номер 6.85, страница 242.

Условие.

6.85. Сравните длины красной и синей линий, являющихся половинами окружностей (рис. 133).

a) б) Рис. 133

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

a)

Для нахождения длины линии, являющейся полуокружностью, используется формула $L = \frac{1}{2}\pi d$, где $d$ — диаметр окружности.

Красная линия состоит из двух полуокружностей. Диаметр первой — отрезок $AM$, диаметр второй — отрезок $MB$. Общая длина красной линии ($L_{красная}$) равна сумме длин этих двух полуокружностей.

$L_{красная} = (\text{длина полуокружности с диаметром } AM) + (\text{длина полуокружности с диаметром } MB)$

$L_{красная} = \frac{1}{2}\pi \cdot AM + \frac{1}{2}\pi \cdot MB$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}\pi$ за скобки:

$L_{красная} = \frac{1}{2}\pi (AM + MB)$

Из рисунка видно, что точка $M$ лежит на отрезке $AB$, поэтому сумма длин отрезков $AM$ и $MB$ равна длине отрезка $AB$, то есть $AM + MB = AB$.

Подставив это в формулу, получаем:

$L_{красная} = \frac{1}{2}\pi \cdot AB$

Синяя линия представляет собой одну полуокружность с диаметром $AB$. Ее длина ($L_{синяя}$) вычисляется по той же формуле:

$L_{синяя} = \frac{1}{2}\pi \cdot AB$

Сравнивая выражения для длин красной и синей линий, мы видим, что они одинаковы.

Ответ: Длины красной и синей линий равны.

б)

Решение для этого случая полностью аналогично предыдущему пункту, так как расположение полуокружностей (над или под диаметром) не влияет на их длину.

Длина красной линии ($L_{красная}$), состоящей из двух полуокружностей с диаметрами $AM$ и $MB$, равна:

$L_{красная} = \frac{1}{2}\pi \cdot AM + \frac{1}{2}\pi \cdot MB = \frac{1}{2}\pi (AM + MB)$

Так как $AM + MB = AB$, получаем:

$L_{красная} = \frac{1}{2}\pi \cdot AB$

Длина синей линии ($L_{синяя}$), являющейся полуокружностью с диаметром $AB$, равна:

$L_{синяя} = \frac{1}{2}\pi \cdot AB$

Таким образом, длины красной и синей линий снова равны.

Ответ: Длины красной и синей линий равны.