Номер 6.87, страница 243 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

6.7. Длина окружности. Площадь круга. Глава 6. Обыкновенные и десятичные дроби - номер 6.87, страница 243.

Условие.

6.87. Вычислите площадь закрашенной фигуры (рис. 134). Сторона квадрата равна 4 см, дуги — четвёртые части окружности радиуса 4 см.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для нахождения площади закрашенной фигуры воспользуемся методом сложения и вычитания площадей. Фигура расположена внутри квадрата со стороной $a = 4$ см. Дуги являются четвертями окружностей с радиусом $r = 4$ см, центры которых находятся в противоположных вершинах квадрата.

1. Сначала вычислим площадь всего квадрата:

$S_{квадрата} = a^2 = 4^2 = 16$ см².

2. Теперь рассмотрим один из двух секторов, образующих фигуру. Каждый сектор — это четверть круга с радиусом, равным стороне квадрата. Площадь одного такого сектора равна:

$S_{сектора} = \frac{1}{4} \pi r^2 = \frac{1}{4} \pi \cdot 4^2 = \frac{16\pi}{4} = 4\pi$ см².

3. Закрашенная фигура является областью пересечения двух таких секторов. Если мы сложим площади двух секторов, то площадь их пересечения (закрашенная область) будет учтена дважды. Сумма площадей двух секторов равна площади квадрата плюс еще одна площадь закрашенной фигуры.

$S_{сектор1} + S_{сектор2} = S_{квадрата} + S_{закрашенной}$

4. Чтобы найти площадь закрашенной фигуры, нужно из суммы площадей двух секторов вычесть площадь квадрата:

$S_{закрашенной} = (S_{сектора} + S_{сектора}) - S_{квадрата}$

$S_{закрашенной} = (4\pi + 4\pi) - 16 = 8\pi - 16$ см².

Это точное значение площади. Если требуется приближенное значение, можно использовать $\pi \approx 3,14$:

$S_{закрашенной} \approx 8 \cdot 3,14 - 16 = 25,12 - 16 = 9,12$ см².

Ответ: $8\pi - 16$ см².