Номер 6.58, страница 235 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

6.5. Действительные числа. Глава 6. Обыкновенные и десятичные дроби - номер 6.58, страница 235.

Условие.

ДОКАЗЫВАЕМ

6.58. Докажите, пользуясь свойствами действительных чисел, что:

а) если $a < b$ и $c$ — отрицательное число, то $a \cdot c > b \cdot c$;

б) если $0 < a < b$, то $a^2 < b^2$;

в) если $a < b < 0$, то $a^2 > b^2$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а)

По условию, $a < b$ и $c$ — отрицательное число, то есть $c < 0$. Докажем, что $a \cdot c > b \cdot c$.

Для этого рассмотрим разность $a \cdot c - b \cdot c$ и определим её знак. Вынесем общий множитель $c$ за скобки:

$a \cdot c - b \cdot c = c(a - b)$

Проанализируем знаки множителей. Из условия $a < b$ следует, что разность $a - b$ является отрицательным числом ($a - b < 0$). По условию, $c$ также является отрицательным числом ($c < 0$).

Произведение двух отрицательных чисел всегда положительно. Следовательно, $c(a - b) > 0$.

Так как $a \cdot c - b \cdot c > 0$, то, прибавив $b \cdot c$ к обеим частям неравенства, получим $a \cdot c > b \cdot c$. Утверждение доказано.

Ответ: $a \cdot c > b \cdot c$.

б)

По условию, $0 < a < b$. Это означает, что $a$ и $b$ — положительные числа. Докажем, что $a^2 < b^2$.

Рассмотрим разность квадратов $b^2 - a^2$. Если эта разность положительна, то неравенство $a^2 < b^2$ будет доказано.

Воспользуемся формулой разности квадратов: $b^2 - a^2 = (b - a)(b + a)$.

Определим знаки множителей. Из условия $a < b$ следует, что разность $b - a$ положительна ($b - a > 0$). Так как $a$ и $b$ — положительные числа ($a > 0, b > 0$), их сумма $a + b$ также положительна ($a + b > 0$).

Произведение двух положительных чисел $(b - a)$ и $(b + a)$ является положительным. Значит, $b^2 - a^2 > 0$.

Из неравенства $b^2 - a^2 > 0$ следует, что $b^2 > a^2$, или $a^2 < b^2$. Утверждение доказано.

Ответ: $a^2 < b^2$.

в)

По условию, $a < b < 0$. Это означает, что $a$ и $b$ — отрицательные числа. Докажем, что $a^2 > b^2$.

Рассмотрим разность квадратов $a^2 - b^2$. Если эта разность положительна, то неравенство $a^2 > b^2$ будет доказано.

Воспользуемся формулой разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Определим знаки множителей. Из условия $a < b$ следует, что разность $a - b$ отрицательна ($a - b < 0$). Так как $a$ и $b$ — отрицательные числа ($a < 0, b < 0$), их сумма $a + b$ также отрицательна ($a + b < 0$).

Произведение двух отрицательных чисел $(a - b)$ и $(a + b)$ является положительным. Значит, $a^2 - b^2 > 0$.

Из неравенства $a^2 - b^2 > 0$ следует, что $a^2 > b^2$. Утверждение доказано.

Ответ: $a^2 > b^2$.