Номер 4.271, страница 182 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 4. Рациональные числа. Дополнения к главе 4. Фигуры на плоскости, симметричные относительно прямой - номер 4.271, страница 182.

Условие.

4.271. В жаркий день медвежонок направился из своего дома ($A$) в гости к ослику ($B$), но сначала решил подойти к реке попить воды. Укажите кратчайший путь от $A$ до $B$ с заходом к реке (рис. 95).

Рис. 95

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для нахождения кратчайшего пути от дома медвежонка (точка A) до дома ослика (точка B) с заходом к реке, необходимо использовать метод геометрического отражения. Этот метод позволяет свести задачу о нахождении кратчайшего пути с заходом на прямую к более простой задаче о нахождении кратчайшего расстояния между двумя точками.

Построение и обоснование кратчайшего пути выглядит следующим образом:

1. Отразим одну из точек, например, дом медвежонка (точку A), симметрично относительно прямой, изображающей реку. Получим новую точку, которую назовем A'. Для этого нужно из точки A опустить перпендикуляр на прямую-реку и продлить его на такое же расстояние по другую сторону от реки.
2. Соединим прямой линией полученную точку A' и дом ослика (точку B).
3. Точка, в которой отрезок A'B пересекает реку, и будет тем местом, куда медвежонку нужно подойти, чтобы попить воды. Обозначим эту точку как P.
4. Искомый кратчайший путь — это ломаная линия APB.

Этот путь является кратчайшим, потому что длина любого пути от A до B с заходом к реке в точке P равна сумме длин отрезков $AP + PB$. По свойству осевой симметрии, расстояние от любой точки на оси симметрии (реке) до исходной точки (A) и до ее отражения (A') одинаково. Следовательно, $AP = A'P$.

Таким образом, длина нашего пути равна $A'P + PB$. Эта сумма будет минимальной, когда точки A', P и B лежат на одной прямой, так как кратчайшее расстояние между двумя точками — это прямая линия. Наше построение как раз и обеспечивает это условие. Любая другая точка P' на реке даст путь $AP' + P'B = A'P' + P'B$, который, согласно неравенству треугольника для треугольника A'P'B, будет длиннее, чем отрезок $A'B = A'P + PB$.

Ответ: Кратчайший путь — это ломаная линия, состоящая из двух отрезков: от точки A до точки P на реке и от точки P до точки B. Точка P находится как точка пересечения прямой-реки и отрезка A'B, где A' — точка, симметричная точке A относительно прямой-реки.