Страница 256 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

6.130. Постройте прямые AB и CD, если $A(-1; 1)$, $B(1; 2)$, $C(-3; 0)$, $D(2; 1)$. Найдите координаты точки пересечения прямых AB и CD.

Для решения задачи необходимо сначала найти уравнения прямых AB и CD, а затем, решив систему этих уравнений, определить координаты их точки пересечения.

Построение прямых AB и CD

Для построения прямых на координатной плоскости необходимо отметить заданные точки и соединить их соответствующими прямыми линиями. Сначала наносим на график точки $A(-1; 1)$ и $B(1; 2)$ и проводим через них прямую AB. Затем наносим точки $C(-3; 0)$ и $D(2; 1)$ и проводим через них прямую CD. Точка, в которой эти прямые пересекутся, и будет искомой.

Нахождение координат точки пересечения прямых AB и CD

1. Составим уравнение прямой AB.

Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две заданные точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$: $\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$.

Подставим координаты точек $A(-1; 1)$ и $B(1; 2)$:

$\frac{x - (-1)}{1 - (-1)} = \frac{y - 1}{2 - 1}$

$\frac{x + 1}{2} = \frac{y - 1}{1}$

Выразим $y$ через $x$, чтобы получить уравнение вида $y = kx + b$:

$2(y - 1) = x + 1$

$2y - 2 = x + 1$

$2y = x + 3$

$y = \frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$

2. Составим уравнение прямой CD.

Аналогично подставим координаты точек $C(-3; 0)$ и $D(2; 1)$ в ту же формулу:

$\frac{x - (-3)}{2 - (-3)} = \frac{y - 0}{1 - 0}$

$\frac{x + 3}{5} = \frac{y}{1}$

Отсюда получаем уравнение прямой CD:

$y = \frac{1}{5}x + \frac{3}{5}$

3. Найдем координаты точки пересечения.

Точка пересечения является решением системы двух линейных уравнений, которые мы получили:

$\begin{cases} y = \frac{1}{2}x + \frac{3}{2} \\ y = \frac{1}{5}x + \frac{3}{5} \end{cases}$

Так как левые части уравнений равны, приравняем их правые части, чтобы найти координату $x$ точки пересечения:

$\frac{1}{2}x + \frac{3}{2} = \frac{1}{5}x + \frac{3}{5}$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числовые слагаемые — в правую:

$\frac{1}{2}x - \frac{1}{5}x = \frac{3}{5} - \frac{3}{2}$

Приведем дроби в каждой части к общему знаменателю (10):

$\frac{5x}{10} - \frac{2x}{10} = \frac{6}{10} - \frac{15}{10}$

$\frac{3x}{10} = -\frac{9}{10}$

Умножим обе части уравнения на 10:

$3x = -9$

$x = -3$

Теперь, чтобы найти координату $y$, подставим найденное значение $x = -3$ в любое из двух уравнений. Например, в уравнение прямой CD:

$y = \frac{1}{5}(-3) + \frac{3}{5} = -\frac{3}{5} + \frac{3}{5} = 0$

Таким образом, координаты точки пересечения прямых AB и CD равны $(-3; 0)$.

Ответ: Координаты точки пересечения прямых AB и CD: $(-3; 0)$.

Придумываем задачу

6.131. Придумайте задачу на построение фигур по точкам, заданным своими координатами.

Поскольку в задании требуется придумать задачу, я сформулирую новую задачу на построение фигуры по координатам и приведу ее развернутое решение.

Задача

На координатной плоскости отметьте точки с заданными координатами: $A(-6; -3)$, $B(6; -3)$, $C(8; 2)$, $D(0; 7)$ и $E(-8; 2)$. Последовательно соедините отрезками точки $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, а затем точку $E$ с точкой $A$.
1. Какая фигура у вас получилась?
2. Вычислите периметр этой фигуры, если единичный отрезок на осях равен 1 см.

Решение

Решение задачи состоит из двух частей: построение фигуры и вычисление её периметра.

1. Построение фигуры

Начертим прямоугольную систему координат $Oxy$. Ось $Ox$ — горизонтальная, ось $Oy$ — вертикальная. Выберем масштаб, например, 1 клетка = 1 единичный отрезок.
Отметим на плоскости заданные точки:
- Точка $A$ имеет координаты $(-6; -3)$.
- Точка $B$ имеет координаты $(6; -3)$.
- Точка $C$ имеет координаты $(8; 2)$.
- Точка $D$ имеет координаты $(0; 7)$.
- Точка $E$ имеет координаты $(-8; 2)$.
Теперь последовательно соединим точки отрезками: $AB$, $BC$, $CD$, $DE$ и $EA$.
В результате построения на координатной плоскости мы получили замкнутую ломаную, которая образует неправильный пятиугольник $ABCDE$. Фигура симметрична относительно оси $Oy$.

2. Вычисление периметра

Периметр многоугольника ($P$) — это сумма длин всех его сторон. Найдем длину каждой стороны пятиугольника $ABCDE$.

- Длина стороны $AB$.
Точки $A(-6; -3)$ и $B(6; -3)$ имеют одинаковую ординату, значит, отрезок $AB$ параллелен оси $Ox$. Его длина равна модулю разности абсцисс:
$|AB| = |6 - (-6)| = |12| = 12$ см.

- Длина стороны $BC$.
Длину отрезка с концами в точках $B(x_1, y_1)$ и $C(x_2, y_2)$ найдем по формуле расстояния между двумя точками: $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$.
$|BC| = \sqrt{(8-6)^2 + (2-(-3))^2} = \sqrt{2^2 + 5^2} = \sqrt{4 + 25} = \sqrt{29}$ см.

- Длина стороны $CD$.
Найдем расстояние между точками $C(8; 2)$ и $D(0; 7)$:
$|CD| = \sqrt{(0-8)^2 + (7-2)^2} = \sqrt{(-8)^2 + 5^2} = \sqrt{64 + 25} = \sqrt{89}$ см.

- Длина стороны $DE$.
Найдем расстояние между точками $D(0; 7)$ и $E(-8; 2)$:
$|DE| = \sqrt{(-8-0)^2 + (2-7)^2} = \sqrt{(-8)^2 + (-5)^2} = \sqrt{64 + 25} = \sqrt{89}$ см.
(Длины сторон $CD$ и $DE$ равны, так как фигура симметрична относительно оси $Oy$).

- Длина стороны $EA$.
Найдем расстояние между точками $E(-8; 2)$ и $A(-6; -3)$:
$|EA| = \sqrt{(-6-(-8))^2 + (-3-2)^2} = \sqrt{2^2 + (-5)^2} = \sqrt{4 + 25} = \sqrt{29}$ см.
(Длины сторон $EA$ и $BC$ также равны из-за симметрии).

- Периметр $P_{ABCDE}$.
Сложим длины всех сторон:
$P = |AB| + |BC| + |CD| + |DE| + |EA| = 12 + \sqrt{29} + \sqrt{89} + \sqrt{89} + \sqrt{29}$
$P = 12 + 2\sqrt{29} + 2\sqrt{89}$ см.
Для получения приближенного значения: $\sqrt{29} \approx 5.39$ см, $\sqrt{89} \approx 9.43$ см.
$P \approx 12 + 2 \cdot 5.39 + 2 \cdot 9.43 = 12 + 10.78 + 18.86 = 41.64$ см.

Ответ: В результате построения получился пятиугольник $ABCDE$. Его точный периметр равен $12 + 2\sqrt{29} + 2\sqrt{89}$ см, что приблизительно составляет $41.64$ см.