Номер 6.109, страница 250 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 6. Обыкновенные и десятичные дроби. 6.9. Множества чисел - номер 6.109, страница 250.

Условие.

6.109. Принадлежит ли число $\frac{2}{3}$ множеству чисел (сделайте запись с помощью знаков $\in$ и $\notin$):

а) $(0; 1];$

б) $[1; 2];$

в) $(-\infty; \frac{2}{3}];$

г) $(\frac{2}{3}; +\infty);$

д) $\mathbb{N};$

е) $\mathbb{Z};$

ж) $\mathbb{Q};$

з) $\mathbb{R}?$

Решение 1.

Решение 5.

а) Интервал $(0; 1]$ — это множество всех чисел $x$, удовлетворяющих неравенству $0 < x \le 1$. Проверим, удовлетворяет ли число $\frac{2}{3}$ этому неравенству. Так как $0 < \frac{2}{3}$ и $\frac{2}{3} \le 1$, то оба условия выполняются. Следовательно, число $\frac{2}{3}$ принадлежит данному интервалу.
Ответ: $\frac{2}{3} \in (0; 1]$.

б) Интервал $[1; 2]$ — это множество всех чисел $x$, удовлетворяющих неравенству $1 \le x \le 2$. Проверим, выполняется ли это условие для числа $\frac{2}{3}$. Неравенство $1 \le \frac{2}{3}$ является ложным, так как $\frac{2}{3}$ меньше 1. Следовательно, число $\frac{2}{3}$ не принадлежит данному интервалу.
Ответ: $\frac{2}{3} \notin [1; 2]$.

в) Интервал $(-\infty; \frac{2}{3}]$ — это множество всех чисел $x$, удовлетворяющих неравенству $x \le \frac{2}{3}$. Квадратная скобка означает, что граница интервала, число $\frac{2}{3}$, включается в множество. Так как $\frac{2}{3} = \frac{2}{3}$, то неравенство $\frac{2}{3} \le \frac{2}{3}$ выполняется. Следовательно, число $\frac{2}{3}$ принадлежит данному множеству.
Ответ: $\frac{2}{3} \in (-\infty; \frac{2}{3}]$.

г) Интервал $(\frac{2}{3}; +\infty)$ — это множество всех чисел $x$, удовлетворяющих строгому неравенству $x > \frac{2}{3}$. Круглая скобка означает, что граница интервала, число $\frac{2}{3}$, не включается в множество. Неравенство $\frac{2}{3} > \frac{2}{3}$ является ложным. Следовательно, число $\frac{2}{3}$ не принадлежит данному множеству.
Ответ: $\frac{2}{3} \notin (\frac{2}{3}; +\infty)$.

д) Множество натуральных чисел $N$ состоит из целых положительных чисел, используемых при счете: $N = \{1, 2, 3, ...\}$. Число $\frac{2}{3}$ не является целым числом. Следовательно, $\frac{2}{3}$ не является натуральным числом.
Ответ: $\frac{2}{3} \notin N$.

е) Множество целых чисел $Z$ состоит из натуральных чисел, им противоположных и нуля: $Z = \{..., -2, -1, 0, 1, 2, ...\}$. Число $\frac{2}{3}$ является дробным, а не целым. Следовательно, $\frac{2}{3}$ не принадлежит множеству целых чисел.
Ответ: $\frac{2}{3} \notin Z$.

ж) Множество рациональных чисел $Q$ состоит из всех чисел, которые можно представить в виде дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ — целое число, а $q$ — натуральное число (или $p, q$ — целые, $q \neq 0$). Число $\frac{2}{3}$ по определению является рациональным, так как оно представлено в виде дроби с целым числителем 2 и натуральным знаменателем 3.
Ответ: $\frac{2}{3} \in Q$.

з) Множество действительных (вещественных) чисел $R$ включает в себя все рациональные и иррациональные числа. Так как число $\frac{2}{3}$ является рациональным, оно также является и действительным числом. Следовательно, $\frac{2}{3}$ принадлежит множеству действительных чисел.
Ответ: $\frac{2}{3} \in R$.