Страница 156 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

4.142. а) $\left(-1\frac{1}{3}\right) \cdot \frac{9}{10};$

б) $\left(-\frac{2}{7}\right) \cdot 3\frac{1}{2};$

в) $\left(-5\frac{1}{2}\right) \cdot \left(-\frac{32}{33}\right);$

г) $4\frac{1}{6} \cdot \left(-\frac{24}{25}\right);$

д) $-\frac{22}{23} \cdot 2\frac{1}{11};$

е) $-\frac{3}{8} \cdot \left(-1\frac{7}{9}\right).$

а) Для того чтобы умножить смешанное число на обыкновенную дробь, сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь. Знак произведения будет отрицательным, так как мы умножаем отрицательное число на положительное.
$-1\frac{1}{3} = -\frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = -\frac{4}{3}$.
Теперь выполним умножение дробей:
$(-\frac{4}{3}) \cdot \frac{9}{10} = -(\frac{4}{3} \cdot \frac{9}{10}) = -\frac{4 \cdot 9}{3 \cdot 10}$.
Сократим дробь перед вычислением: числитель 4 и знаменатель 10 можно сократить на 2; числитель 9 и знаменатель 3 можно сократить на 3.
$-\frac{4 \cdot 9}{3 \cdot 10} = -\frac{(2 \cdot 2) \cdot (3 \cdot 3)}{3 \cdot (2 \cdot 5)} = -\frac{2 \cdot 3}{5} = -\frac{6}{5}$.
Преобразуем неправильную дробь обратно в смешанное число:
$-\frac{6}{5} = -1\frac{1}{5}$.
Ответ: $-1\frac{1}{5}$.

б) Преобразуем смешанное число $3\frac{1}{2}$ в неправильную дробь. Произведение будет отрицательным.
$3\frac{1}{2} = \frac{3 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{7}{2}$.
Выполним умножение:
$(-\frac{2}{7}) \cdot \frac{7}{2} = -(\frac{2}{7} \cdot \frac{7}{2}) = -\frac{2 \cdot 7}{7 \cdot 2}$.
Сокращаем числитель и знаменатель на 2 и на 7:
$-\frac{14}{14} = -1$.
Ответ: $-1$.

в) Преобразуем смешанное число $-5\frac{1}{2}$ в неправильную дробь. Произведение двух отрицательных чисел будет положительным.
$-5\frac{1}{2} = -\frac{5 \cdot 2 + 1}{2} = -\frac{11}{2}$.
Выполним умножение:
$(-\frac{11}{2}) \cdot (-\frac{32}{33}) = \frac{11}{2} \cdot \frac{32}{33} = \frac{11 \cdot 32}{2 \cdot 33}$.
Сократим дробь: 11 и 33 на 11; 32 и 2 на 2.
$\frac{1 \cdot 16}{1 \cdot 3} = \frac{16}{3}$.
Преобразуем в смешанное число:
$\frac{16}{3} = 5\frac{1}{3}$.
Ответ: $5\frac{1}{3}$.

г) Преобразуем смешанное число $4\frac{1}{6}$ в неправильную дробь. Произведение положительного и отрицательного чисел будет отрицательным.
$4\frac{1}{6} = \frac{4 \cdot 6 + 1}{6} = \frac{25}{6}$.
Выполним умножение:
$\frac{25}{6} \cdot (-\frac{24}{25}) = -(\frac{25}{6} \cdot \frac{24}{25}) = -\frac{25 \cdot 24}{6 \cdot 25}$.
Сократим дробь на 25, а также 24 и 6 на 6.
$-\frac{24}{6} = -4$.
Ответ: $-4$.

д) Преобразуем смешанное число $2\frac{1}{11}$ в неправильную дробь. Произведение будет отрицательным.
$2\frac{1}{11} = \frac{2 \cdot 11 + 1}{11} = \frac{23}{11}$.
Выполним умножение:
$-\frac{22}{23} \cdot \frac{23}{11} = -(\frac{22}{23} \cdot \frac{23}{11}) = -\frac{22 \cdot 23}{23 \cdot 11}$.
Сократим дробь на 23, а также 22 и 11 на 11.
$-\frac{22}{11} = -2$.
Ответ: $-2$.

е) Преобразуем смешанное число $-1\frac{7}{9}$ в неправильную дробь. Произведение двух отрицательных чисел будет положительным.
$-1\frac{7}{9} = -\frac{1 \cdot 9 + 7}{9} = -\frac{16}{9}$.
Выполним умножение:
$-\frac{3}{8} \cdot (-\frac{16}{9}) = \frac{3}{8} \cdot \frac{16}{9} = \frac{3 \cdot 16}{8 \cdot 9}$.
Сократим дробь: 16 и 8 на 8; 3 и 9 на 3.
$\frac{1 \cdot 2}{1 \cdot 3} = \frac{2}{3}$.
Ответ: $\frac{2}{3}$.

4.143. а) $(-5) \cdot \frac{2}{3}$;

б) $7 \cdot \left(-1\frac{1}{2}\right)$;

В) $(-3) \cdot \left(-1\frac{1}{4}\right)$;

г) $\left(-2\frac{3}{4}\right) \cdot \left(-1\frac{1}{7}\right)$;

д) $\left(-1\frac{1}{3}\right) \cdot 2\frac{2}{5}$;

е) $4\frac{1}{2} \cdot \left(-5\frac{1}{3}\right)$.

а) Чтобы умножить целое число на дробь, нужно представить целое число в виде дроби со знаменателем 1, а затем перемножить числители и знаменатели. Произведение отрицательного и положительного чисел отрицательно.
$(-5) \cdot \frac{2}{3} = -\frac{5}{1} \cdot \frac{2}{3} = -\frac{5 \cdot 2}{1 \cdot 3} = -\frac{10}{3} = -3\frac{1}{3}$.
Ответ: $-3\frac{1}{3}$.

б) Чтобы умножить целое число на смешанное число, нужно сначала превратить смешанное число в неправильную дробь. Произведение положительного и отрицательного чисел отрицательно.
$7 \cdot (-1\frac{1}{2}) = 7 \cdot (-\frac{1 \cdot 2 + 1}{2}) = 7 \cdot (-\frac{3}{2}) = -\frac{7 \cdot 3}{2} = -\frac{21}{2} = -10\frac{1}{2}$.
Ответ: $-10\frac{1}{2}$.

в) Произведение двух отрицательных чисел положительно. Превратим смешанное число в неправильную дробь.
$(-3) \cdot (-1\frac{1}{4}) = (-3) \cdot (-\frac{1 \cdot 4 + 1}{4}) = 3 \cdot \frac{5}{4} = \frac{3 \cdot 5}{4} = \frac{15}{4} = 3\frac{3}{4}$.
Ответ: $3\frac{3}{4}$.

г) Чтобы умножить два смешанных числа, нужно превратить их в неправильные дроби. Произведение двух отрицательных чисел положительно.
$(-2\frac{3}{4}) \cdot (-1\frac{1}{7}) = (-\frac{2 \cdot 4 + 3}{4}) \cdot (-\frac{1 \cdot 7 + 1}{7}) = (-\frac{11}{4}) \cdot (-\frac{8}{7}) = \frac{11 \cdot 8}{4 \cdot 7}$.
Сократим дробь на 4: $\frac{11 \cdot 2}{1 \cdot 7} = \frac{22}{7} = 3\frac{1}{7}$.
Ответ: $3\frac{1}{7}$.

д) Произведение отрицательного и положительного чисел отрицательно. Превратим смешанные числа в неправильные дроби.
$(-1\frac{1}{3}) \cdot 2\frac{2}{5} = (-\frac{1 \cdot 3 + 1}{3}) \cdot (\frac{2 \cdot 5 + 2}{5}) = (-\frac{4}{3}) \cdot \frac{12}{5} = -\frac{4 \cdot 12}{3 \cdot 5}$.
Сократим дробь на 3: $-\frac{4 \cdot 4}{1 \cdot 5} = -\frac{16}{5} = -3\frac{1}{5}$.
Ответ: $-3\frac{1}{5}$.

е) Произведение положительного и отрицательного чисел отрицательно. Превратим смешанные числа в неправильные дроби.
$4\frac{1}{2} \cdot (-5\frac{1}{3}) = \frac{4 \cdot 2 + 1}{2} \cdot (-\frac{5 \cdot 3 + 1}{3}) = \frac{9}{2} \cdot (-\frac{16}{3}) = -\frac{9 \cdot 16}{2 \cdot 3}$.
Сократим числитель и знаменатель: $-\frac{(3 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 8)}{2 \cdot 3} = - (3 \cdot 8) = -24$.
Ответ: -24.

4.144. Вычислите, предварительно указав порядок действий:

а) $(-\frac{2}{5}) \cdot 2\frac{1}{2} \cdot (-1\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2});$

б) $(-\frac{2}{7}) \cdot (5\frac{1}{3} \cdot (-\frac{3}{4})) \cdot \frac{7}{9};$

в) $\frac{2}{9} \cdot (\frac{9}{2} \cdot (-1\frac{1}{5})) \cdot (-2);$

г) $(3\frac{1}{3} \cdot 2\frac{1}{4}) \cdot ((-\frac{1}{2}) \cdot \frac{4}{5}).$

а) $(-\frac{2}{5}) \cdot 2\frac{1}{2} \cdot (-1\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2})$

Порядок действий следующий: сначала выполняются действия в скобках, затем умножение слева направо. Для удобства вычислений преобразуем смешанные числа в неправильные дроби.

$2\frac{1}{2} = \frac{2 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{5}{2}$

$-1\frac{1}{3} = -\frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = -\frac{4}{3}$

Выражение принимает вид: $(-\frac{2}{5}) \cdot \frac{5}{2} \cdot (-\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2})$

1. Первое действие (в скобках):

$-\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{4 \cdot 1}{3 \cdot 2} = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}$

2. Второе действие (умножение слева):

$(-\frac{2}{5}) \cdot \frac{5}{2} = -\frac{2 \cdot 5}{5 \cdot 2} = -1$

3. Третье действие (финальное умножение):

$-1 \cdot (-\frac{2}{3}) = \frac{2}{3}$

Ответ: $\frac{2}{3}$

б) $(-\frac{2}{7}) \cdot (5\frac{1}{3} \cdot (-\frac{3}{4})) \cdot \frac{7}{9}$

Порядок действий: сначала выполняем умножение в скобках, затем оставшиеся умножения слева направо. Преобразуем смешанное число в неправильную дробь.

$5\frac{1}{3} = \frac{5 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{16}{3}$

Выражение принимает вид: $(-\frac{2}{7}) \cdot (\frac{16}{3} \cdot (-\frac{3}{4})) \cdot \frac{7}{9}$

1. Первое действие (в скобках):

$\frac{16}{3} \cdot (-\frac{3}{4}) = -\frac{16 \cdot 3}{3 \cdot 4} = -\frac{16}{4} = -4$

2. Второе действие (умножение слева):

$(-\frac{2}{7}) \cdot (-4) = \frac{2 \cdot 4}{7} = \frac{8}{7}$

3. Третье действие (финальное умножение):

$\frac{8}{7} \cdot \frac{7}{9} = \frac{8 \cdot 7}{7 \cdot 9} = \frac{8}{9}$

Ответ: $\frac{8}{9}$

в) $\frac{2}{9} \cdot (\frac{9}{2} \cdot (-1\frac{1}{5})) \cdot (-2)$

Порядок действий: сначала умножение в скобках, затем умножения слева направо. Преобразуем смешанное число в неправильную дробь.

$-1\frac{1}{5} = -\frac{1 \cdot 5 + 1}{5} = -\frac{6}{5}$

Выражение принимает вид: $\frac{2}{9} \cdot (\frac{9}{2} \cdot (-\frac{6}{5})) \cdot (-2)$

1. Первое действие (в скобках):

$\frac{9}{2} \cdot (-\frac{6}{5}) = -\frac{9 \cdot 6}{2 \cdot 5} = -\frac{9 \cdot 3}{5} = -\frac{27}{5}$

2. Второе действие (умножение слева):

$\frac{2}{9} \cdot (-\frac{27}{5}) = -\frac{2 \cdot 27}{9 \cdot 5} = -\frac{2 \cdot 3}{5} = -\frac{6}{5}$

3. Третье действие (финальное умножение):

$(-\frac{6}{5}) \cdot (-2) = \frac{6 \cdot 2}{5} = \frac{12}{5} = 2\frac{2}{5}$

Ответ: $2\frac{2}{5}$

г) $(3\frac{1}{3} \cdot 2\frac{1}{4}) \cdot ((-\frac{1}{2}) \cdot \frac{4}{5})$

Порядок действий: сначала выполняем умножение в каждой паре скобок, затем перемножаем полученные результаты. Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби.

$3\frac{1}{3} = \frac{3 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{10}{3}$

$2\frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{9}{4}$

1. Первое действие (в первых скобках):

$3\frac{1}{3} \cdot 2\frac{1}{4} = \frac{10}{3} \cdot \frac{9}{4} = \frac{10 \cdot 9}{3 \cdot 4} = \frac{(5 \cdot 2) \cdot (3 \cdot 3)}{3 \cdot (2 \cdot 2)} = \frac{5 \cdot 3}{2} = \frac{15}{2}$

2. Второе действие (во вторых скобках):

$(-\frac{1}{2}) \cdot \frac{4}{5} = -\frac{1 \cdot 4}{2 \cdot 5} = -\frac{4}{10} = -\frac{2}{5}$

3. Третье действие (умножение результатов):

$\frac{15}{2} \cdot (-\frac{2}{5}) = -\frac{15 \cdot 2}{2 \cdot 5} = -\frac{15}{5} = -3$

Ответ: $-3$

4.145. Вычислите:

а) $2\frac{1}{3} \cdot \left(-\frac{7}{9}\right) \cdot \frac{9}{7};$

б) $\left(-\frac{8}{9}\right) \cdot 2\frac{4}{17} \cdot \left(-\frac{9}{8}\right);$

в) $2\frac{1}{4} \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) \cdot \left(-1\frac{1}{2}\right);$

г) $\left(-\frac{4}{5}\right) \cdot 2\frac{1}{2} \cdot \left(-1\frac{1}{3}\right);$

д) $5\frac{7}{9} \cdot \left(-\frac{8}{9}\right) \cdot \left(-2\frac{1}{4}\right);$

е) $4\frac{1}{5} \cdot \left(3\frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{5}{7}\right)\right).$

а) $2\frac{1}{3} \cdot (-\frac{7}{9}) \cdot \frac{9}{7}$
Преобразуем смешанное число $2\frac{1}{3}$ в неправильную дробь: $2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$.
Выражение принимает вид: $\frac{7}{3} \cdot (-\frac{7}{9}) \cdot \frac{9}{7}$.
Поскольку в произведении один отрицательный множитель, результат будет отрицательным. Перемножим модули чисел, сокращая общие множители:
$-\left(\frac{7}{3} \cdot \frac{7}{9} \cdot \frac{9}{7}\right) = -\frac{7 \cdot 7 \cdot 9}{3 \cdot 9 \cdot 7} = -\frac{\cancel{7} \cdot 7 \cdot \cancel{9}}{3 \cdot \cancel{9} \cdot \cancel{7}} = -\frac{7}{3}$.
Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $-\frac{7}{3} = -2\frac{1}{3}$.
Ответ: $-2\frac{1}{3}$

б) $(-\frac{8}{9}) \cdot 2\frac{4}{17} \cdot (-\frac{9}{8})$
Преобразуем смешанное число $2\frac{4}{17}$ в неправильную дробь: $2\frac{4}{17} = \frac{2 \cdot 17 + 4}{17} = \frac{38}{17}$.
Выражение принимает вид: $(-\frac{8}{9}) \cdot \frac{38}{17} \cdot (-\frac{9}{8})$.
Произведение двух отрицательных чисел положительно. Перегруппируем множители для удобства сокращения:
$\left(-\frac{8}{9} \cdot -\frac{9}{8}\right) \cdot \frac{38}{17} = \left(\frac{8 \cdot 9}{9 \cdot 8}\right) \cdot \frac{38}{17} = 1 \cdot \frac{38}{17} = \frac{38}{17}$.
Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $\frac{38}{17} = 2\frac{4}{17}$.
Ответ: $2\frac{4}{17}$

в) $2\frac{1}{4} \cdot (-\frac{2}{3}) \cdot (-1\frac{1}{2})$
Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби: $2\frac{1}{4} = \frac{9}{4}$ и $1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.
Выражение принимает вид: $\frac{9}{4} \cdot (-\frac{2}{3}) \cdot (-\frac{3}{2})$.
Произведение двух отрицательных чисел положительно. Перемножим дроби, сокращая общие множители:
$\frac{9}{4} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} = \frac{9 \cdot 2 \cdot 3}{4 \cdot 3 \cdot 2} = \frac{9 \cdot \cancel{6}}{4 \cdot \cancel{6}} = \frac{9}{4}$.
Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $\frac{9}{4} = 2\frac{1}{4}$.
Ответ: $2\frac{1}{4}$

г) $(-\frac{4}{5}) \cdot (2\frac{1}{2} \cdot (-1\frac{1}{3}))$
Сначала выполним умножение в скобках. Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби: $2\frac{1}{2} = \frac{5}{2}$ и $1\frac{1}{3} = \frac{4}{3}$.
$\frac{5}{2} \cdot (-\frac{4}{3}) = -\frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 3} = -\frac{5 \cdot \cancel{4}^2}{\cancel{2}^1 \cdot 3} = -\frac{10}{3}$.
Теперь умножим результат на первый множитель:
$(-\frac{4}{5}) \cdot (-\frac{10}{3})$.
Произведение двух отрицательных чисел положительно:
$\frac{4}{5} \cdot \frac{10}{3} = \frac{4 \cdot 10}{5 \cdot 3} = \frac{4 \cdot \cancel{10}^2}{\cancel{5}^1 \cdot 3} = \frac{8}{3}$.
Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $\frac{8}{3} = 2\frac{2}{3}$.
Ответ: $2\frac{2}{3}$

д) $5\frac{7}{9} \cdot (-\frac{8}{9}) \cdot (-2\frac{1}{4})$
Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби: $5\frac{7}{9} = \frac{5 \cdot 9 + 7}{9} = \frac{52}{9}$ и $2\frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{9}{4}$.
Выражение принимает вид: $\frac{52}{9} \cdot (-\frac{8}{9}) \cdot (-\frac{9}{4})$.
Произведение двух отрицательных чисел положительно. Перемножим дроби, сокращая общие множители:
$\frac{52}{9} \cdot \frac{8}{9} \cdot \frac{9}{4} = \frac{52 \cdot 8 \cdot 9}{9 \cdot 9 \cdot 4} = \frac{\cancel{52}^{13} \cdot 8 \cdot \cancel{9}}{\cancel{9} \cdot 9 \cdot \cancel{4}^1} = \frac{13 \cdot 8}{9} = \frac{104}{9}$.
Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $\frac{104}{9} = 11\frac{5}{9}$.
Ответ: $11\frac{5}{9}$

е) $4\frac{1}{5} \cdot (3\frac{1}{2} \cdot (-\frac{5}{7}))$
Сначала выполним умножение в скобках. Преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $3\frac{1}{2} = \frac{7}{2}$.
$\frac{7}{2} \cdot (-\frac{5}{7}) = -\frac{7 \cdot 5}{2 \cdot 7} = -\frac{\cancel{7} \cdot 5}{2 \cdot \cancel{7}} = -\frac{5}{2}$.
Теперь умножим результат на первый множитель. Преобразуем $4\frac{1}{5}$ в неправильную дробь: $4\frac{1}{5} = \frac{21}{5}$.
$\frac{21}{5} \cdot (-\frac{5}{2})$.
Результат будет отрицательным:
$-\left(\frac{21}{5} \cdot \frac{5}{2}\right) = -\frac{21 \cdot 5}{5 \cdot 2} = -\frac{21 \cdot \cancel{5}}{\cancel{5} \cdot 2} = -\frac{21}{2}$.
Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $-\frac{21}{2} = -10\frac{1}{2}$.
Ответ: $-10\frac{1}{2}$

ДОКАЗЫВАЕМ

4.146. Докажите, что:

а) $\left(-\frac{1}{7}\right) \cdot \frac{8}{9} \cdot \frac{3}{4} > -\frac{2}{3} \cdot 2\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{6}$

б) $-1\frac{1}{2} \cdot \left(-1\frac{1}{3}\right) > -1\frac{1}{4} \cdot \left(-1\frac{1}{5}\right)$

в) $\left(\frac{7}{12} - \frac{7}{18}\right) \cdot \left(-\frac{6}{7}\right) < \left(-\frac{25}{36}\right) : \frac{5}{-12} \cdot \frac{-1}{11}$

а) Чтобы доказать неравенство $(-\frac{1}{7}) \cdot \frac{8}{9} \cdot 1\frac{3}{4} > \frac{2}{-3} \cdot 2\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{6}$, мы вычислим значения его левой и правой частей и сравним их.

1. Вычислим значение левой части (ЛЧ):

$ЛЧ = (-\frac{1}{7}) \cdot \frac{8}{9} \cdot 1\frac{3}{4} = -\frac{1}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdot \frac{7}{4}$

Сокращаем дроби: $ЛЧ = -\frac{1 \cdot 8 \cdot 7}{7 \cdot 9 \cdot 4} = -\frac{1 \cdot (2 \cdot 4) \cdot 7}{7 \cdot 9 \cdot 4} = -\frac{2}{9}$

2. Вычислим значение правой части (ПЧ):

$ПЧ = \frac{2}{-3} \cdot 2\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{6} = -\frac{2}{3} \cdot \frac{9}{4} \cdot \frac{1}{6}$

Сокращаем дроби: $ПЧ = -\frac{2 \cdot 9 \cdot 1}{3 \cdot 4 \cdot 6} = -\frac{18}{72} = -\frac{1}{4}$

3. Сравним полученные значения: $-\frac{2}{9}$ и $-\frac{1}{4}$.

Приведем дроби к общему знаменателю $36$:

$-\frac{2}{9} = -\frac{2 \cdot 4}{9 \cdot 4} = -\frac{8}{36}$

$-\frac{1}{4} = -\frac{1 \cdot 9}{4 \cdot 9} = -\frac{9}{36}$

Так как $-8 > -9$, то $-\frac{8}{36} > -\frac{9}{36}$, а значит, $-\frac{2}{9} > -\frac{1}{4}$. Неравенство доказано.

Ответ: Неравенство верно, так как $-\frac{2}{9} > -\frac{1}{4}$.

б) Чтобы доказать неравенство $-1\frac{1}{2} \cdot (-1\frac{1}{3}) > -1\frac{1}{4} \cdot (-1\frac{1}{5})$, мы вычислим значения его левой и правой частей и сравним их.

1. Вычислим значение левой части (ЛЧ):

$ЛЧ = -1\frac{1}{2} \cdot (-1\frac{1}{3}) = (-\frac{3}{2}) \cdot (-\frac{4}{3})$

Произведение двух отрицательных чисел положительно. Сокращаем дроби:

$ЛЧ = \frac{3 \cdot 4}{2 \cdot 3} = \frac{4}{2} = 2$

2. Вычислим значение правой части (ПЧ):

$ПЧ = -1\frac{1}{4} \cdot (-1\frac{1}{5}) = (-\frac{5}{4}) \cdot (-\frac{6}{5})$

Произведение двух отрицательных чисел положительно. Сокращаем дроби:

$ПЧ = \frac{5 \cdot 6}{4 \cdot 5} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$

3. Сравним полученные значения: $2$ и $\frac{3}{2}$.

Так как $2 = \frac{4}{2}$, а $\frac{4}{2} > \frac{3}{2}$, то $2 > \frac{3}{2}$. Неравенство доказано.

Ответ: Неравенство верно, так как $2 > \frac{3}{2}$.

в) Чтобы доказать неравенство $(\frac{7}{12} - \frac{7}{18}) \cdot (-\frac{6}{7}) < (-\frac{25}{36}) : \frac{5}{-12} \cdot \frac{-1}{11}$, мы вычислим значения его левой и правой частей и сравним их.

1. Вычислим значение левой части (ЛЧ):

Сначала выполним вычитание в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $36$:

$\frac{7}{12} - \frac{7}{18} = \frac{7 \cdot 3}{36} - \frac{7 \cdot 2}{36} = \frac{21 - 14}{36} = \frac{7}{36}$

Теперь выполним умножение:

$ЛЧ = \frac{7}{36} \cdot (-\frac{6}{7}) = -\frac{7 \cdot 6}{36 \cdot 7} = -\frac{6}{36} = -\frac{1}{6}$

2. Вычислим значение правой части (ПЧ):

Выполним действия по порядку. Сначала деление, затем умножение. Деление на дробь $\frac{5}{-12}$ равносильно умножению на обратную дробь $-\frac{12}{5}$.

$(-\frac{25}{36}) : \frac{5}{-12} = (-\frac{25}{36}) : (-\frac{5}{12}) = \frac{25}{36} \cdot \frac{12}{5} = \frac{25 \cdot 12}{36 \cdot 5} = \frac{5 \cdot 1}{3 \cdot 1} = \frac{5}{3}$

Теперь умножим результат на $\frac{-1}{11}$:

$ПЧ = \frac{5}{3} \cdot \frac{-1}{11} = -\frac{5 \cdot 1}{3 \cdot 11} = -\frac{5}{33}$

3. Сравним полученные значения: $-\frac{1}{6}$ и $-\frac{5}{33}$.

Приведем дроби к общему знаменателю $66$:

$-\frac{1}{6} = -\frac{1 \cdot 11}{6 \cdot 11} = -\frac{11}{66}$

$-\frac{5}{33} = -\frac{5 \cdot 2}{33 \cdot 2} = -\frac{10}{66}$

Так как $-11 < -10$, то $-\frac{11}{66} < -\frac{10}{66}$, а значит, $-\frac{1}{6} < -\frac{5}{33}$. Неравенство доказано.

Ответ: Неравенство верно, так как $-\frac{1}{6} < -\frac{5}{33}$.

4.147. Не проводя вычислений, сравните результат с нулём, а затем вычислите:

а) $5 \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{1}{4}\right)$;

б) $\frac{-3}{7} \cdot 2\frac{1}{3}$;

в) $\left(-\frac{7}{9}\right) \cdot \frac{-8}{5}$;

г) $\frac{-8}{-9} \cdot \frac{-3}{-7} \cdot \frac{-7}{-8}$;

д) $\left(-\frac{1}{2}\right) : (-7) : (-3)$;

е) $\left(-\frac{4}{5}\right)^2$.

а)

Сравнение с нулём: Произведение положительного числа $5\frac{1}{2}$ и отрицательного числа $(-\frac{1}{4})$ является отрицательным числом, следовательно, результат меньше нуля.

Вычисление: $5\frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{1}{4}\right) = \frac{11}{2} \cdot \left(-\frac{1}{4}\right) = -\frac{11 \cdot 1}{2 \cdot 4} = -\frac{11}{8} = -1\frac{3}{8}$.

Ответ: $-1\frac{3}{8}$.

б)

Сравнение с нулём: Произведение отрицательного числа $\frac{-3}{7}$ и положительного числа $2\frac{1}{3}$ является отрицательным числом, следовательно, результат меньше нуля.

Вычисление: $\frac{-3}{7} \cdot 2\frac{1}{3} = -\frac{3}{7} \cdot \frac{7}{3} = -\frac{3 \cdot 7}{7 \cdot 3} = -1$.

Ответ: $-1$.

в)

Сравнение с нулём: Произведение двух отрицательных чисел $(-\frac{7}{9})$ и $\frac{-8}{5}$ является положительным числом, следовательно, результат больше нуля.

Вычисление: $\left(-\frac{7}{9}\right) \cdot \frac{-8}{5} = \frac{7 \cdot 8}{9 \cdot 5} = \frac{56}{45} = 1\frac{11}{45}$.

Ответ: $1\frac{11}{45}$.

г)

Сравнение с нулём: Каждый из множителей представляет собой частное двух отрицательных чисел, а значит, является положительным числом: $\frac{-8}{-9} > 0$, $\frac{-3}{-7} > 0$, $\frac{-7}{-8} > 0$. Произведение трех положительных чисел является положительным числом, следовательно, результат больше нуля.

Вычисление: $\frac{-8}{-9} \cdot \frac{-3}{-7} \cdot \frac{-7}{-8} = \frac{8}{9} \cdot \frac{3}{7} \cdot \frac{7}{8} = \frac{8 \cdot 3 \cdot 7}{9 \cdot 7 \cdot 8} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$.

д)

Сравнение с нулём: В выражении участвуют три отрицательных числа. Частное первых двух отрицательных чисел $(-\frac{1}{2}) : (-7)$ будет положительным. Затем частное этого положительного результата и третьего отрицательного числа $(-3)$ будет отрицательным. Следовательно, результат меньше нуля.

Вычисление: $\left(-\frac{1}{2}\right) : (-7) : (-3) = \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \left(-\frac{1}{7}\right) \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) = - \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{3}\right) = -\frac{1}{42}$.

Ответ: $-\frac{1}{42}$.

е)

Сравнение с нулём: Возведение в квадрат любого ненулевого числа, в том числе и отрицательного, даёт положительный результат. $(-\frac{4}{5})^2 = (-\frac{4}{5}) \cdot (-\frac{4}{5})$, а произведение двух отрицательных чисел положительно. Следовательно, результат больше нуля.

Вычисление: $\left(-\frac{4}{5}\right)^2 = \frac{(-4)^2}{5^2} = \frac{16}{25}$.

Ответ: $\frac{16}{25}$.