Номер 6.88, страница 243 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 6. Обыкновенные и десятичные дроби. 6.7. Длина окружности. Площадь круга - номер 6.88, страница 243.

Условие.

6.88. На сторонах квадрата как на диаметрах построили полуокружности внутри квадрата. Вычислите площадь закрашенной фигуры (рис. 135). Сторона квадрата равна 4 см.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения задачи найдем сначала площадь квадрата, а затем площадь закрашенной фигуры, используя метод сложения и вычитания площадей.

1. Находим площадь квадрата.

Сторона квадрата $a = 4$ см. Площадь квадрата ($S_{кв}$) вычисляется по формуле:

$S_{кв} = a^2 = 4^2 = 16$ см².

2. Находим площадь четырех полуокружностей.

На каждой стороне квадрата как на диаметре построена полуокружность. Диаметр каждой полуокружности $d$ равен стороне квадрата, то есть $d = 4$ см. Радиус $r$ каждой полуокружности равен половине диаметра:

$r = d/2 = 4/2 = 2$ см.

Площадь одной полуокружности ($S_{п/к}$) вычисляется по формуле $S_{п/к} = \frac{1}{2}\pi r^2$.

$S_{п/к} = \frac{1}{2} \cdot \pi \cdot 2^2 = \frac{1}{2} \cdot 4\pi = 2\pi$ см².

Так как полуокружностей четыре, их общая площадь ($S_{4п/к}$) равна:

$S_{4п/к} = 4 \cdot S_{п/к} = 4 \cdot 2\pi = 8\pi$ см².

3. Вычисляем площадь закрашенной фигуры.

Если сложить площади четырех полуокружностей, то площадь закрашенных "лепестков" будет посчитана дважды, так как каждый лепесток является пересечением двух полуокружностей. А площадь незакрашенных угловых областей будет посчитана один раз. Сумма площадей четырех полуокружностей равна площади квадрата плюс еще раз посчитанная площадь закрашенной фигуры.

Пусть $S_{закр}$ — искомая площадь закрашенной фигуры. Тогда можно записать следующее соотношение:

$S_{4п/к} = S_{кв} + S_{закр}$

Подставим известные значения:

$8\pi = 16 + S_{закр}$

Отсюда выразим площадь закрашенной фигуры:

$S_{закр} = 8\pi - 16$ см².

Можно вынести общий множитель за скобки: $S_{закр} = 8(\pi - 2)$ см².

Ответ: $8\pi - 16$ см².