Страница 243 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

ДОКАЗЫВАЕМ

6.86. Докажите, что ответ в предыдущей задаче не зависит от положения точки $M$ на отрезке $AB$.

Так как условие предыдущей задачи не предоставлено, будем исходить из наиболее стандартной постановки, для которой доказываемое утверждение является классическим результатом.

Предполагаемое условие предыдущей задачи: На отрезке AB выбрана произвольная точка M. На отрезках AM и MB по одну сторону от прямой AB построены квадраты AMCD и MBEF. Пусть P — середина отрезка DE. Требуется найти положение точки P.

Докажем, что положение точки P не зависит от положения точки M на отрезке AB. Для доказательства воспользуемся методом векторов.

Пусть A и B — фиксированные точки плоскости, заданные радиус-векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ относительно некоторого начала координат. Точка M — произвольная точка на отрезке AB с радиус-вектором $\vec{m}$.

Пусть $R$ — оператор поворота вектора на 90° в ту сторону, в которую построены квадраты (например, против часовой стрелки).

Для квадрата AMCD, построенного на отрезке AM, вектор $\vec{AD}$ получается поворотом вектора $\vec{AM} = \vec{m} - \vec{a}$ на 90°. Радиус-вектор точки D равен:$$ \vec{d} = \vec{a} + \vec{AD} = \vec{a} + R(\vec{m} - \vec{a}) $$

Для квадрата MBEF, построенного на отрезке MB (с обходом вершин M-B-E-F), вектор $\vec{BE}$ получается поворотом вектора $\vec{MB} = \vec{b} - \vec{m}$ на 90°. Радиус-вектор точки E равен:$$ \vec{e} = \vec{b} + \vec{BE} = \vec{b} + R(\vec{b} - \vec{m}) $$

Точка P является серединой отрезка DE, поэтому ее радиус-вектор $\vec{p}$ равен полусумме радиус-векторов точек D и E:$$ \vec{p} = \frac{\vec{d} + \vec{e}}{2} $$Подставим найденные выражения для $\vec{d}$ и $\vec{e}$:$$ \vec{p} = \frac{(\vec{a} + R(\vec{m} - \vec{a})) + (\vec{b} + R(\vec{b} - \vec{m}))}{2} $$Сгруппируем слагаемые и воспользуемся линейностью оператора поворота $R$:$$ \vec{p} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2} + \frac{R(\vec{m} - \vec{a}) + R(\vec{b} - \vec{m})}{2} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2} + \frac{R((\vec{m} - \vec{a}) + (\vec{b} - \vec{m}))}{2} $$Упростим выражение в скобках под оператором поворота:$$ \vec{p} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2} + \frac{R(\vec{b} - \vec{a})}{2} $$

Итоговое выражение для радиус-вектора точки P, $\vec{p} = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b} + R(\vec{b} - \vec{a}))$, зависит только от радиус-векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, которые задают положение концов отрезка AB. Вектор $\vec{m}$, задающий положение точки M, в конечную формулу не входит.

Следовательно, положение точки P постоянно и не зависит от выбора точки M на отрезке AB.

Геометрическая интерпретация: Точка с вектором $\frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$ является серединой отрезка AB. Вектор $\vec{b} - \vec{a}$ — это вектор $\vec{AB}$. Таким образом, точка P получается смещением середины отрезка AB на вектор, равный половине вектора $\vec{AB}$, повернутого на 90°. Это означает, что P является вершиной равнобедренного прямоугольного треугольника, построенного на отрезке AB как на гипотенузе.

Ответ: Что и требовалось доказать.

6.87. Вычислите площадь закрашенной фигуры (рис. 134). Сторона квадрата равна 4 см, дуги — четвёртые части окружности радиуса 4 см.

Для нахождения площади закрашенной фигуры воспользуемся методом сложения и вычитания площадей. Фигура расположена внутри квадрата со стороной $a = 4$ см. Дуги являются четвертями окружностей с радиусом $r = 4$ см, центры которых находятся в противоположных вершинах квадрата.

1. Сначала вычислим площадь всего квадрата:

$S_{квадрата} = a^2 = 4^2 = 16$ см².

2. Теперь рассмотрим один из двух секторов, образующих фигуру. Каждый сектор — это четверть круга с радиусом, равным стороне квадрата. Площадь одного такого сектора равна:

$S_{сектора} = \frac{1}{4} \pi r^2 = \frac{1}{4} \pi \cdot 4^2 = \frac{16\pi}{4} = 4\pi$ см².

3. Закрашенная фигура является областью пересечения двух таких секторов. Если мы сложим площади двух секторов, то площадь их пересечения (закрашенная область) будет учтена дважды. Сумма площадей двух секторов равна площади квадрата плюс еще одна площадь закрашенной фигуры.

$S_{сектор1} + S_{сектор2} = S_{квадрата} + S_{закрашенной}$

4. Чтобы найти площадь закрашенной фигуры, нужно из суммы площадей двух секторов вычесть площадь квадрата:

$S_{закрашенной} = (S_{сектора} + S_{сектора}) - S_{квадрата}$

$S_{закрашенной} = (4\pi + 4\pi) - 16 = 8\pi - 16$ см².

Это точное значение площади. Если требуется приближенное значение, можно использовать $\pi \approx 3,14$:

$S_{закрашенной} \approx 8 \cdot 3,14 - 16 = 25,12 - 16 = 9,12$ см².

Ответ: $8\pi - 16$ см².

6.88. На сторонах квадрата как на диаметрах построили полуокружности внутри квадрата. Вычислите площадь закрашенной фигуры (рис. 135). Сторона квадрата равна 4 см.

Для решения задачи найдем сначала площадь квадрата, а затем площадь закрашенной фигуры, используя метод сложения и вычитания площадей.

1. Находим площадь квадрата.

Сторона квадрата $a = 4$ см. Площадь квадрата ($S_{кв}$) вычисляется по формуле:

$S_{кв} = a^2 = 4^2 = 16$ см².

2. Находим площадь четырех полуокружностей.

На каждой стороне квадрата как на диаметре построена полуокружность. Диаметр каждой полуокружности $d$ равен стороне квадрата, то есть $d = 4$ см. Радиус $r$ каждой полуокружности равен половине диаметра:

$r = d/2 = 4/2 = 2$ см.

Площадь одной полуокружности ($S_{п/к}$) вычисляется по формуле $S_{п/к} = \frac{1}{2}\pi r^2$.

$S_{п/к} = \frac{1}{2} \cdot \pi \cdot 2^2 = \frac{1}{2} \cdot 4\pi = 2\pi$ см².

Так как полуокружностей четыре, их общая площадь ($S_{4п/к}$) равна:

$S_{4п/к} = 4 \cdot S_{п/к} = 4 \cdot 2\pi = 8\pi$ см².

3. Вычисляем площадь закрашенной фигуры.

Если сложить площади четырех полуокружностей, то площадь закрашенных "лепестков" будет посчитана дважды, так как каждый лепесток является пересечением двух полуокружностей. А площадь незакрашенных угловых областей будет посчитана один раз. Сумма площадей четырех полуокружностей равна площади квадрата плюс еще раз посчитанная площадь закрашенной фигуры.

Пусть $S_{закр}$ — искомая площадь закрашенной фигуры. Тогда можно записать следующее соотношение:

$S_{4п/к} = S_{кв} + S_{закр}$

Подставим известные значения:

$8\pi = 16 + S_{закр}$

Отсюда выразим площадь закрашенной фигуры:

$S_{закр} = 8\pi - 16$ см².

Можно вынести общий множитель за скобки: $S_{закр} = 8(\pi - 2)$ см².

Ответ: $8\pi - 16$ см².

6.89. На сторонах квадрата как на диаметрах построили полукруги вне квадрата. Получили первую фигуру (рис. 136, а). Потом каждую сторону такого же квадрата разделили на 2 равные части и на каждой из них как на диаметрах построили полукруги вне квадрата. Получили вторую фигуру (рис. 136, б). Потом каждую сторону такого же квадрата разделили на 3 равные части и т. д. Вычислите периметр и площадь каждой из первых четырёх фигур, если сторона квадрата равна 12 см.

Пусть сторона квадрата равна $a = 12$ см. Площадь этого квадрата составляет $S_{кв} = a^2 = 12^2 = 144$ см².

Периметр каждой фигуры будет состоять из суммы длин дуг всех построенных полукругов. Площадь каждой фигуры будет состоять из площади исходного квадрата и суммарной площади всех построенных полукругов.

Общая формула для длины окружности $C = \pi d$, а для дуги полукруга $L = \frac{1}{2}\pi d$.

Общая формула для площади круга $A = \pi r^2 = \pi (d/2)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$, а для полукруга $A_{полукруга} = \frac{1}{2} \pi r^2 = \frac{\pi d^2}{8}$.

На каждой из 4 сторон квадрата построен один полукруг. Диаметр каждого полукруга равен стороне квадрата: $d_1 = a = 12$ см.

Периметр: Фигура имеет 4 полукруга. Длина дуги одного полукруга: $L_1 = \frac{1}{2} \pi d_1 = \frac{1}{2} \pi \cdot 12 = 6\pi$ см.Общий периметр: $P_1 = 4 \cdot L_1 = 4 \cdot 6\pi = 24\pi$ см.

Площадь: Площадь одного полукруга: $A_1 = \frac{\pi d_1^2}{8} = \frac{\pi \cdot 12^2}{8} = \frac{144\pi}{8} = 18\pi$ см².Общая площадь: $S_1 = S_{кв} + 4 \cdot A_1 = 144 + 4 \cdot 18\pi = 144 + 72\pi$ см².

Ответ: периметр $24\pi$ см, площадь $(144 + 72\pi)$ см².

Каждая сторона квадрата разделена на 2 равные части. Всего $4 \times 2 = 8$ полукругов. Диаметр каждого полукруга: $d_2 = a / 2 = 12 / 2 = 6$ см.

Периметр: Длина дуги одного полукруга: $L_2 = \frac{1}{2} \pi d_2 = \frac{1}{2} \pi \cdot 6 = 3\pi$ см.Общий периметр: $P_2 = 8 \cdot L_2 = 8 \cdot 3\pi = 24\pi$ см.

Площадь: Площадь одного полукруга: $A_2 = \frac{\pi d_2^2}{8} = \frac{\pi \cdot 6^2}{8} = \frac{36\pi}{8} = 4.5\pi$ см².Общая площадь: $S_2 = S_{кв} + 8 \cdot A_2 = 144 + 8 \cdot 4.5\pi = 144 + 36\pi$ см².

Ответ: периметр $24\pi$ см, площадь $(144 + 36\pi)$ см².

Каждая сторона квадрата разделена на 3 равные части. Всего $4 \times 3 = 12$ полукругов. Диаметр каждого полукруга: $d_3 = a / 3 = 12 / 3 = 4$ см.

Периметр: Длина дуги одного полукруга: $L_3 = \frac{1}{2} \pi d_3 = \frac{1}{2} \pi \cdot 4 = 2\pi$ см.Общий периметр: $P_3 = 12 \cdot L_3 = 12 \cdot 2\pi = 24\pi$ см.

Площадь: Площадь одного полукруга: $A_3 = \frac{\pi d_3^2}{8} = \frac{\pi \cdot 4^2}{8} = \frac{16\pi}{8} = 2\pi$ см².Общая площадь: $S_3 = S_{кв} + 12 \cdot A_3 = 144 + 12 \cdot 2\pi = 144 + 24\pi$ см².

Ответ: периметр $24\pi$ см, площадь $(144 + 24\pi)$ см².

Каждая сторона квадрата разделена на 4 равные части. Всего $4 \times 4 = 16$ полукругов. Диаметр каждого полукруга: $d_4 = a / 4 = 12 / 4 = 3$ см.

Периметр: Длина дуги одного полукруга: $L_4 = \frac{1}{2} \pi d_4 = \frac{1}{2} \pi \cdot 3 = 1.5\pi$ см.Общий периметр: $P_4 = 16 \cdot L_4 = 16 \cdot 1.5\pi = 24\pi$ см.

Площадь: Площадь одного полукруга: $A_4 = \frac{\pi d_4^2}{8} = \frac{\pi \cdot 3^2}{8} = \frac{9\pi}{8} = 1.125\pi$ см².Общая площадь: $S_4 = S_{кв} + 16 \cdot A_4 = 144 + 16 \cdot \frac{9\pi}{8} = 144 + 2 \cdot 9\pi = 144 + 18\pi$ см².

Ответ: периметр $24\pi$ см, площадь $(144 + 18\pi)$ см².