Номер 4.245, страница 176 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 4. Рациональные числа. Дополнения к главе 4. Буквенные выражения - номер 4.245, страница 176.

Условие.

4.245. В старину для решения задач пользовались такими правилами: чтобы по сумме и разности двух чисел найти большее число, надо к полусумме двух чисел прибавить их полуразность; чтобы найти меньшее число, надо из полусуммы двух чисел вычесть их полуразность. Докажите равенства:

а) $ \frac{a+b}{2} + \frac{a-b}{2} = a; $

б) $ \frac{a+b}{2} - \frac{a-b}{2} = b. $

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Чтобы доказать данное равенство, необходимо преобразовать его левую часть. Так как обе дроби имеют одинаковый знаменатель, мы можем сложить их числители, записав результат над общим знаменателем.
$ \frac{a+b}{2} + \frac{a-b}{2} = \frac{(a+b) + (a-b)}{2} $
Теперь раскроем скобки в числителе:
$ \frac{a+b+a-b}{2} $
Приведем подобные слагаемые в числителе. Слагаемые $b$ и $-b$ взаимно уничтожаются, а $a+a$ равно $2a$.
$ \frac{2a}{2} $
Сократив дробь на 2, получаем:
$ a $
В результате преобразований мы получили, что левая часть равенства равна $a$, что совпадает с правой частью. Таким образом, равенство доказано.
Ответ: Равенство $ \frac{a+b}{2} + \frac{a-b}{2} = a $ доказано.

б) Докажем второе равенство аналогичным способом. Преобразуем его левую часть. Вычтем числители дробей, так как знаменатели у них одинаковые.
$ \frac{a+b}{2} - \frac{a-b}{2} = \frac{(a+b) - (a-b)}{2} $
Раскроем скобки в числителе. Важно учесть, что знак "минус" перед второй скобкой меняет знаки всех слагаемых внутри нее на противоположные.
$ \frac{a+b-a+b}{2} $
Приведем подобные слагаемые в числителе. Слагаемые $a$ и $-a$ взаимно уничтожаются, а $b+b$ равно $2b$.
$ \frac{2b}{2} $
Сократив дробь на 2, получаем:
$ b $
В результате мы получили, что левая часть равенства равна $b$, что совпадает с правой частью. Равенство доказано.
Ответ: Равенство $ \frac{a+b}{2} - \frac{a-b}{2} = b $ доказано.