Номер 6.130, страница 256 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 6. Обыкновенные и десятичные дроби. 6.10. Декартова система координат на плоскости - номер 6.130, страница 256.

Условие.

6.130. Постройте прямые AB и CD, если $A(-1; 1)$, $B(1; 2)$, $C(-3; 0)$, $D(2; 1)$. Найдите координаты точки пересечения прямых AB и CD.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения задачи необходимо сначала найти уравнения прямых AB и CD, а затем, решив систему этих уравнений, определить координаты их точки пересечения.

Построение прямых AB и CD

Для построения прямых на координатной плоскости необходимо отметить заданные точки и соединить их соответствующими прямыми линиями. Сначала наносим на график точки $A(-1; 1)$ и $B(1; 2)$ и проводим через них прямую AB. Затем наносим точки $C(-3; 0)$ и $D(2; 1)$ и проводим через них прямую CD. Точка, в которой эти прямые пересекутся, и будет искомой.

Нахождение координат точки пересечения прямых AB и CD

1. Составим уравнение прямой AB.

Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две заданные точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$: $\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$.

Подставим координаты точек $A(-1; 1)$ и $B(1; 2)$:

$\frac{x - (-1)}{1 - (-1)} = \frac{y - 1}{2 - 1}$

$\frac{x + 1}{2} = \frac{y - 1}{1}$

Выразим $y$ через $x$, чтобы получить уравнение вида $y = kx + b$:

$2(y - 1) = x + 1$

$2y - 2 = x + 1$

$2y = x + 3$

$y = \frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$

2. Составим уравнение прямой CD.

Аналогично подставим координаты точек $C(-3; 0)$ и $D(2; 1)$ в ту же формулу:

$\frac{x - (-3)}{2 - (-3)} = \frac{y - 0}{1 - 0}$

$\frac{x + 3}{5} = \frac{y}{1}$

Отсюда получаем уравнение прямой CD:

$y = \frac{1}{5}x + \frac{3}{5}$

3. Найдем координаты точки пересечения.

Точка пересечения является решением системы двух линейных уравнений, которые мы получили:

$\begin{cases} y = \frac{1}{2}x + \frac{3}{2} \\ y = \frac{1}{5}x + \frac{3}{5} \end{cases}$

Так как левые части уравнений равны, приравняем их правые части, чтобы найти координату $x$ точки пересечения:

$\frac{1}{2}x + \frac{3}{2} = \frac{1}{5}x + \frac{3}{5}$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числовые слагаемые — в правую:

$\frac{1}{2}x - \frac{1}{5}x = \frac{3}{5} - \frac{3}{2}$

Приведем дроби в каждой части к общему знаменателю (10):

$\frac{5x}{10} - \frac{2x}{10} = \frac{6}{10} - \frac{15}{10}$

$\frac{3x}{10} = -\frac{9}{10}$

Умножим обе части уравнения на 10:

$3x = -9$

$x = -3$

Теперь, чтобы найти координату $y$, подставим найденное значение $x = -3$ в любое из двух уравнений. Например, в уравнение прямой CD:

$y = \frac{1}{5}(-3) + \frac{3}{5} = -\frac{3}{5} + \frac{3}{5} = 0$

Таким образом, координаты точки пересечения прямых AB и CD равны $(-3; 0)$.

Ответ: Координаты точки пересечения прямых AB и CD: $(-3; 0)$.