Страница 250 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

6.106. Прочитайте название числового промежутка и изобразите его на координатной оси:

а) $[3; 5]$;

б) $(3; 5)$;

в) $[3; 5)$;

г) $(3; 5]$;

д) $[-2; +\infty)$;

е) $(-2; +\infty)$;

ж) $(-\infty; -2)$;

з) $(-\infty; -2]$

Это числовой промежуток, который называется отрезком или замкнутым интервалом. Он включает в себя все числа от 3 до 5, включая сами числа 3 и 5. В виде неравенства это записывается как $3 \le x \le 5$.
Для изображения на координатной оси нужно отметить точки 3 и 5. Так как скобки квадратные, обе точки включаются в промежуток, поэтому они изображаются закрашенными (сплошными) кружками. Область между этими точками заштриховывается.

Ответ: Числовой отрезок от 3 до 5, включающий концы. На координатной оси это закрашенные точки в 3 и 5 и заштрихованная область между ними.

Это числовой промежуток, который называется интервалом или открытым интервалом. Он включает в себя все числа между 3 и 5, но не включает сами числа 3 и 5. В виде неравенства это записывается как $3 < x < 5$.
Для изображения на координатной оси нужно отметить точки 3 и 5. Так как скобки круглые, обе точки не включаются в промежуток, поэтому они изображаются выколотыми (пустыми) кружками. Область между этими точками заштриховывается.

Ответ: Числовой интервал от 3 до 5, не включающий концы. На координатной оси это выколотые точки в 3 и 5 и заштрихованная область между ними.

Это числовой промежуток, который называется полуинтервалом. Он включает в себя все числа от 3 до 5, включая число 3, но не включая число 5. В виде неравенства это записывается как $3 \le x < 5$.
Для изображения на координатной оси нужно отметить точки 3 и 5. Так как у числа 3 стоит квадратная скобка, точка 3 включается в промежуток и изображается закрашенным кружком. У числа 5 стоит круглая скобка, поэтому точка 5 не включается и изображается выколотым кружком. Область между этими точками заштриховывается.

Ответ: Числовой полуинтервал от 3 до 5, включающий 3, но не включающий 5. На координатной оси это закрашенная точка в 3, выколотая точка в 5 и заштрихованная область между ними.

Это числовой промежуток, который называется полуинтервалом. Он включает в себя все числа от 3 до 5, не включая число 3, но включая число 5. В виде неравенства это записывается как $3 < x \le 5$.
Для изображения на координатной оси нужно отметить точки 3 и 5. У числа 3 стоит круглая скобка, поэтому точка 3 не включается и изображается выколотым кружком. У числа 5 стоит квадратная скобка, точка 5 включается в промежуток и изображается закрашенным кружком. Область между этими точками заштриховывается.

Ответ: Числовой полуинтервал от 3 до 5, не включающий 3, но включающий 5. На координатной оси это выколотая точка в 3, закрашенная точка в 5 и заштрихованная область между ними.

Это числовой промежуток, который называется числовым лучом (или замкнутым лучом). Он включает в себя число -2 и все числа, которые больше -2. В виде неравенства это записывается как $x \ge -2$.
Для изображения на координатной оси нужно отметить точку -2. Так как скобка квадратная, точка -2 включается в промежуток и изображается закрашенным кружком. Вся область справа от точки -2, включая саму точку, заштриховывается до плюс бесконечности.

Ответ: Числовой луч, начинающийся в точке -2 (включая её) и идущий в сторону положительной бесконечности. На координатной оси это закрашенная точка в -2 и заштрихованная область справа от неё.

Это числовой промежуток, который называется открытым числовым лучом. Он включает в себя все числа, которые больше -2. Само число -2 не включается. В виде неравенства это записывается как $x > -2$.
Для изображения на координатной оси нужно отметить точку -2. Так как скобка круглая, точка -2 не включается в промежуток и изображается выколотым кружком. Вся область справа от точки -2 заштриховывается до плюс бесконечности.

Ответ: Открытый числовой луч, начинающийся от точки -2 (не включая её) и идущий в сторону положительной бесконечности. На координатной оси это выколотая точка в -2 и заштрихованная область справа от неё.

Это числовой промежуток, который называется открытым числовым лучом. Он включает в себя все числа, которые меньше -2. Само число -2 не включается. В виде неравенства это записывается как $x < -2$.
Для изображения на координатной оси нужно отметить точку -2. Так как скобка круглая, точка -2 не включается в промежуток и изображается выколотым кружком. Вся область слева от точки -2 заштриховывается до минус бесконечности.

Ответ: Открытый числовой луч, идущий от минус бесконечности до точки -2 (не включая её). На координатной оси это выколотая точка в -2 и заштрихованная область слева от неё.

Это числовой промежуток, который называется числовым лучом (или замкнутым лучом). Он включает в себя число -2 и все числа, которые меньше -2. В виде неравенства это записывается как $x \le -2$.
Для изображения на координатной оси нужно отметить точку -2. Так как скобка квадратная, точка -2 включается в промежуток и изображается закрашенным кружком. Вся область слева от точки -2, включая саму точку, заштриховывается до минус бесконечности.

Ответ: Числовой луч, идущий от минус бесконечности до точки -2 (включая её). На координатной оси это закрашенная точка в -2 и заштрихованная область слева от неё.

6.107. Запишите обозначение:

а) отрезка от 2 до 4; $ [2, 4] $

б) интервала от 2 до 4; $ (2, 4) $

в) полуинтервала от 2 до 4, включая 4; $ (2, 4] $

г) полуинтервала от 2 до 4, включая 2; $ [2, 4) $

д) интервала от 5 до $+\infty$; $ (5, +\infty) $

е) полуинтервала от 5 до $+\infty$; $ [5, +\infty) $

ж) интервала от $-\infty$ до 0; $ (-\infty, 0) $

з) полуинтервала от $-\infty$ до 0. $ (-\infty, 0] $

Изобразите указанное множество чисел на координатной оси.

а) отрезка от 2 до 4

Отрезок — это числовой промежуток, который включает свои концы. Для обозначения отрезка используются квадратные скобки. Отрезок от 2 до 4 включает все числа $x$, для которых справедливо двойное неравенство $2 \le x \le 4$.

Обозначение: $[2; 4]$.

Изображение на координатной оси (закрашенные точки означают, что концы отрезка, числа 2 и 4, включены в множество):

Ответ: $[2; 4]$.

б) интервала от 2 до 4

Интервал — это числовой промежуток, который не включает свои концы. Для обозначения интервала используются круглые скобки. Интервал от 2 до 4 включает все числа $x$, для которых справедливо двойное неравенство $2 < x < 4$.

Обозначение: $(2; 4)$.

Изображение на координатной оси (выколотые, или пустые, точки означают, что концы интервала, числа 2 и 4, не включены в множество):

Ответ: $(2; 4)$.

в) полуинтервала от 2 до 4, включая 4

Полууинтервал — это числовой промежуток, который включает только один из своих концов. В данном случае промежуток не включает число 2, но включает число 4. Для включенной границы используется квадратная скобка, а для исключенной — круглая. Этот полуинтервал включает все числа $x$, для которых справедливо двойное неравенство $2 < x \le 4$.

Обозначение: $(2; 4]$.

Изображение на координатной оси (выколотая точка у числа 2 и закрашенная у числа 4):

Ответ: $(2; 4]$.

г) полуинтервала от 2 до 4, включая 2

Этот полуинтервал включает число 2, но не включает число 4. Для включенной границы используется квадратная скобка, а для исключенной — круглая. Этот полуинтервал включает все числа $x$, для которых справедливо двойное неравенство $2 \le x < 4$.

Обозначение: $[2; 4)$.

Изображение на координатной оси (закрашенная точка у числа 2 и выколотая у числа 4):

Ответ: $[2; 4)$.

д) интервала от 5 до +∞

Интервал от 5 до $+\infty$ (плюс бесконечность) — это числовой луч, не включающий свою начальную точку. Он включает все числа $x$, которые строго больше 5 ($x > 5$). Для обозначения бесконечности всегда используется круглая скобка.

Обозначение: $(5; +\infty)$.

Изображение на координатной оси (выколотая точка у числа 5 и луч, уходящий вправо):

Ответ: $(5; +\infty)$.

е) полуинтервала от 5 до +∞

Полууинтервал от 5 до $+\infty$ — это числовой луч, включающий свою начальную точку. Он включает все числа $x$, которые больше или равны 5 ($x \ge 5$). Для включенной границы используется квадратная скобка.

Обозначение: $[5; +\infty)$.

Изображение на координатной оси (закрашенная точка у числа 5 и луч, уходящий вправо):

Ответ: $[5; +\infty)$.

ж) интервала от −∞ до 0

Интервал от $-\infty$ (минус бесконечность) до 0 — это числовой луч, не включающий свою конечную точку. Он включает все числа $x$, которые строго меньше 0 ($x < 0$). Для обозначения бесконечности всегда используется круглая скобка.

Обозначение: $(-\infty; 0)$.

Изображение на координатной оси (выколотая точка у числа 0 и луч, уходящий влево):

Ответ: $(-\infty; 0)$.

з) полуинтервала от −∞ до 0

Полууинтервал от $-\infty$ до 0 — это числовой луч, включающий свою конечную точку. Он включает все числа $x$, которые меньше или равны 0 ($x \le 0$). Для включенной границы используется квадратная скобка.

Обозначение: $(-\infty; 0]$.

Изображение на координатной оси (закрашенная точка у числа 0 и луч, уходящий влево):

Ответ: $(-\infty; 0]$.

6.108. Принадлежит ли число $-2$ множеству чисел (сделайте запись с помощью знаков $\in$ и $\notin$):

а) $[-3; 0];$

б) $(-2; 3);$

в) $(-\infty; -2];$

г) $(-2; +\infty);$

д) $\mathbb{N};$

е) $\mathbb{Z};$

ж) $\mathbb{Q};$

з) $\mathbb{R}?$

а) Числовой промежуток $[-3; 0]$ — это отрезок, который включает все действительные числа от $-3$ до $0$ включительно. Условие принадлежности можно записать в виде неравенства: $-3 \le x \le 0$. Поскольку $-3 \le -2 \le 0$, число $-2$ принадлежит данному множеству.
Ответ: $-2 \in [-3; 0]$

б) Числовой промежуток $(-2; 3)$ — это интервал, который включает все действительные числа, строго большие $-2$ и строго меньшие $3$. Условие принадлежности: $-2 < x < 3$. Число $-2$ не удовлетворяет этому условию, так как оно не больше самого себя. Следовательно, $-2$ не принадлежит данному множеству.
Ответ: $-2 \notin (-2; 3)$

в) Числовой промежуток $(-\infty; -2]$ — это числовой луч, который включает все действительные числа, меньшие или равные $-2$. Условие принадлежности: $x \le -2$. Число $-2$ удовлетворяет этому условию, так как $-2 = -2$. Следовательно, $-2$ принадлежит данному множеству.
Ответ: $-2 \in (-\infty; -2]$

г) Числовой промежуток $(-2; +\infty)$ — это открытый числовой луч, который включает все действительные числа, строго большие $-2$. Условие принадлежности: $x > -2$. Число $-2$ не удовлетворяет этому условию. Следовательно, $-2$ не принадлежит данному множеству.
Ответ: $-2 \notin (-2; +\infty)$

д) $N$ — это множество натуральных чисел. В стандартном определении, это множество целых положительных чисел: $N = \{1, 2, 3, ...\}$. Число $-2$ является целым, но отрицательным, поэтому оно не входит в множество натуральных чисел.
Ответ: $-2 \notin N$

е) $Z$ — это множество целых чисел, которое включает натуральные числа, им противоположные и ноль: $Z = \{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\}$. Число $-2$ является целым числом.
Ответ: $-2 \in Z$

ж) $Q$ — это множество рациональных чисел, то есть чисел, которые могут быть представлены в виде дроби $p/q$, где $p$ — целое число, а $q$ — натуральное число. Число $-2$ можно представить в виде дроби $-2/1$. Следовательно, $-2$ является рациональным числом.
Ответ: $-2 \in Q$

з) $R$ — это множество действительных (вещественных) чисел, которое включает в себя все рациональные и иррациональные числа. Поскольку $-2$ является целым и, следовательно, рациональным числом, оно также является и действительным числом.
Ответ: $-2 \in R$

6.109. Принадлежит ли число $\frac{2}{3}$ множеству чисел (сделайте запись с помощью знаков $\in$ и $\notin$):

а) $(0; 1];$

б) $[1; 2];$

в) $(-\infty; \frac{2}{3}];$

г) $(\frac{2}{3}; +\infty);$

д) $\mathbb{N};$

е) $\mathbb{Z};$

ж) $\mathbb{Q};$

з) $\mathbb{R}?$

а) Интервал $(0; 1]$ — это множество всех чисел $x$, удовлетворяющих неравенству $0 < x \le 1$. Проверим, удовлетворяет ли число $\frac{2}{3}$ этому неравенству. Так как $0 < \frac{2}{3}$ и $\frac{2}{3} \le 1$, то оба условия выполняются. Следовательно, число $\frac{2}{3}$ принадлежит данному интервалу.
Ответ: $\frac{2}{3} \in (0; 1]$.

б) Интервал $[1; 2]$ — это множество всех чисел $x$, удовлетворяющих неравенству $1 \le x \le 2$. Проверим, выполняется ли это условие для числа $\frac{2}{3}$. Неравенство $1 \le \frac{2}{3}$ является ложным, так как $\frac{2}{3}$ меньше 1. Следовательно, число $\frac{2}{3}$ не принадлежит данному интервалу.
Ответ: $\frac{2}{3} \notin [1; 2]$.

в) Интервал $(-\infty; \frac{2}{3}]$ — это множество всех чисел $x$, удовлетворяющих неравенству $x \le \frac{2}{3}$. Квадратная скобка означает, что граница интервала, число $\frac{2}{3}$, включается в множество. Так как $\frac{2}{3} = \frac{2}{3}$, то неравенство $\frac{2}{3} \le \frac{2}{3}$ выполняется. Следовательно, число $\frac{2}{3}$ принадлежит данному множеству.
Ответ: $\frac{2}{3} \in (-\infty; \frac{2}{3}]$.

г) Интервал $(\frac{2}{3}; +\infty)$ — это множество всех чисел $x$, удовлетворяющих строгому неравенству $x > \frac{2}{3}$. Круглая скобка означает, что граница интервала, число $\frac{2}{3}$, не включается в множество. Неравенство $\frac{2}{3} > \frac{2}{3}$ является ложным. Следовательно, число $\frac{2}{3}$ не принадлежит данному множеству.
Ответ: $\frac{2}{3} \notin (\frac{2}{3}; +\infty)$.

д) Множество натуральных чисел $N$ состоит из целых положительных чисел, используемых при счете: $N = \{1, 2, 3, ...\}$. Число $\frac{2}{3}$ не является целым числом. Следовательно, $\frac{2}{3}$ не является натуральным числом.
Ответ: $\frac{2}{3} \notin N$.

е) Множество целых чисел $Z$ состоит из натуральных чисел, им противоположных и нуля: $Z = \{..., -2, -1, 0, 1, 2, ...\}$. Число $\frac{2}{3}$ является дробным, а не целым. Следовательно, $\frac{2}{3}$ не принадлежит множеству целых чисел.
Ответ: $\frac{2}{3} \notin Z$.

ж) Множество рациональных чисел $Q$ состоит из всех чисел, которые можно представить в виде дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ — целое число, а $q$ — натуральное число (или $p, q$ — целые, $q \neq 0$). Число $\frac{2}{3}$ по определению является рациональным, так как оно представлено в виде дроби с целым числителем 2 и натуральным знаменателем 3.
Ответ: $\frac{2}{3} \in Q$.

з) Множество действительных (вещественных) чисел $R$ включает в себя все рациональные и иррациональные числа. Так как число $\frac{2}{3}$ является рациональным, оно также является и действительным числом. Следовательно, $\frac{2}{3}$ принадлежит множеству действительных чисел.
Ответ: $\frac{2}{3} \in R$.

6.110 Запишите обозначение числового промежутка, изображённого на рисунке 142.

Для того чтобы записать обозначение числового промежутка, изображённого на рисунке 142, необходимо выполнить следующие шаги. Поскольку сам рисунок в вопросе отсутствует, ниже приведено общее руководство с примерами.

1. Определение границ промежутка

Посмотрите на числовую ось на рисунке и найдите числа, которыми ограничен заштрихованный участок. Это будут левая и правая границы промежутка. Если заштрихованная область уходит вправо к $$+\infty$$ (плюс бесконечности) или влево к $$-\infty$$ (минус бесконечности), то одной из границ будет являться соответствующий символ бесконечности.

2. Определение типа скобок

Тип скобок (круглые или квадратные) зависит от того, включены ли граничные точки в промежуток. Это определяется по виду точек на рисунке:

• Закрашенная (сплошная) точка означает, что число включается в промежуток. Для него используется квадратная скобка: `[` для левой границы и `]` для правой. В виде неравенства это соответствует знакам $$\ge$$ или $$\le$$.

• Выколотая (пустая) точка означает, что число не включается в промежуток. Для него используется круглая скобка: `(` для левой границы и `)` для правой. В виде неравенства это соответствует знакам $$>$$ или $$<$$.

• Границы с символами бесконечности ($$+\infty$$ и $$-\infty$$) всегда записываются с круглой скобкой, так как бесконечность не является конкретным числом.

3. Запись обозначения промежутка

Промежуток записывается в виде `(a; b)`, `[a; b]`, `(a; b]` или `[a; b)`, где `a` — левая граница, а `b` — правая. Внутри скобок числа разделяются точкой с запятой. Рассмотрим несколько примеров:

Пример 1: На оси заштрихован участок от -5 до 3, причём точка -5 закрашенная, а точка 3 выколотая.
Левая граница: -5 (включительно) → квадратная скобка `[`.
Правая граница: 3 (исключительно) → круглая скобка `)`.
Обозначение: $$[-5; 3)$$. Это соответствует множеству всех чисел $x$, таких что $$-5 \le x < 3$$.

Пример 2: Заштрихован участок от 2 до $$+\infty$$, и точка 2 закрашенная.
Левая граница: 2 (включительно) → квадратная скобка `[`.
Правая граница: $$+\infty$$ → круглая скобка `)`.
Обозначение: $$[2; +\infty)$$. Это соответствует множеству всех чисел $x$, таких что $$x \ge 2$$.

Пример 3: Заштрихован участок от $$-\infty$$ до -1, и точка -1 выколотая.
Левая граница: $$-\infty$$ → круглая скобка `(`.
Правая граница: -1 (исключительно) → круглая скобка `)`.
Обозначение: $$(-\infty; -1)$$. Это соответствует множеству всех чисел $x$, таких что $$x < -1$$.

Для выполнения вашего задания, внимательно изучите рисунок 142 и примените описанные выше шаги.

Ответ: Для записи точного ответа необходим рисунок 142. Вам нужно определить границы промежутка и тип точек на них, чтобы записать обозначение в соответствующем формате, например, $$[a; b)$$, $$(a; b)$$ или $$[c; +\infty)$$.

6.111. Какому из числовых промежутков, изображённых на рисунке 143, соответствует множество чисел x, удовлетворяющих неравенству:

а) $x \geq 7$;

г) $x < 8$;

ж) $5 \leq x < 6$;

б) $x > 7$;

д) $3 < x < 7$;

з) $5 < x \leq 6?$

в) $x \leq 8$;

е) $3 \leq x \leq 7$;

а) б) в) г) д) е) ж) з) Рис. 143

Чтобы сопоставить неравенства с числовыми промежутками, проанализируем каждое неравенство и соответствующее ему графическое изображение на числовой оси. Закрашенная точка означает, что число включено в промежуток (нестрогое неравенство, $\le$ или $\ge$), а выколотая (пустая) точка означает, что число не включено (строгое неравенство, < или >).

а) Неравенство $x \ge 7$ означает, что переменная $x$ принимает значения, которые больше или равны 7. На числовой прямой это изображается закрашенной точкой в позиции 7 (так как значение 7 включено в промежуток) и штриховкой вправо от этой точки. Этому описанию соответствует рисунок д).

Ответ: д)

б) Неравенство $x > 7$ означает, что переменная $x$ принимает значения, которые строго больше 7. На числовой прямой это изображается выколотой (пустой) точкой в позиции 7 (так как значение 7 не включено в промежуток) и штриховкой вправо от этой точки. Этому описанию соответствует рисунок ж).

Ответ: ж)

в) Неравенство $x \le 8$ означает, что переменная $x$ принимает значения, которые меньше или равны 8. На числовой прямой это изображается закрашенной точкой в позиции 8 (так как значение 8 включено в промежуток) и штриховкой влево от этой точки. Этому описанию соответствует рисунок з).

Ответ: з)

г) Неравенство $x < 8$ означает, что переменная $x$ принимает значения, которые строго меньше 8. На числовой прямой это изображается выколотой (пустой) точкой в позиции 8 (так как значение 8 не включено в промежуток) и штриховкой влево от этой точки. Этому описанию соответствует рисунок е).

Ответ: е)

д) Двойное неравенство $3 < x < 7$ означает, что переменная $x$ принимает значения, которые строго больше 3 и одновременно строго меньше 7. На числовой прямой это изображается интервалом между 3 и 7, где точки 3 и 7 выколоты, так как они не входят в промежуток. Этому описанию соответствует рисунок б).

Ответ: б)

е) Двойное неравенство $3 \le x \le 7$ означает, что переменная $x$ принимает значения, которые больше или равны 3 и одновременно меньше или равны 7. На числовой прямой это изображается отрезком между 3 и 7, где точки 3 и 7 закрашены, так как они входят в промежуток. Этому описанию соответствует рисунок а).

Ответ: а)

ж) Двойное неравенство $5 \le x < 6$ означает, что переменная $x$ принимает значения, которые больше или равны 5 и одновременно строго меньше 6. На числовой прямой это изображается полуинтервалом между 5 и 6, где точка 5 закрашена (включена), а точка 6 выколота (не включена). Этому описанию соответствует рисунок г).

Ответ: г)

з) Двойное неравенство $5 < x \le 6$ означает, что переменная $x$ принимает значения, которые строго больше 5 и одновременно меньше или равны 6. На числовой прямой это изображается полуинтервалом между 5 и 6, где точка 5 выколота (не включена), а точка 6 закрашена (включена). Этому описанию соответствует рисунок в).

Ответ: в)