Страница 251 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

6.112. Запишите изображённый на рисунке 144 числовой промежуток с помощью знаков неравенства.

а) $x > 3$

б) $-1 < x < 3.5$

в) $x \geq -0.5$

г) $-7 \leq x \leq -1$

Рис. 144

а) На числовой оси изображен числовой луч, начинающийся в точке 3 и идущий вправо. Точка 3 отмечена пустым (выколотым) кружком, что означает, что она не принадлежит данному промежутку. Заштрихованная область справа от 3 представляет все числа, которые больше 3. Таким образом, мы имеем дело со строгим неравенством.
Это можно записать в виде: $x > 3$.
Ответ: $x > 3$.

б) На рисунке показан интервал, ограниченный точками -1 и 3,5. Обе точки, -1 и 3,5, отмечены выколотыми кружками, что означает, что они не включаются в промежуток. Заштрихованная область находится между этими двумя точками. Следовательно, переменная x принимает значения, которые строго больше -1 и строго меньше 3,5.
Это записывается в виде двойного неравенства: $-1 < x < 3,5$.
Ответ: $-1 < x < 3,5$.

в) Изображен числовой луч, который начинается в точке -0,5 и направлен влево. Точка -0,5 отмечена закрашенным (сплошным) кружком. Это означает, что само число -0,5 входит в данный промежуток. Заштрихованная область слева от -0,5 представляет все числа, которые меньше или равны -0,5. Таким образом, мы используем нестрогое неравенство.
Это можно записать в виде: $x \le -0,5$.
Ответ: $x \le -0,5$.

г) На числовой оси показан отрезок, концами которого являются точки -7 и -1. Обе точки отмечены закрашенными кружками, что указывает на то, что они принадлежат данному промежутку. Заштрихованная область включает все числа между -7 и -1, а также сами эти числа.
Это записывается в виде двойного нестрогого неравенства: $-7 \le x \le -1$.
Ответ: $-7 \le x \le -1$.

6.113. Изобразите на координатной оси все числа:

а) меньшие 3;

б) большие -5;

в) не большие 2;

г) не меньшие 0;

д) большие 7, но меньшие 10;

е) большие -5, но меньшие -1;

ж) не меньшие 3 и не большие 9;

з) не меньшие $-\frac{1}{2}$, но меньшие 4.

Обозначьте полученное множество чисел.

а) меньшие 3

Это все числа, которые на координатной оси находятся левее числа 3. В виде неравенства это записывается как $x < 3$. На координатной оси точка 3 отмечается пустым (выколотым) кружком, так как само число 3 не входит в множество, и заштриховывается часть оси слева от этой точки. Полученное множество чисел — это открытый числовой луч.

Ответ: $(-\infty; 3)$

б) большие −5

Это все числа, которые на координатной оси находятся правее числа −5. В виде неравенства это записывается как $x > -5$. На координатной оси точка −5 отмечается выколотым кружком, а часть оси справа от нее заштриховывается. Полученное множество чисел — это открытый числовой луч.

Ответ: $(-5; +\infty)$

в) не большие 2

Фраза "не большие 2" означает "меньше или равно 2". В виде неравенства это записывается как $x \le 2$. На координатной оси точка 2 отмечается закрашенным кружком, так как число 2 входит в множество, и заштриховывается часть оси слева от этой точки. Полученное множество чисел — это числовой луч.

Ответ: $(-\infty; 2]$

г) не меньшие 0

Фраза "не меньшие 0" означает "больше или равно 0". В виде неравенства это записывается как $x \ge 0$. На координатной оси точка 0 отмечается закрашенным кружком, и заштриховывается часть оси справа от нее. Полученное множество чисел — это числовой луч.

Ответ: $[0; +\infty)$

д) большие 7, но меньшие 10

Это все числа, которые одновременно больше 7 и меньше 10. В виде двойного неравенства это записывается как $7 < x < 10$. На координатной оси точки 7 и 10 отмечаются выколотыми кружками, а промежуток между ними заштриховывается. Полученное множество чисел — это интервал.

Ответ: $(7; 10)$

е) большие −5, но меньшие −1

Это все числа, которые одновременно больше −5 и меньше −1. В виде двойного неравенства это записывается как $-5 < x < -1$. На координатной оси точки −5 и −1 отмечаются выколотыми кружками, а промежуток между ними заштриховывается. Полученное множество чисел — это интервал.

Ответ: $(-5; -1)$

ж) не меньшие 3 и не большие 9

Это все числа, которые больше или равны 3 и одновременно меньше или равны 9. В виде двойного неравенства это записывается как $3 \le x \le 9$. На координатной оси точки 3 и 9 отмечаются закрашенными кружками, а промежуток между ними заштриховывается. Полученное множество чисел — это отрезок.

Ответ: $[3; 9]$

з) не меньшие $-\frac{1}{2}$, но меньшие 4

Это все числа, которые больше или равны $-\frac{1}{2}$ и одновременно меньше 4. В виде двойного неравенства это записывается как $-\frac{1}{2} \le x < 4$. На координатной оси точка $-\frac{1}{2}$ отмечается закрашенным кружком, а точка 4 — выколотым. Промежуток между ними заштриховывается. Полученное множество чисел — это полуинтервал.

Ответ: $[-\frac{1}{2}; 4)$

6.114. Изобразите на координатной оси:

а) отрезок $[2; 5]$;

б) интервал $(-2; 0)$.

Запишите его с помощью двойного неравенства.

Отрезок $[2; 5]$ представляет собой множество всех чисел $x$, которые больше или равны 2 и одновременно меньше или равны 5. Квадратные скобки в обозначении отрезка указывают на то, что его концы, то есть числа 2 и 5, принадлежат этому множеству.

На координатной оси отрезок $[2; 5]$ изображается штриховкой между точками с координатами 2 и 5. Сами точки 2 и 5 отмечаются закрашенными (сплошными) кружками, чтобы показать, что они включены в отрезок.

Данный отрезок можно записать с помощью двойного неравенства. Так как концы отрезка включены, используется знак "меньше или равно" ($\le$).

Ответ: $2 \le x \le 5$.

Интервал $(-2; 0)$ представляет собой множество всех чисел $x$, которые строго больше -2 и строго меньше 0. Круглые скобки в обозначении интервала указывают на то, что его концы, то есть числа -2 и 0, не принадлежат этому множеству.

На координатной оси интервал $(-2; 0)$ изображается штриховкой между точками с координатами -2 и 0. Сами точки -2 и 0 отмечаются выколотыми (пустыми) кружками, чтобы показать, что они не включены в интервал.

Данный интервал можно записать с помощью двойного неравенства. Так как концы интервала не включены, используется знак "строго меньше" ($<$).

Ответ: $-2 < x < 0$.

6.115. Изобразите на координатной оси числовые промежутки:

а) $[-2; 3]$ и $[0; 2];

б) $[\frac{1}{3}; 3]$ и $[-2; 0,3];

в) $(-4; 0,29)$ и $(\frac{2}{7}; 5);

г) $(-0,44; \frac{13}{40})$ и $(-\frac{3}{7}; -\frac{1}{4});

д) $[-3\frac{2}{3}; 1]$ и $[1; +\infty);

е) $(-\infty; 2)$ и $[2; 3].

Имеют ли они общие точки? Если да, то запишите общую часть (пересечение) этих множеств.

а) Рассматриваем числовые промежутки $[-2; 3]$ и $[0; 2]$. На координатной оси это два отрезка. Первый отрезок включает все числа от $-2$ до $3$ (включительно), а второй — все числа от $0$ до $2$ (включительно). Изобразив их на оси, мы видим, что отрезок $[0; 2]$ полностью находится внутри отрезка $[-2; 3]$.

Да, они имеют общие точки.

Их общая часть (пересечение) — это множество всех точек, которые принадлежат обоим промежуткам. В данном случае это отрезок $[0; 2]$.

$[-2; 3] \cap [0; 2] = [0; 2]$.

Ответ: $[0; 2]$.

б) Рассматриваем числовые промежутки $[\frac{1}{3}; 3]$ и $[-2; 0,3]$. Это два отрезка на координатной оси. Чтобы определить их взаимное расположение, сравним граничные точки $\frac{1}{3}$ и $0,3$.

$\frac{1}{3} = 0,333...$

$0,3 = \frac{3}{10}$

Так как $0,333... > 0,3$, то $\frac{1}{3} > 0,3$. Это означает, что правый конец второго отрезка ($0,3$) находится левее левого конца первого отрезка ($\frac{1}{3}$) на числовой оси.

Нет, они не имеют общих точек, так как промежутки не пересекаются.

Их пересечение — пустое множество.

$[\frac{1}{3}; 3] \cap [-2; 0,3] = \emptyset$.

Ответ: $\emptyset$.

в) Рассматриваем интервалы $(-4; 0,29)$ и $(\frac{2}{7}; 5)$. Концы этих интервалов не включаются в множества. Сравним граничные точки $0,29$ и $\frac{2}{7}$.

$\frac{2}{7} \approx 0,2857...$

Так как $0,29 > 0,2857...$, то $0,29 > \frac{2}{7}$.

На числовой оси эти интервалы частично перекрываются. Пересечение будет интервалом, ограниченным большей из левых границ и меньшей из правых границ.

Да, они имеют общие точки.

Левые границы: $-4$ и $\frac{2}{7}$. Большая из них — $\frac{2}{7}$.

Правые границы: $0,29$ и $5$. Меньшая из них — $0,29$.

Пересечение: $(\frac{2}{7}; 0,29)$.

$(-4; 0,29) \cap (\frac{2}{7}; 5) = (\frac{2}{7}; 0,29)$.

Ответ: $(\frac{2}{7}; 0,29)$.

г) Рассматриваем интервалы $(-0,44; \frac{13}{40})$ и $(-\frac{3}{7}; -\frac{1}{4})$. Для удобства сравнения переведем все граничные значения в десятичные дроби.

$\frac{13}{40} = 0,325$

$-\frac{3}{7} \approx -0,4286$

$-\frac{1}{4} = -0,25$

Таким образом, мы сравниваем интервалы $(-0,44; 0,325)$ и $(\approx -0,4286; -0,25)$.

Расположим граничные точки на числовой оси: $-0,44 < -\frac{3}{7} < -\frac{1}{4} < \frac{13}{40}$.

Видно, что интервал $(-\frac{3}{7}; -\frac{1}{4})$ полностью находится внутри интервала $(-0,44; \frac{13}{40})$.

Да, они имеют общие точки.

Их пересечение — это интервал $(-\frac{3}{7}; -\frac{1}{4})$.

$(-0,44; \frac{13}{40}) \cap (-\frac{3}{7}; -\frac{1}{4}) = (-\frac{3}{7}; -\frac{1}{4})$.

Ответ: $(-\frac{3}{7}; -\frac{1}{4})$.

д) Рассматриваем промежутки $[-3\frac{2}{3}; 1]$ и $[1; +\infty)$. Первый промежуток — это отрезок, заканчивающийся в точке $1$ и включающий её. Второй промежуток — это числовой луч, начинающийся в точке $1$ и включающий её.

Да, они имеют одну общую точку.

Единственная общая точка — это число $1$, которое является правым концом первого промежутка и левым концом второго. Так как в обоих случаях скобки квадратные, точка $1$ принадлежит обоим множествам.

$[-3\frac{2}{3}; 1] \cap [1; +\infty) = \{1\}$.

Ответ: $\{1\}$.

е) Рассматриваем промежутки $(-\infty; 2)$ и $[2; 3]$. Первый промежуток — это открытый числовой луч, который включает все числа, строго меньшие $2$. Точка $2$ ему не принадлежит (круглая скобка). Второй промежуток — это отрезок, который включает все числа от $2$ до $3$, включая точку $2$ (квадратная скобка).

Нет, они не имеют общих точек.

Точка $2$ является граничной для обоих промежутков, но принадлежит только второму. Следовательно, общего элемента у множеств нет.

Их пересечение — пустое множество.

$(-\infty; 2) \cap [2; 3] = \emptyset$.

Ответ: $\emptyset$.