Страница 164 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

4.182. а) Среднее арифметическое чисел $4\frac{1}{3}$ и $a$ равно $2\frac{1}{2}$. Найдите число $a$.

б) Среднее арифметическое чисел $a$ и $-\frac{1}{3}$ равно $\frac{5}{6}$. Найдите число $a$.

а)

Среднее арифметическое двух чисел — это частное от деления суммы этих чисел на их количество (в данном случае на 2). По условию, среднее арифметическое чисел $4\frac{1}{3}$ и $a$ равно $2\frac{1}{2}$. Составим уравнение:

$\frac{4\frac{1}{3} + a}{2} = 2\frac{1}{2}$

Чтобы найти сумму чисел ($4\frac{1}{3} + a$), нужно умножить их среднее арифметическое на 2:

$4\frac{1}{3} + a = 2 \cdot 2\frac{1}{2}$

Для удобства вычислений переведем смешанные числа в неправильные дроби:

$4\frac{1}{3} = \frac{4 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{13}{3}$

$2\frac{1}{2} = \frac{2 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{5}{2}$

Подставим полученные дроби в уравнение:

$\frac{13}{3} + a = 2 \cdot \frac{5}{2}$

$\frac{13}{3} + a = 5$

Теперь найдем неизвестное слагаемое $a$:

$a = 5 - \frac{13}{3}$

Представим 5 в виде дроби со знаменателем 3:

$a = \frac{15}{3} - \frac{13}{3}$

$a = \frac{15 - 13}{3} = \frac{2}{3}$

Ответ: $\frac{2}{3}$.

б)

Среднее арифметическое чисел $a$ и $-\frac{1}{3}$ равно $\frac{5}{6}$. Составим уравнение на основе определения среднего арифметического:

$\frac{a + (-\frac{1}{3})}{2} = \frac{5}{6}$

Найдем сумму этих чисел, умножив среднее арифметическое на 2:

$a - \frac{1}{3} = 2 \cdot \frac{5}{6}$

$a - \frac{1}{3} = \frac{10}{6}$

Сократим дробь в правой части уравнения:

$a - \frac{1}{3} = \frac{5}{3}$

Теперь найдем неизвестное уменьшаемое $a$:

$a = \frac{5}{3} + \frac{1}{3}$

$a = \frac{5+1}{3} = \frac{6}{3}$

$a = 2$

Ответ: 2.

4.183. Отрезок, соединяющий точки 0 и 1 на координатной прямой, разделили пополам — получили два отрезка. Правый отрезок разделили пополам — получили ещё два отрезка. Правый из них разделили пополам и т. д. Запишите координаты пяти первых полученных таким образом точек. Определите без вычислений координаты следующих пяти таких точек.

Запишите координаты пяти первых полученных таким образом точек.

Процесс нахождения точек заключается в последовательном делении отрезков пополам.

1. Исходный отрезок $[0, 1]$. Делим его пополам. Координата середины (первой точки) равна $x_1 = \frac{0+1}{2} = \frac{1}{2}$. Новый отрезок для деления — правый, то есть $[\frac{1}{2}, 1]$.

2. Делим отрезок $[\frac{1}{2}, 1]$ пополам. Координата второй точки $x_2 = \frac{\frac{1}{2} + 1}{2} = \frac{\frac{3}{2}}{2} = \frac{3}{4}$. Новый правый отрезок — $[\frac{3}{4}, 1]$.

3. Делим отрезок $[\frac{3}{4}, 1]$ пополам. Координата третьей точки $x_3 = \frac{\frac{3}{4} + 1}{2} = \frac{\frac{7}{4}}{2} = \frac{7}{8}$. Новый правый отрезок — $[\frac{7}{8}, 1]$.

4. Делим отрезок $[\frac{7}{8}, 1]$ пополам. Координата четвертой точки $x_4 = \frac{\frac{7}{8} + 1}{2} = \frac{\frac{15}{8}}{2} = \frac{15}{16}$. Новый правый отрезок — $[\frac{15}{16}, 1]$.

5. Делим отрезок $[\frac{15}{16}, 1]$ пополам. Координата пятой точки $x_5 = \frac{\frac{15}{16} + 1}{2} = \frac{\frac{31}{16}}{2} = \frac{31}{32}$.

Таким образом, координаты первых пяти точек: $\frac{1}{2}, \frac{3}{4}, \frac{7}{8}, \frac{15}{16}, \frac{31}{32}$.

Ответ: $\frac{1}{2}, \frac{3}{4}, \frac{7}{8}, \frac{15}{16}, \frac{31}{32}$.

Определите без вычислений координаты следующих пяти таких точек.

Чтобы найти следующие пять координат без пошаговых вычислений, необходимо выявить закономерность в последовательности первых пяти точек: $\frac{1}{2}, \frac{3}{4}, \frac{7}{8}, \frac{15}{16}, \frac{31}{32}, \ldots$.

Можно заметить, что для $n$-ой точки в этой последовательности ($n = 1, 2, 3, \ldots$):
- Знаменатель дроби является $n$-ой степенью числа 2, то есть $2^n$.
- Числитель дроби на единицу меньше знаменателя, то есть $2^n - 1$.

Следовательно, координата $n$-й точки ($x_n$) может быть выражена формулой $x_n = \frac{2^n - 1}{2^n}$.

Используя эту закономерность, найдем координаты следующих пяти точек (для $n = 6, 7, 8, 9, 10$):
- Шестая точка ($n=6$): $x_6 = \frac{2^6 - 1}{2^6} = \frac{64 - 1}{64} = \frac{63}{64}$.
- Седьмая точка ($n=7$): $x_7 = \frac{2^7 - 1}{2^7} = \frac{128 - 1}{128} = \frac{127}{128}$.
- Восьмая точка ($n=8$): $x_8 = \frac{2^8 - 1}{2^8} = \frac{256 - 1}{256} = \frac{255}{256}$.
- Девятая точка ($n=9$): $x_9 = \frac{2^9 - 1}{2^9} = \frac{512 - 1}{512} = \frac{511}{512}$.
- Десятая точка ($n=10$): $x_{10} = \frac{2^{10} - 1}{2^{10}} = \frac{1024 - 1}{1024} = \frac{1023}{1024}$.

Ответ: $\frac{63}{64}, \frac{127}{128}, \frac{255}{256}, \frac{511}{512}, \frac{1023}{1024}$.