Страница 245 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

6.91. Что называют координатной осью?

Координатной осью (также её называют числовой осью) называют прямую, на которой заданы три обязательных элемента:

• Начало отсчета — это точка на прямой, которой сопоставляется число $0$. Обычно её обозначают буквой $O$.
• Единичный отрезок — это отрезок, длина которого принимается за единицу измерения. С помощью него можно измерять расстояния от начала отсчета до любой другой точки.
• Положительное направление — это одно из двух возможных направлений на прямой, которое указывается стрелкой. Точки, расположенные в этом направлении от начала отсчета, имеют положительные координаты, а в противоположном — отрицательные.

Таким образом, координатная ось позволяет каждой точке на прямой сопоставить единственное действительное число, называемое её координатой, и наоборот, каждому действительному числу сопоставить единственную точку на прямой.

Ответ: Координатная ось — это прямая, на которой выбрано начало отсчета, задан единичный отрезок и указано положительное направление.

6.92 Что называют координатой точки на координатной оси?

Координатная ось (или числовая прямая) — это прямая, на которой выбрано начало отсчёта (точка, которой соответствует число 0), задан единичный отрезок (который определяет масштаб) и указано положительное направление (обычно стрелкой).

Координатой точки на координатной оси называют число, которое показывает положение этой точки на оси. Это число определяется следующим образом:

1. Его абсолютное значение (модуль) равно расстоянию от начала отсчёта до этой точки, измеренному в единичных отрезках.

2. Знак числа зависит от положения точки относительно начала отсчёта:

• если точка находится в положительном направлении от начала отсчёта, её координата — положительное число (знак «+» обычно опускается);
• если точка находится в отрицательном направлении от начала отсчёта, её координата — отрицательное число (ставится знак «−»);
• координата самого начала отсчёта равна нулю.

Например, если точка $A$ расположена на расстоянии 5 единиц от начала отсчёта в положительном направлении, то её координата равна 5. Это записывается как $A(5)$. Если точка $B$ расположена на расстоянии 3 единицы от начала отсчёта в отрицательном направлении, её координата равна -3, что записывается как $B(-3)$.

Таким образом, каждой точке на координатной оси соответствует единственное число (её координата), и наоборот, каждому действительному числу соответствует единственная точка на оси.

Ответ: Координатой точки на координатной оси называют число, показывающее её положение относительно начала отсчёта, абсолютное значение которого равно расстоянию от точки до начала отсчёта.

16.93. Какие точки координатной оси называют:

а) рациональными;

б) иррациональными?

а) рациональными

Точки на координатной оси называют рациональными, если их координаты являются рациональными числами. Рациональное число — это любое число, которое можно представить в виде обыкновенной дроби $\frac{m}{n}$, где числитель $m$ — целое число, а знаменатель $n$ — натуральное число. К рациональным числам относятся все целые числа (например, $-3, 0, 10$), конечные десятичные дроби (например, $0,75 = \frac{3}{4}$) и бесконечные периодические десятичные дроби (например, $0,(3) = \frac{1}{3}$). Таким образом, точка с координатой, являющейся любым из таких чисел, будет рациональной.

Ответ: Рациональными точками координатной оси называют точки, координаты которых являются рациональными числами.

б) иррациональными

Точки на координатной оси называют иррациональными, если их координаты являются иррациональными числами. Иррациональное число — это действительное число, которое нельзя представить в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное. Иррациональные числа выражаются бесконечными непериодическими десятичными дробями. Примерами таких чисел являются $\sqrt{2} \approx 1,4142135...$, число $\pi \approx 3,1415926...$, число $e \approx 2,7182818...$. Точки на координатной оси, соответствующие этим числам, являются иррациональными.

Ответ: Иррациональными точками координатной оси называют точки, координаты которых являются иррациональными числами.

6.94. Как надо понимать утверждение: множество всех точек координатной оси находится во взаимно однозначном соответствии со множеством всех действительных чисел?

Утверждение о взаимно однозначном соответствии между множеством всех точек координатной оси и множеством всех действительных чисел означает, что между этими двумя множествами (геометрическими точками и абстрактными числами) можно установить идеальную связь «один к одному». Эта связь подразумевает выполнение двух обязательных условий:

1. Каждой точке на оси соответствует единственное число. Любой точке на координатной прямой соответствует одно и только одно действительное число, которое называется её координатой. Например, началу отсчета (точке $O$) соответствует число $0$. Не существует точки, у которой было бы две разные координаты или не было бы ни одной.
2. Каждому числу соответствует единственная точка на оси. Для любого действительного числа — будь то целое (например, $-5$), рациональное (например, $\frac{1}{3}$) или иррациональное (например, $\sqrt{2}$) — существует одна и только одна точка на координатной прямой. Знак числа указывает направление от начала отсчета, а его абсолютное значение (модуль) — расстояние до этой точки. Нет ни одного числа, которому не нашлось бы места на оси.

Таким образом, это соответствие устанавливает, что числовая ось является точным геометрическим представлением множества всех действительных чисел. На ней нет «пропусков» (промежутков, которым не соответствует ни одно число) и нет «уплотнений» (точек, которым соответствовало бы более одного числа). Эта идея является фундаментальной для всей аналитической геометрии и математического анализа.

Ответ:

Данное утверждение означает, что установлена такая связь между точками оси и действительными числами, при которой одновременно выполняются два условия:

• каждой точке на координатной оси соответствует ровно одно действительное число (ее координата);
• каждому действительному числу соответствует ровно одна точка на координатной оси.