Страница 249 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

6.103. а) Какое множество чисел называют отрезком? интервалом? полуинтервалом?

б) Что означает запись: $x \rightarrow +\infty$? $x \rightarrow -\infty$?

а)

Отрезком называют множество всех действительных чисел $x$, заключенных между двумя данными числами $a$ и $b$, включая сами эти числа. Если $a < b$, то отрезок обозначается как $[a, b]$ и определяется двойным неравенством $a \le x \le b$.

Интервалом называют множество всех действительных чисел $x$, заключенных между двумя данными числами $a$ и $b$, но не включая сами эти числа. Если $a < b$, то интервал обозначается как $(a, b)$ и определяется двойным неравенством $a < x < b$.

Полуинтервалом (или полуотрезком) называют множество всех действительных чисел $x$, заключенных между двумя данными числами $a$ и $b$, включая только одно из этих чисел. Существует два вида полуинтервалов:

• $[a, b)$, который определяется неравенством $a \le x < b$.
• $(a, b]$, который определяется неравенством $a < x \le b$.

Ответ: Отрезок $[a, b]$ – это множество чисел $x$, удовлетворяющих условию $a \le x \le b$. Интервал $(a, b)$ – это множество чисел $x$, удовлетворяющих условию $a < x < b$. Полуинтервал $[a, b)$ или $(a, b]$ – это множество чисел $x$, удовлетворяющих условию $a \le x < b$ или $a < x \le b$ соответственно.

б)

Запись $x \rightarrow +\infty$ (читается как "икс стремится к плюс бесконечности") означает, что переменная $x$ принимает всё большие и большие положительные значения, превосходя любое наперёд заданное число. То есть, $x$ неограниченно возрастает.

Запись $x \rightarrow -\infty$ (читается как "икс стремится к минус бесконечности") означает, что переменная $x$ принимает всё меньшие и меньшие значения (то есть, становится всё большим по модулю отрицательным числом), становясь меньше любого наперёд заданного отрицательного числа. То есть, $x$ неограниченно убывает.

Ответ: Запись $x \rightarrow +\infty$ означает, что переменная $x$ неограниченно возрастает, а запись $x \rightarrow -\infty$ означает, что переменная $x$ неограниченно убывает, принимая сколь угодно большие по модулю отрицательные значения.

6.104. Назовите все целые числа, принадлежащие множеству чисел:

а) $[-3; 1]$;
б) $(-3; 1)$;
в) $[-3; 1)$;
г) $(-3; 1)$;
д) $[-2; 3]$;
е) $(-2; 3)$;
ж) $[-2; 3)$;
з) $(-2; 3)$.

а) Промежуток $[-3; 1]$ является числовым отрезком. Он включает все действительные числа $x$, которые удовлетворяют двойному неравенству $-3 \le x \le 1$. Квадратные скобки означают, что концы отрезка, числа -3 и 1, также принадлежат этому множеству. Целые числа, которые находятся в этом промежутке: -3, -2, -1, 0, 1.
Ответ: -3, -2, -1, 0, 1.

б) Промежуток $(-3; 1)$ является открытым интервалом. Он включает все действительные числа $x$, которые удовлетворяют строгому двойному неравенству $-3 < x < 1$. Круглые скобки означают, что концы интервала, числа -3 и 1, не принадлежат этому множеству. Целые числа, которые находятся в этом промежутке: -2, -1, 0.
Ответ: -2, -1, 0.

в) Промежуток $[-3; 1)$ является полуинтервалом. Он включает все действительные числа $x$, которые удовлетворяют двойному неравенству $-3 \le x < 1$. Квадратная скобка у числа -3 означает, что оно включено в множество, а круглая скобка у числа 1 означает, что оно не включено. Целые числа, которые находятся в этом промежутке: -3, -2, -1, 0.
Ответ: -3, -2, -1, 0.

г) Промежуток $(-3; 1]$ является полуинтервалом. Он включает все действительные числа $x$, которые удовлетворяют двойному неравенству $-3 < x \le 1$. Круглая скобка у числа -3 означает, что оно не включено в множество, а квадратная скобка у числа 1 означает, что оно включено. Целые числа, которые находятся в этом промежутке: -2, -1, 0, 1.
Ответ: -2, -1, 0, 1.

д) Промежуток $[-2; 3]$ является числовым отрезком. Он включает все действительные числа $x$, которые удовлетворяют двойному неравенству $-2 \le x \le 3$. Квадратные скобки означают, что концы отрезка, числа -2 и 3, также принадлежат этому множеству. Целые числа, которые находятся в этом промежутке: -2, -1, 0, 1, 2, 3.
Ответ: -2, -1, 0, 1, 2, 3.

е) Промежуток $(-2; 3)$ является открытым интервалом. Он включает все действительные числа $x$, которые удовлетворяют строгому двойному неравенству $-2 < x < 3$. Круглые скобки означают, что концы интервала, числа -2 и 3, не принадлежат этому множеству. Целые числа, которые находятся в этом промежутке: -1, 0, 1, 2.
Ответ: -1, 0, 1, 2.

ж) Промежуток $[-2; 3)$ является полуинтервалом. Он включает все действительные числа $x$, которые удовлетворяют двойному неравенству $-2 \le x < 3$. Квадратная скобка у числа -2 означает, что оно включено в множество, а круглая скобка у числа 3 означает, что оно не включено. Целые числа, которые находятся в этом промежутке: -2, -1, 0, 1, 2.
Ответ: -2, -1, 0, 1, 2.

з) Промежуток $(-2; 3]$ является полуинтервалом. Он включает все действительные числа $x$, которые удовлетворяют двойному неравенству $-2 < x \le 3$. Круглая скобка у числа -2 означает, что оно не включено в множество, а квадратная скобка у числа 3 означает, что оно включено. Целые числа, которые находятся в этом промежутке: -1, 0, 1, 2, 3.
Ответ: -1, 0, 1, 2, 3.

6.105. Назовите три целых числа, принадлежащие множеству чисел:

а) $ [0; +\infty) $;

б) $ (0; +\infty) $;

в) $ (-\infty; 1) $;

г) $ (-\infty; 1] $.

а) Множество чисел, заданное промежутком $[0; +\infty)$, представляет собой числовой луч. Он включает в себя все действительные числа, которые больше или равны нулю. В виде неравенства это записывается как $x \ge 0$. Квадратная скобка `[` у нуля означает, что число 0 включено в данное множество. Нам нужно выбрать три любых целых числа, удовлетворяющих этому условию. Целые числа, принадлежащие этому множеству, это $0, 1, 2, 3, ...$ и так далее.

Ответ: 0, 7, 100.

б) Множество чисел, заданное промежутком $(0; +\infty)$, представляет собой открытый числовой луч. Он включает в себя все действительные числа, которые строго больше нуля. В виде неравенства это записывается как $x > 0$. Круглая скобка `(` у нуля означает, что число 0 не включено в данное множество. Целые числа, принадлежащие этому множеству, это все натуральные числа: $1, 2, 3, 4, ...$ и так далее.

Ответ: 1, 2, 3.

в) Множество чисел, заданное промежутком $(-\infty; 1)$, представляет собой открытый числовой луч. Он включает в себя все действительные числа, которые строго меньше единицы. В виде неравенства это записывается как $x < 1$. Круглая скобка `)` у единицы означает, что число 1 не включено в данное множество. Целые числа, принадлежащие этому множеству, это $0, -1, -2, -3, ...$ и так далее.

Ответ: 0, -1, -15.

г) Множество чисел, заданное промежутком $(-\infty; 1]$, представляет собой числовой луч. Он включает в себя все действительные числа, которые меньше или равны единице. В виде неравенства это записывается как $x \le 1$. Квадратная скобка `]` у единицы означает, что число 1 включено в данное множество. Целые числа, принадлежащие этому множеству, это $1, 0, -1, -2, ...$ и так далее.

Ответ: 1, 0, -25.