Номер 6.129, страница 255 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 6. Обыкновенные и десятичные дроби. 6.10. Декартова система координат на плоскости - номер 6.129, страница 255.

Условие.

6.129. Постройте отрезки $AB$ и $CD$, если $A(-3; 4)$, $B(2; -1)$, $C(-2; 0)$, $D(4; 3)$. Найдите координаты точки пересечения отрезков $AB$ и $CD$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Постройте отрезки AB и CD

Для построения отрезков в декартовой системе координат необходимо отметить точки с заданными координатами: $A(-3; 4)$, $B(2; -1)$, $C(-2; 0)$ и $D(4; 3)$. Затем, используя линейку, соединяем точку $A$ с точкой $B$, чтобы получить отрезок $AB$, и точку $C$ с точкой $D$, чтобы получить отрезок $CD$.

Найдите координаты точки пересечения отрезков AB и CD

Чтобы найти координаты точки пересечения аналитически, сначала найдем уравнения прямых, на которых лежат эти отрезки. Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$: $\frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}$.

1. Уравнение прямой AB, проходящей через точки $A(-3; 4)$ и $B(2; -1)$:
$\frac{y - 4}{-1 - 4} = \frac{x - (-3)}{2 - (-3)}$
$\frac{y - 4}{-5} = \frac{x + 3}{5}$
Умножим обе части на 5: $-(y - 4) = x + 3$
$-y + 4 = x + 3$
$y = -x + 1$

2. Уравнение прямой CD, проходящей через точки $C(-2; 0)$ и $D(4; 3)$:
$\frac{y - 0}{3 - 0} = \frac{x - (-2)}{4 - (-2)}$
$\frac{y}{3} = \frac{x + 2}{6}$
Умножим обе части на 6: $2y = x + 2$
$y = \frac{1}{2}x + 1$

3. Найдем точку пересечения прямых, решив систему уравнений:
$\{_{y = \frac{1}{2}x + 1}^{y = -x + 1}$
Приравняем правые части уравнений:
$-x + 1 = \frac{1}{2}x + 1$
$-x = \frac{1}{2}x$
$\frac{3}{2}x = 0 \implies x = 0$
Подставим найденное значение $x=0$ в первое уравнение, чтобы найти $y$:
$y = -0 + 1 = 1$
Таким образом, прямые пересекаются в точке с координатами $(0; 1)$.

4. Проверим, принадлежит ли точка $(0; 1)$ обоим отрезкам. Точка принадлежит отрезку, если ее координаты находятся между координатами концов отрезка.
Для отрезка AB: $x \in [-3; 2]$ и $y \in [-1; 4]$. Условия $-3 \le 0 \le 2$ и $-1 \le 1 \le 4$ выполняются.
Для отрезка CD: $x \in [-2; 4]$ и $y \in [0; 3]$. Условия $-2 \le 0 \le 4$ и $0 \le 1 \le 3$ выполняются.
Поскольку точка $(0; 1)$ принадлежит обеим прямым и находится в пределах обоих отрезков, она является их точкой пересечения.

Ответ: (0; 1).