Номер 6.86, страница 243 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

6.7. Длина окружности. Площадь круга. Глава 6. Обыкновенные и десятичные дроби - номер 6.86, страница 243.

Условие.

ДОКАЗЫВАЕМ

6.86. Докажите, что ответ в предыдущей задаче не зависит от положения точки $M$ на отрезке $AB$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Так как условие предыдущей задачи не предоставлено, будем исходить из наиболее стандартной постановки, для которой доказываемое утверждение является классическим результатом.

Предполагаемое условие предыдущей задачи: На отрезке AB выбрана произвольная точка M. На отрезках AM и MB по одну сторону от прямой AB построены квадраты AMCD и MBEF. Пусть P — середина отрезка DE. Требуется найти положение точки P.

Докажем, что положение точки P не зависит от положения точки M на отрезке AB. Для доказательства воспользуемся методом векторов.

Пусть A и B — фиксированные точки плоскости, заданные радиус-векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ относительно некоторого начала координат. Точка M — произвольная точка на отрезке AB с радиус-вектором $\vec{m}$.

Пусть $R$ — оператор поворота вектора на 90° в ту сторону, в которую построены квадраты (например, против часовой стрелки).

Для квадрата AMCD, построенного на отрезке AM, вектор $\vec{AD}$ получается поворотом вектора $\vec{AM} = \vec{m} - \vec{a}$ на 90°. Радиус-вектор точки D равен:$$ \vec{d} = \vec{a} + \vec{AD} = \vec{a} + R(\vec{m} - \vec{a}) $$

Для квадрата MBEF, построенного на отрезке MB (с обходом вершин M-B-E-F), вектор $\vec{BE}$ получается поворотом вектора $\vec{MB} = \vec{b} - \vec{m}$ на 90°. Радиус-вектор точки E равен:$$ \vec{e} = \vec{b} + \vec{BE} = \vec{b} + R(\vec{b} - \vec{m}) $$

Точка P является серединой отрезка DE, поэтому ее радиус-вектор $\vec{p}$ равен полусумме радиус-векторов точек D и E:$$ \vec{p} = \frac{\vec{d} + \vec{e}}{2} $$Подставим найденные выражения для $\vec{d}$ и $\vec{e}$:$$ \vec{p} = \frac{(\vec{a} + R(\vec{m} - \vec{a})) + (\vec{b} + R(\vec{b} - \vec{m}))}{2} $$Сгруппируем слагаемые и воспользуемся линейностью оператора поворота $R$:$$ \vec{p} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2} + \frac{R(\vec{m} - \vec{a}) + R(\vec{b} - \vec{m})}{2} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2} + \frac{R((\vec{m} - \vec{a}) + (\vec{b} - \vec{m}))}{2} $$Упростим выражение в скобках под оператором поворота:$$ \vec{p} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2} + \frac{R(\vec{b} - \vec{a})}{2} $$

Итоговое выражение для радиус-вектора точки P, $\vec{p} = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b} + R(\vec{b} - \vec{a}))$, зависит только от радиус-векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, которые задают положение концов отрезка AB. Вектор $\vec{m}$, задающий положение точки M, в конечную формулу не входит.

Следовательно, положение точки P постоянно и не зависит от выбора точки M на отрезке AB.

Геометрическая интерпретация: Точка с вектором $\frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$ является серединой отрезка AB. Вектор $\vec{b} - \vec{a}$ — это вектор $\vec{AB}$. Таким образом, точка P получается смещением середины отрезка AB на вектор, равный половине вектора $\vec{AB}$, повернутого на 90°. Это означает, что P является вершиной равнобедренного прямоугольного треугольника, построенного на отрезке AB как на гипотенузе.

Ответ: Что и требовалось доказать.