Номер 4.266, страница 182 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Дополнения к главе 4. Фигуры на плоскости, симметричные относительно прямой. Глава 4. Рациональные числа - номер 4.266, страница 182.

Условие.

4.266. Дана прямая $b$ и отрезок $AB$, пересекающий эту прямую. Постройте отрезок $MN$, симметричный отрезку $AB$ относительно прямой $b$. Где лежит точка пересечения отрезков $AB$ и $MN$? Как это объяснить?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Постройте отрезок MN, симметричный отрезку AB относительно прямой b.

Чтобы построить отрезок $MN$, симметричный отрезку $AB$ относительно прямой $b$, нужно выполнить следующие шаги:

1. Построить точку $M$, симметричную точке $A$ относительно прямой $b$. Для этого из точки $A$ опускаем перпендикуляр на прямую $b$. Пусть $H_A$ — точка пересечения перпендикуляра с прямой $b$. На продолжении отрезка $AH_A$ за точку $H_A$ откладываем отрезок $H_A M$, равный по длине отрезку $AH_A$. Точка $M$ — искомая.

2. Построить точку $N$, симметричную точке $B$ относительно прямой $b$. Аналогично, из точки $B$ опускаем перпендикуляр на прямую $b$. Пусть $H_B$ — точка пересечения. На продолжении отрезка $BH_B$ за точку $H_B$ откладываем отрезок $H_B N$, равный по длине отрезку $BH_B$. Точка $N$ — искомая.

3. Соединить точки $M$ и $N$. Полученный отрезок $MN$ является симметричным отрезку $AB$ относительно прямой $b$.

Ответ: Построение отрезка $MN$ выполняется путем нахождения точек $M$ и $N$, симметричных точкам $A$ и $B$ относительно прямой $b$, и их последующего соединения.

Где лежит точка пересечения отрезков AB и MN? Как это объяснить?

Точка пересечения отрезков $AB$ и $MN$ лежит на прямой $b$.

Это можно объяснить следующим образом:

По условию, отрезок $AB$ пересекает прямую $b$. Обозначим точку их пересечения буквой $P$. Таким образом, точка $P$ принадлежит одновременно и отрезку $AB$, и прямой $b$.

Рассмотрим осевую симметрию относительно прямой $b$.

1. По определению осевой симметрии, любая точка, лежащая на оси симметрии (в данном случае на прямой $b$), при симметрии отображается сама на себя. Поскольку точка $P$ лежит на прямой $b$, её образом является она сама.

2. Отрезок $MN$ по построению является образом отрезка $AB$ при симметрии относительно прямой $b$. Это означает, что образ любой точки, принадлежащей отрезку $AB$, должен принадлежать отрезку $MN$.

3. Так как точка $P$ принадлежит отрезку $AB$, её образ (то есть сама точка $P$) должен принадлежать образу отрезка $AB$, которым является отрезок $MN$.

4. Таким образом, мы установили, что точка $P$ принадлежит как отрезку $AB$, так и отрезку $MN$. Следовательно, $P$ является точкой их пересечения.

Поскольку точка $P$ по определению лежит на прямой $b$, то и точка пересечения отрезков $AB$ и $MN$ лежит на прямой $b$.

Ответ: Точка пересечения отрезков $AB$ и $MN$ лежит на прямой $b$. Это происходит потому, что точка пересечения отрезка $AB$ с осью симметрии $b$ является неподвижной при этой симметрии и, следовательно, принадлежит и симметричному отрезку $MN$.