Номер 6.89, страница 243 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 6. Обыкновенные и десятичные дроби. 6.7. Длина окружности. Площадь круга - номер 6.89, страница 243.

Условие.

6.89. На сторонах квадрата как на диаметрах построили полукруги вне квадрата. Получили первую фигуру (рис. 136, а). Потом каждую сторону такого же квадрата разделили на 2 равные части и на каждой из них как на диаметрах построили полукруги вне квадрата. Получили вторую фигуру (рис. 136, б). Потом каждую сторону такого же квадрата разделили на 3 равные части и т. д. Вычислите периметр и площадь каждой из первых четырёх фигур, если сторона квадрата равна 12 см.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Пусть сторона квадрата равна $a = 12$ см. Площадь этого квадрата составляет $S_{кв} = a^2 = 12^2 = 144$ см².

Периметр каждой фигуры будет состоять из суммы длин дуг всех построенных полукругов. Площадь каждой фигуры будет состоять из площади исходного квадрата и суммарной площади всех построенных полукругов.

Общая формула для длины окружности $C = \pi d$, а для дуги полукруга $L = \frac{1}{2}\pi d$.

Общая формула для площади круга $A = \pi r^2 = \pi (d/2)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$, а для полукруга $A_{полукруга} = \frac{1}{2} \pi r^2 = \frac{\pi d^2}{8}$.

Фигура 1

На каждой из 4 сторон квадрата построен один полукруг. Диаметр каждого полукруга равен стороне квадрата: $d_1 = a = 12$ см.

Периметр: Фигура имеет 4 полукруга. Длина дуги одного полукруга: $L_1 = \frac{1}{2} \pi d_1 = \frac{1}{2} \pi \cdot 12 = 6\pi$ см.Общий периметр: $P_1 = 4 \cdot L_1 = 4 \cdot 6\pi = 24\pi$ см.

Площадь: Площадь одного полукруга: $A_1 = \frac{\pi d_1^2}{8} = \frac{\pi \cdot 12^2}{8} = \frac{144\pi}{8} = 18\pi$ см².Общая площадь: $S_1 = S_{кв} + 4 \cdot A_1 = 144 + 4 \cdot 18\pi = 144 + 72\pi$ см².

Ответ: периметр $24\pi$ см, площадь $(144 + 72\pi)$ см².

Фигура 2

Каждая сторона квадрата разделена на 2 равные части. Всего $4 \times 2 = 8$ полукругов. Диаметр каждого полукруга: $d_2 = a / 2 = 12 / 2 = 6$ см.

Периметр: Длина дуги одного полукруга: $L_2 = \frac{1}{2} \pi d_2 = \frac{1}{2} \pi \cdot 6 = 3\pi$ см.Общий периметр: $P_2 = 8 \cdot L_2 = 8 \cdot 3\pi = 24\pi$ см.

Площадь: Площадь одного полукруга: $A_2 = \frac{\pi d_2^2}{8} = \frac{\pi \cdot 6^2}{8} = \frac{36\pi}{8} = 4.5\pi$ см².Общая площадь: $S_2 = S_{кв} + 8 \cdot A_2 = 144 + 8 \cdot 4.5\pi = 144 + 36\pi$ см².

Ответ: периметр $24\pi$ см, площадь $(144 + 36\pi)$ см².

Фигура 3

Каждая сторона квадрата разделена на 3 равные части. Всего $4 \times 3 = 12$ полукругов. Диаметр каждого полукруга: $d_3 = a / 3 = 12 / 3 = 4$ см.

Периметр: Длина дуги одного полукруга: $L_3 = \frac{1}{2} \pi d_3 = \frac{1}{2} \pi \cdot 4 = 2\pi$ см.Общий периметр: $P_3 = 12 \cdot L_3 = 12 \cdot 2\pi = 24\pi$ см.

Площадь: Площадь одного полукруга: $A_3 = \frac{\pi d_3^2}{8} = \frac{\pi \cdot 4^2}{8} = \frac{16\pi}{8} = 2\pi$ см².Общая площадь: $S_3 = S_{кв} + 12 \cdot A_3 = 144 + 12 \cdot 2\pi = 144 + 24\pi$ см².

Ответ: периметр $24\pi$ см, площадь $(144 + 24\pi)$ см².

Фигура 4

Каждая сторона квадрата разделена на 4 равные части. Всего $4 \times 4 = 16$ полукругов. Диаметр каждого полукруга: $d_4 = a / 4 = 12 / 4 = 3$ см.

Периметр: Длина дуги одного полукруга: $L_4 = \frac{1}{2} \pi d_4 = \frac{1}{2} \pi \cdot 3 = 1.5\pi$ см.Общий периметр: $P_4 = 16 \cdot L_4 = 16 \cdot 1.5\pi = 24\pi$ см.

Площадь: Площадь одного полукруга: $A_4 = \frac{\pi d_4^2}{8} = \frac{\pi \cdot 3^2}{8} = \frac{9\pi}{8} = 1.125\pi$ см².Общая площадь: $S_4 = S_{кв} + 16 \cdot A_4 = 144 + 16 \cdot \frac{9\pi}{8} = 144 + 2 \cdot 9\pi = 144 + 18\pi$ см².

Ответ: периметр $24\pi$ см, площадь $(144 + 18\pi)$ см².