Номер 6.84, страница 242 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

6.7. Длина окружности. Площадь круга. Глава 6. Обыкновенные и десятичные дроби - номер 6.84, страница 242.

Условие.

6.84. Как изменится площадь круга, если его радиус:

а) увеличить в 3 раза;

б) уменьшить в 2 раза?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Площадь круга вычисляется по формуле $S = \pi r^2$, где $S$ — площадь, а $r$ — радиус круга. Поскольку площадь зависит от квадрата радиуса, изменение радиуса приводит к квадратичному изменению площади.

а) увеличить в 3 раза

Пусть первоначальный радиус круга был $r_1$, а площадь $S_1$. Тогда $S_1 = \pi r_1^2$.

Новый радиус $r_2$ в 3 раза больше: $r_2 = 3r_1$.

Новая площадь $S_2$ будет равна:

$S_2 = \pi r_2^2 = \pi (3r_1)^2 = \pi \cdot 9r_1^2 = 9 \cdot (\pi r_1^2)$.

Так как $S_1 = \pi r_1^2$, то мы можем подставить это в формулу для $S_2$:

$S_2 = 9S_1$.

Чтобы найти, во сколько раз изменилась площадь, найдем отношение новой площади к старой: $\frac{S_2}{S_1} = \frac{9S_1}{S_1} = 9$.

Следовательно, при увеличении радиуса в 3 раза площадь круга увеличится в $3^2 = 9$ раз.

Ответ: площадь увеличится в 9 раз.

б) уменьшить в 2 раза

Пусть первоначальный радиус круга был $r_1$, а площадь $S_1$. Тогда $S_1 = \pi r_1^2$.

Новый радиус $r_2$ в 2 раза меньше: $r_2 = \frac{r_1}{2}$.

Новая площадь $S_2$ будет равна:

$S_2 = \pi r_2^2 = \pi \left(\frac{r_1}{2}\right)^2 = \pi \frac{r_1^2}{4} = \frac{1}{4} \cdot (\pi r_1^2)$.

Так как $S_1 = \pi r_1^2$, то мы можем подставить это в формулу для $S_2$:

$S_2 = \frac{1}{4}S_1$.

Чтобы найти, во сколько раз уменьшилась площадь, найдем отношение старой площади к новой: $\frac{S_1}{S_2} = \frac{S_1}{\frac{1}{4}S_1} = 4$.

Следовательно, при уменьшении радиуса в 2 раза площадь круга уменьшится в $2^2 = 4$ раза.

Ответ: площадь уменьшится в 4 раза.