Номер 6.115, страница 251 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

6.9. Множества чисел. Глава 6. Обыкновенные и десятичные дроби - номер 6.115, страница 251.

Условие.

6.115. Изобразите на координатной оси числовые промежутки:

а) $[-2; 3]$ и $[0; 2];

б) $[\frac{1}{3}; 3]$ и $[-2; 0,3];

в) $(-4; 0,29)$ и $(\frac{2}{7}; 5);

г) $(-0,44; \frac{13}{40})$ и $(-\frac{3}{7}; -\frac{1}{4});

д) $[-3\frac{2}{3}; 1]$ и $[1; +\infty);

е) $(-\infty; 2)$ и $[2; 3].

Имеют ли они общие точки? Если да, то запишите общую часть (пересечение) этих множеств.

Решение 1.

Решение 5.

а) Рассматриваем числовые промежутки $[-2; 3]$ и $[0; 2]$. На координатной оси это два отрезка. Первый отрезок включает все числа от $-2$ до $3$ (включительно), а второй — все числа от $0$ до $2$ (включительно). Изобразив их на оси, мы видим, что отрезок $[0; 2]$ полностью находится внутри отрезка $[-2; 3]$.

Да, они имеют общие точки.

Их общая часть (пересечение) — это множество всех точек, которые принадлежат обоим промежуткам. В данном случае это отрезок $[0; 2]$.

$[-2; 3] \cap [0; 2] = [0; 2]$.

Ответ: $[0; 2]$.

б) Рассматриваем числовые промежутки $[\frac{1}{3}; 3]$ и $[-2; 0,3]$. Это два отрезка на координатной оси. Чтобы определить их взаимное расположение, сравним граничные точки $\frac{1}{3}$ и $0,3$.

$\frac{1}{3} = 0,333...$

$0,3 = \frac{3}{10}$

Так как $0,333... > 0,3$, то $\frac{1}{3} > 0,3$. Это означает, что правый конец второго отрезка ($0,3$) находится левее левого конца первого отрезка ($\frac{1}{3}$) на числовой оси.

Нет, они не имеют общих точек, так как промежутки не пересекаются.

Их пересечение — пустое множество.

$[\frac{1}{3}; 3] \cap [-2; 0,3] = \emptyset$.

Ответ: $\emptyset$.

в) Рассматриваем интервалы $(-4; 0,29)$ и $(\frac{2}{7}; 5)$. Концы этих интервалов не включаются в множества. Сравним граничные точки $0,29$ и $\frac{2}{7}$.

$\frac{2}{7} \approx 0,2857...$

Так как $0,29 > 0,2857...$, то $0,29 > \frac{2}{7}$.

На числовой оси эти интервалы частично перекрываются. Пересечение будет интервалом, ограниченным большей из левых границ и меньшей из правых границ.

Да, они имеют общие точки.

Левые границы: $-4$ и $\frac{2}{7}$. Большая из них — $\frac{2}{7}$.

Правые границы: $0,29$ и $5$. Меньшая из них — $0,29$.

Пересечение: $(\frac{2}{7}; 0,29)$.

$(-4; 0,29) \cap (\frac{2}{7}; 5) = (\frac{2}{7}; 0,29)$.

Ответ: $(\frac{2}{7}; 0,29)$.

г) Рассматриваем интервалы $(-0,44; \frac{13}{40})$ и $(-\frac{3}{7}; -\frac{1}{4})$. Для удобства сравнения переведем все граничные значения в десятичные дроби.

$\frac{13}{40} = 0,325$

$-\frac{3}{7} \approx -0,4286$

$-\frac{1}{4} = -0,25$

Таким образом, мы сравниваем интервалы $(-0,44; 0,325)$ и $(\approx -0,4286; -0,25)$.

Расположим граничные точки на числовой оси: $-0,44 < -\frac{3}{7} < -\frac{1}{4} < \frac{13}{40}$.

Видно, что интервал $(-\frac{3}{7}; -\frac{1}{4})$ полностью находится внутри интервала $(-0,44; \frac{13}{40})$.

Да, они имеют общие точки.

Их пересечение — это интервал $(-\frac{3}{7}; -\frac{1}{4})$.

$(-0,44; \frac{13}{40}) \cap (-\frac{3}{7}; -\frac{1}{4}) = (-\frac{3}{7}; -\frac{1}{4})$.

Ответ: $(-\frac{3}{7}; -\frac{1}{4})$.

д) Рассматриваем промежутки $[-3\frac{2}{3}; 1]$ и $[1; +\infty)$. Первый промежуток — это отрезок, заканчивающийся в точке $1$ и включающий её. Второй промежуток — это числовой луч, начинающийся в точке $1$ и включающий её.

Да, они имеют одну общую точку.

Единственная общая точка — это число $1$, которое является правым концом первого промежутка и левым концом второго. Так как в обоих случаях скобки квадратные, точка $1$ принадлежит обоим множествам.

$[-3\frac{2}{3}; 1] \cap [1; +\infty) = \{1\}$.

Ответ: $\{1\}$.

е) Рассматриваем промежутки $(-\infty; 2)$ и $[2; 3]$. Первый промежуток — это открытый числовой луч, который включает все числа, строго меньшие $2$. Точка $2$ ему не принадлежит (круглая скобка). Второй промежуток — это отрезок, который включает все числа от $2$ до $3$, включая точку $2$ (квадратная скобка).

Нет, они не имеют общих точек.

Точка $2$ является граничной для обоих промежутков, но принадлежит только второму. Следовательно, общего элемента у множеств нет.

Их пересечение — пустое множество.

$(-\infty; 2) \cap [2; 3] = \emptyset$.

Ответ: $\emptyset$.