Номер 5.41, страница 195 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 5. Умножение и деление десятичных дробей. 5.3. Деление десятичных дробей - номер 5.41, страница 195.

Условие.

5.41. Всегда ли при делении десятичных дробей частное можно записать в виде десятичной дроби? Приведите примеры.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Нет, не всегда. Частное от деления двух десятичных дробей можно представить в виде конечной десятичной дроби только в том случае, если это частное, представленное в виде несократимой обыкновенной дроби $\frac{p}{q}$, имеет знаменатель $q$, разложение которого на простые множители содержит только числа 2 и 5. Если же в разложении знаменателя на простые множители встречаются другие числа (например, 3, 7, 11 и т.д.), то частное будет представлять собой бесконечную периодическую десятичную дробь.

Примеры

1. Случай, когда частное можно записать в виде конечной десятичной дроби.

Разделим $3.5$ на $0.25$:$3.5 \div 0.25 = \frac{3.5}{0.25} = \frac{350}{25} = 14$.Результат — целое число, которое является конечной десятичной дробью ($14.0$).

Разделим $0.9$ на $0.4$:$0.9 \div 0.4 = \frac{0.9}{0.4} = \frac{9}{4} = 2.25$.Результат $2.25$ — конечная десятичная дробь. Знаменатель соответствующей обыкновенной дроби $4 = 2^2$, что удовлетворяет условию.

2. Случай, когда частное нельзя записать в виде конечной десятичной дроби.

Разделим $1.0$ на $0.3$:$1.0 \div 0.3 = \frac{1}{0.3} = \frac{10}{3}$.Знаменатель дроби равен 3. Так как 3 не является множителем 2 или 5, результат деления нельзя представить в виде конечной десятичной дроби. При вычислении получается бесконечная периодическая дробь:$\frac{10}{3} = 3.333... = 3.(3)$.

Разделим $0.5$ на $0.6$:$0.5 \div 0.6 = \frac{0.5}{0.6} = \frac{5}{6}$.Знаменатель дроби $6 = 2 \cdot 3$. Он содержит простой множитель 3, поэтому результат также будет бесконечной периодической дробью:$\frac{5}{6} = 0.8333... = 0.8(3)$.

Ответ: Нет, не всегда. Частное можно записать в виде конечной десятичной дроби только тогда, когда знаменатель соответствующей несократимой обыкновенной дроби не имеет простых делителей, отличных от 2 и 5. Например, $0.9 \div 0.4 = 2.25$ (конечная дробь), но $1.0 \div 0.3 = 3.333...$ (бесконечная периодическая дробь).