Страница 254 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

6.116. На рисунке 150 изображены точки $A (2; 3)$, $B (0; 4)$, $C (3; 0)$, $D (-4; -2)$. Назовите абсциссу и ординату каждой точки. Запишите координаты точек $M, N, K, L$. В каких координатных углах расположены точки $A, D, L, K$?

6.116.

Назовите абсциссу и ординату каждой точки.
Координаты точки записываются в формате $(x; y)$, где $x$ — это абсцисса (горизонтальная координата), а $y$ — это ордината (вертикальная координата).

• Для точки $A(2; 3)$: абсцисса равна 2, ордината равна 3.
• Для точки $B(0; 4)$: абсцисса равна 0, ордината равна 4.
• Для точки $C(3; 0)$: абсцисса равна 3, ордината равна 0.
• Для точки $D(-4; -2)$: абсцисса равна -4, ордината равна -2.

Ответ: A: абсцисса 2, ордината 3; B: абсцисса 0, ордината 4; C: абсцисса 3, ордината 0; D: абсцисса –4, ордината –2.

Запишите координаты точек M, N, K, L.
Чтобы найти координаты точки на плоскости, нужно найти ее проекции на оси координат.

• Точка $M$ лежит на оси абсцисс (оси $x$) в точке со значением -2. Ее ордината равна 0. Следовательно, координаты точки $M(-2; 0)$.
• Для точки $N$ проекция на ось абсцисс равна -1, а на ось ординат -2. Следовательно, координаты точки $N(-1; -2)$.
• Для точки $K$ проекция на ось абсцисс равна 2, а на ось ординат 2. Следовательно, координаты точки $K(2; 2)$.
• Для точки $L$ проекция на ось абсцисс равна -2, а на ось ординат 3. Следовательно, координаты точки $L(-2; 3)$.

Ответ: $M(-2; 0)$, $N(-1; -2)$, $K(2; 2)$, $L(-2; 3)$.

В каких координатных углах расположены точки A, D, L, K?
Координатная плоскость делится осями на четыре координатных угла (четверти), нумерация которых идет против часовой стрелки, начиная с правого верхнего угла.

• I координатный угол (четверть): $x > 0$, $y > 0$.
• II координатный угол (четверть): $x < 0$, $y > 0$.
• III координатный угол (четверть): $x < 0$, $y < 0$.
• IV координатный угол (четверть): $x > 0$, $y < 0$.

• Точка $A(2; 3)$: $x > 0$ и $y > 0$, следовательно, она находится в I координатном углу.
• Точка $D(-4; -2)$: $x < 0$ и $y < 0$, следовательно, она находится в III координатном углу.
• Точка $L(-2; 3)$: $x < 0$ и $y > 0$, следовательно, она находится во II координатном углу.
• Точка $K(2; 2)$: $x > 0$ и $y > 0$, следовательно, она находится в I координатном углу.

Ответ: Точки A и K расположены в I координатном углу, точка L – во II, точка D – в III.

6.117.

а) Где находятся точки, абсциссы которых равны нулю?
Абсцисса – это координата точки по оси $x$. Если абсцисса точки равна нулю ($x=0$), это означает, что точка не смещена ни вправо, ни влево от начала координат. Такие точки лежат на оси ординат (оси $y$). Например, точка $B(0; 4)$ из предыдущей задачи имеет абсциссу 0 и расположена на оси $y$.
Ответ: Точки, абсциссы которых равны нулю, находятся на оси ординат (оси $y$).

6.117. а) Где находятся точки, абсциссы которых равны нулю?

б) Где находятся точки, ординаты которых равны нулю?

а) В прямоугольной системе координат положение любой точки на плоскости определяется парой чисел $(x, y)$, которые называются ее координатами. Первую координату, $x$, называют абсциссой точки, а вторую координату, $y$, — ординатой.
Условие, что абсцисса точки равна нулю, означает, что ее координата $x$ равна нулю: $x = 0$. Таким образом, мы ищем все точки с координатами вида $(0, y)$, где $y$ может быть любым действительным числом. Например, точки с координатами $(0, 1)$, $(0, 5)$, $(0, -3)$, $(0, 0)$ и так далее.
Множество всех таких точек образует вертикальную прямую, которая совпадает с осью ординат (осью $Oy$).
Ответ: точки, абсциссы которых равны нулю, находятся на оси ординат (оси $Oy$).

б) По аналогии с предыдущим пунктом, ордината точки — это ее вторая координата $y$. Условие, что ордината точки равна нулю, означает, что ее координата $y$ равна нулю: $y = 0$. Таким образом, мы ищем все точки с координатами вида $(x, 0)$, где $x$ может быть любым действительным числом. Например, точки с координатами $(2, 0)$, $(-4, 0)$, $(0.5, 0)$, $(0, 0)$ и так далее.
Множество всех таких точек образует горизонтальную прямую, которая совпадает с осью абсцисс (осью $Ox$).
Ответ: точки, ординаты которых равны нулю, находятся на оси абсцисс (оси $Ox$).

6.118 Каким свойством обладают координаты точек I, II, III, IV четвертей?

Координатная плоскость делится двумя перпендикулярными осями — осью абсцисс ($Ox$) и осью ординат ($Oy$) — на четыре области, называемые координатными четвертями или квадрантами. Нумерация четвертей производится против часовой стрелки, начиная с правого верхнего квадранта. Главное свойство, которым обладают координаты точек в каждой из четвертей, — это знаки их абсциссы ($x$) и ординаты ($y$).

I четверть
Это правая верхняя четверть. Любая точка, расположенная в этой области, находится справа от оси $Oy$ и выше оси $Ox$. Это означает, что ее абсцисса (координата $x$) и ее ордината (координата $y$) являются положительными числами. Для точки $M(x; y)$ в I четверти всегда выполняются условия: $x > 0$ и $y > 0$.
Ответ: обе координаты положительны ($x > 0$, $y > 0$).

II четверть
Это левая верхняя четверть. Любая точка, расположенная в этой области, находится слева от оси $Oy$ и выше оси $Ox$. Это означает, что ее абсцисса ($x$) является отрицательным числом, а ее ордината ($y$) — положительным. Для точки $M(x; y)$ во II четверти всегда выполняются условия: $x < 0$ и $y > 0$.
Ответ: абсцисса отрицательна, а ордината положительна ($x < 0$, $y > 0$).

III четверть
Это левая нижняя четверть. Любая точка, расположенная в этой области, находится слева от оси $Oy$ и ниже оси $Ox$. Это означает, что и ее абсцисса ($x$), и ее ордината ($y$) являются отрицательными числами. Для точки $M(x; y)$ в III четверти всегда выполняются условия: $x < 0$ и $y < 0$.
Ответ: обе координаты отрицательны ($x < 0$, $y < 0$).

IV четверть
Это правая нижняя четверть. Любая точка, расположенная в этой области, находится справа от оси $Oy$ и ниже оси $Ox$. Это означает, что ее абсцисса ($x$) является положительным числом, а ее ордината ($y$) — отрицательным. Для точки $M(x; y)$ в IV четверти всегда выполняются условия: $x > 0$ и $y < 0$.
Ответ: абсцисса положительна, а ордината отрицательна ($x > 0$, $y < 0$).

6.119. В каких координатных углах находятся точки, абсциссы которых положительны?

Координатная плоскость делится осями координат ($Ox$ и $Oy$) на четыре координатных угла, которые также называют квадрантами или четвертями. Абсцисса — это координата точки по горизонтальной оси $Ox$. Вопрос заключается в том, в каких из этих углов абсцисса (координата $x$) имеет положительное значение.

Давайте рассмотрим знаки координат $(x; y)$ в каждом из четырех координатных углов:

• I координатный угол (первый квадрант): Здесь находятся точки, у которых обе координаты положительны. То есть, $x > 0$ и $y > 0$. Условие положительной абсциссы выполняется.
• II координатный угол (второй квадрант): Здесь абсцисса отрицательна, а ордината положительна. То есть, $x < 0$ и $y > 0$.
• III координатный угол (третий квадрант): Здесь обе координаты отрицательны. То есть, $x < 0$ и $y < 0$.
• IV координатный угол (четвертый квадрант): Здесь абсцисса положительна, а ордината отрицательна. То есть, $x > 0$ и $y < 0$. Условие положительной абсциссы выполняется.

Таким образом, точки, абсциссы которых положительны, находятся в тех координатных углах, где выполняется условие $x > 0$. Это первый и четвертый координатные углы.

Ответ: в I и IV координатных углах.

6.120. В каких координатных углах находятся точки, ординаты которых положительны?

Координатная плоскость делится осями координат (осью абсцисс $Ox$ и осью ординат $Oy$) на четыре координатных угла, которые также называют четвертями или квадрантами. Положение любой точки на плоскости задается парой координат $(x; y)$, где $x$ – это абсцисса, а $y$ – это ордината.

В задаче требуется найти координатные углы, в которых находятся точки с положительной ординатой. Это означает, что для таких точек должно выполняться условие $y > 0$.

Рассмотрим знаки координат в каждом из четырех координатных углов:

I координатный угол (первая четверть): В этом углу находятся точки, у которых и абсцисса, и ордината положительны. То есть $x > 0$ и $y > 0$. Так как ордината положительна, этот угол удовлетворяет условию.

II координатный угол (вторая четверть): В этом углу находятся точки, у которых абсцисса отрицательна, а ордината положительна. То есть $x < 0$ и $y > 0$. Так как ордината положительна, этот угол также удовлетворяет условию.

III координатный угол (третья четверть): В этом углу находятся точки, у которых и абсцисса, и ордината отрицательны. То есть $x < 0$ и $y < 0$. Ордината отрицательна, поэтому этот угол не подходит.

IV координатный угол (четвертая четверть): В этом углу находятся точки, у которых абсцисса положительна, а ордината отрицательна. То есть $x > 0$ и $y < 0$. Ордината отрицательна, поэтому этот угол не подходит.

Следовательно, точки, ординаты которых положительны, находятся в I и II координатных углах.

Ответ: в I и II координатных углах.

? 6.121.

Как надо понимать утверждение: между точками координатной плоскости и упорядоченными парами чисел имеет место взаимно однозначное соответствие?

Это утверждение означает, что между множеством всех точек на координатной плоскости и множеством всех упорядоченных пар действительных чисел установлена строгая и однозначная связь, которая работает в обе стороны. Эту связь можно разложить на два основных положения:

1. Каждой точке на координатной плоскости соответствует единственная упорядоченная пара чисел.
Это значит, что для любой точки, которую мы выберем на плоскости, существует одна и только одна пара чисел $(x, y)$, называемая её координатами. Первое число, $x$ (абсцисса), определяет положение точки по горизонтальной оси (оси Ox), а второе число, $y$ (ордината), — по вертикальной оси (оси Oy). Не может быть такой ситуации, чтобы у одной точки было две разные пары координат или чтобы у неё не было координат вообще.

2. Каждой упорядоченной паре чисел соответствует единственная точка на координатной плоскости.
Это обратное утверждение. Для любой упорядоченной пары чисел, например $(-2, 5)$, всегда найдется одна и только одна точка на плоскости, которая имеет именно эти координаты. Невозможно, чтобы одной и той же паре чисел соответствовали две или более различных точки или не соответствовало ни одной.

Таким образом, "взаимно однозначное соответствие" — это идеальная "стыковка" между геометрией и алгеброй. Нет "бесхозных" точек без координат, и нет "бесхозных" пар чисел, которым не нашлось бы места на плоскости. Это позволяет нам описывать геометрические объекты (прямые, кривые) с помощью алгебраических уравнений и, наоборот, изображать алгебраические зависимости графически.

Ответ: Утверждение означает, что каждой отдельной точке на плоскости соответствует ровно одна упорядоченная пара чисел (её координаты), и, в свою очередь, каждой отдельной упорядоченной паре чисел соответствует ровно одна точка на плоскости.