Номер 4.183, страница 164 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 4. Рациональные числа. 4.8. Изображение рациональных чисел на координатной прямой - номер 4.183, страница 164.

Условие.

4.183. Отрезок, соединяющий точки 0 и 1 на координатной прямой, разделили пополам — получили два отрезка. Правый отрезок разделили пополам — получили ещё два отрезка. Правый из них разделили пополам и т. д. Запишите координаты пяти первых полученных таким образом точек. Определите без вычислений координаты следующих пяти таких точек.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Запишите координаты пяти первых полученных таким образом точек.

Процесс нахождения точек заключается в последовательном делении отрезков пополам.

1. Исходный отрезок $[0, 1]$. Делим его пополам. Координата середины (первой точки) равна $x_1 = \frac{0+1}{2} = \frac{1}{2}$. Новый отрезок для деления — правый, то есть $[\frac{1}{2}, 1]$.

2. Делим отрезок $[\frac{1}{2}, 1]$ пополам. Координата второй точки $x_2 = \frac{\frac{1}{2} + 1}{2} = \frac{\frac{3}{2}}{2} = \frac{3}{4}$. Новый правый отрезок — $[\frac{3}{4}, 1]$.

3. Делим отрезок $[\frac{3}{4}, 1]$ пополам. Координата третьей точки $x_3 = \frac{\frac{3}{4} + 1}{2} = \frac{\frac{7}{4}}{2} = \frac{7}{8}$. Новый правый отрезок — $[\frac{7}{8}, 1]$.

4. Делим отрезок $[\frac{7}{8}, 1]$ пополам. Координата четвертой точки $x_4 = \frac{\frac{7}{8} + 1}{2} = \frac{\frac{15}{8}}{2} = \frac{15}{16}$. Новый правый отрезок — $[\frac{15}{16}, 1]$.

5. Делим отрезок $[\frac{15}{16}, 1]$ пополам. Координата пятой точки $x_5 = \frac{\frac{15}{16} + 1}{2} = \frac{\frac{31}{16}}{2} = \frac{31}{32}$.

Таким образом, координаты первых пяти точек: $\frac{1}{2}, \frac{3}{4}, \frac{7}{8}, \frac{15}{16}, \frac{31}{32}$.

Ответ: $\frac{1}{2}, \frac{3}{4}, \frac{7}{8}, \frac{15}{16}, \frac{31}{32}$.

Определите без вычислений координаты следующих пяти таких точек.

Чтобы найти следующие пять координат без пошаговых вычислений, необходимо выявить закономерность в последовательности первых пяти точек: $\frac{1}{2}, \frac{3}{4}, \frac{7}{8}, \frac{15}{16}, \frac{31}{32}, \ldots$.

Можно заметить, что для $n$-ой точки в этой последовательности ($n = 1, 2, 3, \ldots$):
- Знаменатель дроби является $n$-ой степенью числа 2, то есть $2^n$.
- Числитель дроби на единицу меньше знаменателя, то есть $2^n - 1$.

Следовательно, координата $n$-й точки ($x_n$) может быть выражена формулой $x_n = \frac{2^n - 1}{2^n}$.

Используя эту закономерность, найдем координаты следующих пяти точек (для $n = 6, 7, 8, 9, 10$):
- Шестая точка ($n=6$): $x_6 = \frac{2^6 - 1}{2^6} = \frac{64 - 1}{64} = \frac{63}{64}$.
- Седьмая точка ($n=7$): $x_7 = \frac{2^7 - 1}{2^7} = \frac{128 - 1}{128} = \frac{127}{128}$.
- Восьмая точка ($n=8$): $x_8 = \frac{2^8 - 1}{2^8} = \frac{256 - 1}{256} = \frac{255}{256}$.
- Девятая точка ($n=9$): $x_9 = \frac{2^9 - 1}{2^9} = \frac{512 - 1}{512} = \frac{511}{512}$.
- Десятая точка ($n=10$): $x_{10} = \frac{2^{10} - 1}{2^{10}} = \frac{1024 - 1}{1024} = \frac{1023}{1024}$.

Ответ: $\frac{63}{64}, \frac{127}{128}, \frac{255}{256}, \frac{511}{512}, \frac{1023}{1024}$.