Страница 151 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Вычислите, применяя законы сложения и умножения (4.114–4.116):

4.114. а) $80 \cdot 359 \cdot (-125);$

б) $457 + 985 - 57;$

в) $45 \cdot (-39) + 55 \cdot (-39);$

г) $76 \cdot 45 - 26 \cdot 45;$

д) $157 \cdot (-13) - 17 \cdot (-13);$

е) $(-124) \cdot 35 + 24 \cdot 35.$

а)

В данном выражении $80 \cdot 359 \cdot (-125)$ три множителя. Для упрощения вычисления применим переместительный и сочетательный законы умножения. Сгруппируем множители 80 и -125, так как их произведение является круглым числом.

$80 \cdot 359 \cdot (-125) = (80 \cdot (-125)) \cdot 359$

Вычислим произведение в скобках:

$80 \cdot (-125) = - (80 \cdot 125) = -10000$

Теперь умножим полученный результат на 359:

$-10000 \cdot 359 = -3590000$

Ответ: -3590000

б)

В выражении $457 + 985 - 57$ воспользуемся переместительным и сочетательным законами сложения. Удобнее сначала вычесть 57 из 457.

$457 + 985 - 57 = (457 - 57) + 985$

Вычислим разность в скобках:

$457 - 57 = 400$

Теперь прибавим 985:

$400 + 985 = 1385$

Ответ: 1385

в)

В выражении $45 \cdot (-39) + 55 \cdot (-39)$ применим распределительный закон умножения относительно сложения ($a \cdot c + b \cdot c = (a + b) \cdot c$). Вынесем общий множитель (-39) за скобки.

$45 \cdot (-39) + 55 \cdot (-39) = (45 + 55) \cdot (-39)$

Вычислим сумму в скобках:

$45 + 55 = 100$

Теперь умножим полученный результат на (-39):

$100 \cdot (-39) = -3900$

Ответ: -3900

г)

В выражении $76 \cdot 45 - 26 \cdot 45$ применим распределительный закон умножения относительно вычитания ($a \cdot c - b \cdot c = (a - b) \cdot c$). Вынесем общий множитель 45 за скобки.

$76 \cdot 45 - 26 \cdot 45 = (76 - 26) \cdot 45$

Вычислим разность в скобках:

$76 - 26 = 50$

Теперь умножим полученный результат на 45:

$50 \cdot 45 = 2250$

Ответ: 2250

д)

В выражении $157 \cdot (-13) - 17 \cdot (-13)$ применим распределительный закон умножения относительно вычитания. Вынесем общий множитель (-13) за скобки.

$157 \cdot (-13) - 17 \cdot (-13) = (157 - 17) \cdot (-13)$

Вычислим разность в скобках:

$157 - 17 = 140$

Теперь умножим полученный результат на (-13):

$140 \cdot (-13) = - (140 \cdot 13) = -1820$

Ответ: -1820

е)

В выражении $(-124) \cdot 35 + 24 \cdot 35$ применим распределительный закон умножения относительно сложения. Вынесем общий множитель 35 за скобки.

$(-124) \cdot 35 + 24 \cdot 35 = (-124 + 24) \cdot 35$

Вычислим сумму в скобках:

$-124 + 24 = -100$

Теперь умножим полученный результат на 35:

$-100 \cdot 35 = -3500$

Ответ: -3500

4.115. a) $\frac{4}{15} + \frac{5}{36} + \frac{11}{15} + \frac{31}{36}$;

б) $\frac{7}{25} + \frac{32}{33} - \frac{7}{25}$;

в) $\frac{39}{40} \cdot \frac{124}{125} : \frac{124}{125}$;

г) $\frac{4}{35} \cdot \frac{17}{18} + \frac{17}{18} \cdot \frac{31}{35}$;

д) $\frac{45}{46} \cdot \frac{49}{51} - \frac{45}{46} \cdot \frac{3}{51}$;

е) $\frac{72}{73} \cdot \frac{34}{65} + \frac{72}{73} \cdot \frac{39}{65}$.

а) Для решения этого примера сгруппируем дроби с одинаковыми знаменателями, используя переместительное и сочетательное свойства сложения:
$\frac{4}{15} + \frac{5}{36} + \frac{11}{15} + \frac{31}{36} = (\frac{4}{15} + \frac{11}{15}) + (\frac{5}{36} + \frac{31}{36})$
Сложим дроби в каждой группе:
$\frac{4}{15} + \frac{11}{15} = \frac{4+11}{15} = \frac{15}{15} = 1$
$\frac{5}{36} + \frac{31}{36} = \frac{5+31}{36} = \frac{36}{36} = 1$
Теперь сложим полученные результаты:
$1 + 1 = 2$
Ответ: 2

б) В этом примере можно заметить, что дробь $\frac{7}{25}$ сначала прибавляется, а потом вычитается. Используем переместительное свойство сложения, чтобы сгруппировать эти члены:
$\frac{7}{25} + \frac{32}{33} - \frac{7}{25} = (\frac{7}{25} - \frac{7}{25}) + \frac{32}{33}$
Выполним вычитание:
$\frac{7}{25} - \frac{7}{25} = 0$
В результате остается:
$0 + \frac{32}{33} = \frac{32}{33}$
Ответ: $\frac{32}{33}$

в) В этом выражении мы делим дробь $\frac{124}{125}$ саму на себя.
$\frac{39}{40} \cdot \frac{124}{125} \div \frac{124}{125}$
Любое число (кроме нуля), деленное само на себя, равно 1. Следовательно, $\frac{124}{125} \div \frac{124}{125} = 1$.
Тогда выражение упрощается до:
$\frac{39}{40} \cdot 1 = \frac{39}{40}$
Ответ: $\frac{39}{40}$

г) В этом выражении есть общий множитель $\frac{17}{18}$. Воспользуемся распределительным свойством умножения: $a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b+c)$.
$\frac{4}{35} \cdot \frac{17}{18} + \frac{17}{18} \cdot \frac{31}{35} = \frac{17}{18} \cdot (\frac{4}{35} + \frac{31}{35})$
Сложим дроби в скобках:
$\frac{4}{35} + \frac{31}{35} = \frac{4+31}{35} = \frac{35}{35} = 1$
Теперь умножим на общий множитель:
$\frac{17}{18} \cdot 1 = \frac{17}{18}$
Ответ: $\frac{17}{18}$

д) Здесь также можно применить распределительное свойство умножения относительно вычитания: $a \cdot b - a \cdot c = a \cdot (b-c)$. Общий множитель — $\frac{45}{46}$.
$\frac{45}{46} \cdot \frac{49}{51} - \frac{45}{46} \cdot \frac{3}{51} = \frac{45}{46} \cdot (\frac{49}{51} - \frac{3}{51})$
Выполним вычитание в скобках:
$\frac{49}{51} - \frac{3}{51} = \frac{49-3}{51} = \frac{46}{51}$
Теперь выполним умножение:
$\frac{45}{46} \cdot \frac{46}{51}$
Сократим 46 в числителе и знаменателе:
$\frac{45}{\cancel{46}} \cdot \frac{\cancel{46}}{51} = \frac{45}{51}$
Дробь $\frac{45}{51}$ можно сократить на 3, так как сумма цифр и числителя (4+5=9), и знаменателя (5+1=6) делится на 3:
$\frac{45 \div 3}{51 \div 3} = \frac{15}{17}$
Ответ: $\frac{15}{17}$

е) В этом примере, как и в предыдущих, используем распределительное свойство умножения. Общий множитель равен $\frac{72}{73}$.
$\frac{72}{73} \cdot \frac{34}{65} + \frac{72}{73} \cdot \frac{39}{65} = \frac{72}{73} \cdot (\frac{34}{65} + \frac{39}{65})$
Складываем дроби в скобках:
$\frac{34}{65} + \frac{39}{65} = \frac{34+39}{65} = \frac{73}{65}$
Теперь выполняем умножение:
$\frac{72}{73} \cdot \frac{73}{65}$
Сокращаем 73 в числителе и знаменателе:
$\frac{72}{\cancel{73}} \cdot \frac{\cancel{73}}{65} = \frac{72}{65}$
Полученная дробь является несократимой.
Ответ: $\frac{72}{65}$

4.116. a) $\frac{23 \cdot 35 + 38 \cdot 35}{17 \cdot 61 + 18 \cdot 61}$;

В) $\frac{75 \cdot 27 + 75 \cdot 37}{37 \cdot 48 - 12 \cdot 48}$;

б) $\frac{49 \cdot 99 + 28 \cdot 99}{12 \cdot 154 + 21 \cdot 154}$;

Г) $\frac{679 \cdot 846 + 679 \cdot 54}{679 \cdot 846 - 679 \cdot 46}$.

а) Для решения этого примера воспользуемся распределительным свойством умножения. Вынесем общие множители за скобки в числителе и знаменателе.
В числителе общий множитель - 35: $23 \cdot 35 + 38 \cdot 35 = 35 \cdot (23 + 38) = 35 \cdot 61$.
В знаменателе общий множитель - 61: $17 \cdot 61 + 18 \cdot 61 = 61 \cdot (17 + 18) = 61 \cdot 35$.
Теперь запишем дробь с новыми числителем и знаменателем и сократим ее:
$\frac{23 \cdot 35 + 38 \cdot 35}{17 \cdot 61 + 18 \cdot 61} = \frac{35 \cdot (23 + 38)}{61 \cdot (17 + 18)} = \frac{35 \cdot 61}{61 \cdot 35} = 1$.
Ответ: 1

б) Вынесем общие множители за скобки в числителе и знаменателе.
В числителе общий множитель - 99: $49 \cdot 99 + 28 \cdot 99 = 99 \cdot (49 + 28) = 99 \cdot 77$.
В знаменателе общий множитель - 154: $12 \cdot 154 + 21 \cdot 154 = 154 \cdot (12 + 21) = 154 \cdot 33$.
Подставим полученные выражения в исходную дробь и сократим:
$\frac{49 \cdot 99 + 28 \cdot 99}{12 \cdot 154 + 21 \cdot 154} = \frac{99 \cdot 77}{154 \cdot 33}$.
Сократим 99 и 33 на 33 ($99 = 3 \cdot 33$). Сократим 77 и 154 на 77 ($154 = 2 \cdot 77$):
$\frac{99 \cdot 77}{154 \cdot 33} = \frac{(3 \cdot 33) \cdot 77}{(2 \cdot 77) \cdot 33} = \frac{3}{2}$.
Ответ: $\frac{3}{2}$

в) Применим распределительное свойство умножения, вынеся общие множители за скобки.
В числителе общий множитель - 75: $75 \cdot 27 + 75 \cdot 37 = 75 \cdot (27 + 37) = 75 \cdot 64$.
В знаменателе общий множитель - 48: $37 \cdot 48 - 12 \cdot 48 = 48 \cdot (37 - 12) = 48 \cdot 25$.
Запишем дробь и сократим ее:
$\frac{75 \cdot 27 + 75 \cdot 37}{37 \cdot 48 - 12 \cdot 48} = \frac{75 \cdot 64}{48 \cdot 25}$.
Сократим 75 и 25 на 25 ($75 = 3 \cdot 25$). Сократим 64 и 48 на 16 ($64 = 4 \cdot 16$, $48 = 3 \cdot 16$):
$\frac{(3 \cdot 25) \cdot (4 \cdot 16)}{(3 \cdot 16) \cdot 25} = \frac{3 \cdot 4}{3} = 4$.
Ответ: 4

г) Вынесем общий множитель 679 за скобки в числителе и знаменателе.
В числителе: $679 \cdot 846 + 679 \cdot 54 = 679 \cdot (846 + 54) = 679 \cdot 900$.
В знаменателе: $679 \cdot 846 - 679 \cdot 46 = 679 \cdot (846 - 46) = 679 \cdot 800$.
Подставим полученные значения в дробь:
$\frac{679 \cdot 846 + 679 \cdot 54}{679 \cdot 846 - 679 \cdot 46} = \frac{679 \cdot 900}{679 \cdot 800}$.
Сократим общий множитель 679, а также 900 и 800 на 100:
$\frac{679 \cdot 900}{679 \cdot 800} = \frac{900}{800} = \frac{9}{8}$.
Ответ: $\frac{9}{8}$

Вычислите (4.117–4.121):

4.117. а) $\frac{7}{25} - \frac{11}{25} - \frac{2}{25};$

б) $\frac{1}{72} - \frac{7}{72} - \frac{18}{72};$

в) $\frac{19}{55} - \frac{18}{55} + \frac{4}{55};$

г) $\frac{25}{64} - \frac{17}{64} - \frac{15}{64}.$

а) Чтобы вычислить значение выражения $\frac{7}{25} - \frac{11}{25} - \frac{2}{25}$, нужно выполнить действия с числителями, так как знаменатели у всех дробей одинаковы. Запишем все числители над общим знаменателем:

$\frac{7 - 11 - 2}{25}$

Сначала вычтем 11 из 7:

$7 - 11 = -4$

Затем из результата вычтем 2:

$-4 - 2 = -6$

Таким образом, получаем дробь:

$\frac{-6}{25} = -\frac{6}{25}$

Ответ: $-\frac{6}{25}$.

б) В выражении $-\frac{1}{72} - \frac{7}{72} - \frac{18}{72}$ все дроби также имеют общий знаменатель. Выполним действия с числителями:

$\frac{-1 - 7 - 18}{72}$

Сложим отрицательные числа в числителе:

$-1 - 7 = -8$

$-8 - 18 = -26$

Получаем дробь $\frac{-26}{72}$. Эту дробь можно сократить, так как и числитель, и знаменатель являются четными числами, то есть делятся на 2:

$\frac{-26 \div 2}{72 \div 2} = \frac{-13}{36} = -\frac{13}{36}$

Ответ: $-\frac{13}{36}$.

в) Вычислим значение выражения $-\frac{19}{55} - \frac{18}{55} + \frac{4}{55}$. Знаменатели одинаковы, поэтому работаем с числителями:

$\frac{-19 - 18 + 4}{55}$

Выполним действия в числителе по порядку:

$-19 - 18 = -37$

$-37 + 4 = -33$

Получаем дробь $\frac{-33}{55}$. Сократим эту дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 11:

$\frac{-33 \div 11}{55 \div 11} = \frac{-3}{5} = -\frac{3}{5}$

Ответ: $-\frac{3}{5}$.

г) В выражении $\frac{25}{64} - \frac{17}{64} - \frac{15}{64}$ знаменатели также одинаковы. Запишем числители над общим знаменателем:

$\frac{25 - 17 - 15}{64}$

Выполним вычитание по порядку:

$25 - 17 = 8$

$8 - 15 = -7$

Получаем дробь $\frac{-7}{64}$ или $-\frac{7}{64}$. Эта дробь является несократимой, так как 7 — простое число, а 64 не делится на 7.

Ответ: $-\frac{7}{64}$.

4.118. а) $ - \frac{1}{5} + \frac{6}{25} - \frac{8}{25}; $

б) $ - \frac{1}{7} + \frac{2}{21} - \frac{3}{7}; $

В) $ - \frac{8}{49} - \frac{5}{7} - \frac{9}{49}; $

Г) $ \frac{7}{10} - \frac{4}{15} - \frac{11}{30}. $

а) Чтобы решить пример $-\frac{1}{5} + \frac{6}{25} - \frac{8}{25}$, нужно привести все дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для чисел 5 и 25 равен 25. Приводим первую дробь к этому знаменателю, умножив ее числитель и знаменатель на 5: $-\frac{1}{5} = -\frac{1 \cdot 5}{5 \cdot 5} = -\frac{5}{25}$. Теперь выполним вычисления с дробями, имеющими одинаковые знаменатели: $-\frac{5}{25} + \frac{6}{25} - \frac{8}{25} = \frac{-5 + 6 - 8}{25} = \frac{1 - 8}{25} = -\frac{7}{25}$. Ответ: $-\frac{7}{25}$.

б) В примере $-\frac{1}{7} + \frac{2}{21} - \frac{3}{7}$ наименьший общий знаменатель для 7 и 21 равен 21. Приведем дроби со знаменателем 7 к знаменателю 21, умножив их числители и знаменатели на 3: $-\frac{1}{7} = -\frac{1 \cdot 3}{7 \cdot 3} = -\frac{3}{21}$ и $-\frac{3}{7} = -\frac{3 \cdot 3}{7 \cdot 3} = -\frac{9}{21}$. Теперь сложим и вычтем полученные дроби: $-\frac{3}{21} + \frac{2}{21} - \frac{9}{21} = \frac{-3 + 2 - 9}{21} = \frac{-1 - 9}{21} = -\frac{10}{21}$. Ответ: $-\frac{10}{21}$.

в) Для решения примера $-\frac{8}{49} - \frac{5}{7} - \frac{9}{49}$ найдем общий знаменатель. Наименьший общий знаменатель для 49 и 7 равен 49. Приведем дробь $-\frac{5}{7}$ к знаменателю 49: $-\frac{5}{7} = -\frac{5 \cdot 7}{7 \cdot 7} = -\frac{35}{49}$. Теперь выполним вычитание: $-\frac{8}{49} - \frac{35}{49} - \frac{9}{49} = \frac{-8 - 35 - 9}{49} = \frac{-43 - 9}{49} = -\frac{52}{49}$. Ответ: $-\frac{52}{49}$.

г) В примере $\frac{7}{10} - \frac{4}{15} - \frac{11}{30}$ наименьшим общим знаменателем для 10, 15 и 30 является число 30. Приведем первые две дроби к этому знаменателю: $\frac{7}{10} = \frac{7 \cdot 3}{10 \cdot 3} = \frac{21}{30}$ и $\frac{4}{15} = \frac{4 \cdot 2}{15 \cdot 2} = \frac{8}{30}$. Выполним вычисления: $\frac{21}{30} - \frac{8}{30} - \frac{11}{30} = \frac{21 - 8 - 11}{30} = \frac{13 - 11}{30} = \frac{2}{30}$. Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 2: $\frac{2 \div 2}{30 \div 2} = \frac{1}{15}$. Ответ: $\frac{1}{15}$.

4.119. а) $-\frac{33}{80} + \left(\frac{3}{16} - \frac{39}{80}\right)$;

б) $\frac{2}{45} + \left(-\frac{3}{45} + \frac{7}{9}\right)$;

в) $\frac{7}{15} - \left(\frac{4}{15} - \frac{1}{5}\right)$;

г) $-\frac{5}{16} - \left(\frac{1}{16} - \frac{7}{8}\right)$;

д) $-\frac{1}{27} + \left(\frac{7}{9} - \frac{2}{3}\right)$;

е) $\left(-\frac{2}{15} - \frac{4}{5}\right) + \frac{3}{10}$;

ж) $\left(-\frac{2}{15} + \frac{4}{5}\right) - \frac{3}{10}$;

з) $-\left(\frac{5}{8} - \frac{5}{12}\right) + \frac{1}{24}$.

а) $ -\frac{33}{80} + (\frac{3}{16} - \frac{39}{80}) $

Сначала выполним действие в скобках. Для этого приведем дроби к общему знаменателю 80.

$ \frac{3}{16} = \frac{3 \cdot 5}{16 \cdot 5} = \frac{15}{80} $

Теперь можем выполнить вычитание в скобках:

$ \frac{15}{80} - \frac{39}{80} = \frac{15 - 39}{80} = -\frac{24}{80} $

Подставим полученное значение обратно в исходное выражение:

$ -\frac{33}{80} + (-\frac{24}{80}) = -\frac{33}{80} - \frac{24}{80} = \frac{-33 - 24}{80} = -\frac{57}{80} $

Ответ: $ -\frac{57}{80} $

б) $ \frac{2}{45} + (-\frac{3}{45} + \frac{7}{9}) $

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые с одинаковыми знаменателями:

$ \frac{2}{45} - \frac{3}{45} + \frac{7}{9} = (\frac{2}{45} - \frac{3}{45}) + \frac{7}{9} = \frac{2-3}{45} + \frac{7}{9} = -\frac{1}{45} + \frac{7}{9} $

Приведем дроби к общему знаменателю 45:

$ \frac{7}{9} = \frac{7 \cdot 5}{9 \cdot 5} = \frac{35}{45} $

Выполним сложение:

$ -\frac{1}{45} + \frac{35}{45} = \frac{-1 + 35}{45} = \frac{34}{45} $

Ответ: $ \frac{34}{45} $

в) $ \frac{7}{15} - (\frac{4}{15} - \frac{1}{5}) $

Раскроем скобки, изменив знаки слагаемых внутри на противоположные:

$ \frac{7}{15} - \frac{4}{15} + \frac{1}{5} $

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми знаменателями:

$ (\frac{7}{15} - \frac{4}{15}) + \frac{1}{5} = \frac{7-4}{15} + \frac{1}{5} = \frac{3}{15} + \frac{1}{5} $

Сократим первую дробь: $ \frac{3}{15} = \frac{1}{5} $.

Теперь сложим дроби:

$ \frac{1}{5} + \frac{1}{5} = \frac{2}{5} $

Ответ: $ \frac{2}{5} $

г) $ -\frac{5}{16} - (\frac{1}{16} - \frac{7}{8}) $

Раскроем скобки, изменив знаки слагаемых внутри на противоположные:

$ -\frac{5}{16} - \frac{1}{16} + \frac{7}{8} $

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми знаменателями:

$ (-\frac{5}{16} - \frac{1}{16}) + \frac{7}{8} = \frac{-5-1}{16} + \frac{7}{8} = -\frac{6}{16} + \frac{7}{8} $

Сократим первую дробь: $ -\frac{6}{16} = -\frac{3}{8} $.

Теперь выполним сложение:

$ -\frac{3}{8} + \frac{7}{8} = \frac{-3+7}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} $

Ответ: $ \frac{1}{2} $

д) $ -\frac{1}{27} + (\frac{7}{9} - \frac{2}{3}) $

Раскроем скобки:

$ -\frac{1}{27} + \frac{7}{9} - \frac{2}{3} $

Приведем все дроби к общему знаменателю 27:

$ \frac{7}{9} = \frac{7 \cdot 3}{9 \cdot 3} = \frac{21}{27} $

$ \frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 9}{3 \cdot 9} = \frac{18}{27} $

Подставим полученные дроби в выражение:

$ -\frac{1}{27} + \frac{21}{27} - \frac{18}{27} = \frac{-1 + 21 - 18}{27} = \frac{20 - 18}{27} = \frac{2}{27} $

Ответ: $ \frac{2}{27} $

е) $ (-\frac{2}{15} - \frac{4}{5}) + \frac{3}{10} $

Так как скобки стоят в начале, их можно просто убрать:

$ -\frac{2}{15} - \frac{4}{5} + \frac{3}{10} $

Найдем общий знаменатель для 15, 5 и 10. Это 30.

$ -\frac{2}{15} = -\frac{2 \cdot 2}{15 \cdot 2} = -\frac{4}{30} $

$ -\frac{4}{5} = -\frac{4 \cdot 6}{5 \cdot 6} = -\frac{24}{30} $

$ \frac{3}{10} = \frac{3 \cdot 3}{10 \cdot 3} = \frac{9}{30} $

Выполним действия:

$ -\frac{4}{30} - \frac{24}{30} + \frac{9}{30} = \frac{-4 - 24 + 9}{30} = \frac{-28 + 9}{30} = -\frac{19}{30} $

Ответ: $ -\frac{19}{30} $

ж) $ (-\frac{2}{15} + \frac{4}{5}) - \frac{3}{10} $

Уберем скобки:

$ -\frac{2}{15} + \frac{4}{5} - \frac{3}{10} $

Найдем общий знаменатель для 15, 5 и 10. Это 30.

$ -\frac{2}{15} = -\frac{2 \cdot 2}{15 \cdot 2} = -\frac{4}{30} $

$ \frac{4}{5} = \frac{4 \cdot 6}{5 \cdot 6} = \frac{24}{30} $

$ -\frac{3}{10} = -\frac{3 \cdot 3}{10 \cdot 3} = -\frac{9}{30} $

Выполним действия:

$ -\frac{4}{30} + \frac{24}{30} - \frac{9}{30} = \frac{-4 + 24 - 9}{30} = \frac{20 - 9}{30} = \frac{11}{30} $

Ответ: $ \frac{11}{30} $

з) $ -(\frac{5}{8} - \frac{5}{12}) + \frac{1}{24} $

Раскроем скобки, изменив знаки слагаемых внутри на противоположные:

$ -\frac{5}{8} + \frac{5}{12} + \frac{1}{24} $

Приведем все дроби к общему знаменателю 24:

$ -\frac{5}{8} = -\frac{5 \cdot 3}{8 \cdot 3} = -\frac{15}{24} $

$ \frac{5}{12} = \frac{5 \cdot 2}{12 \cdot 2} = \frac{10}{24} $

Подставим полученные дроби в выражение:

$ -\frac{15}{24} + \frac{10}{24} + \frac{1}{24} = \frac{-15 + 10 + 1}{24} = \frac{-4}{24} $

Сократим полученную дробь:

$ -\frac{4}{24} = -\frac{1}{6} $

Ответ: $ -\frac{1}{6} $

4.120. a) $\frac{3}{8} - \frac{2}{7} + \frac{5}{8} - \frac{5}{7}$;

б) $\frac{11}{14} - \frac{7}{10} - \frac{21}{100} - \frac{13}{14}$;

в) $-\frac{12}{19} - \frac{15}{26} + \frac{3}{19} + \frac{9}{19}$;

г) $\frac{2}{7} - \frac{5}{9} - \frac{4}{9} - \frac{4}{7}$.

а) Чтобы решить пример $ \frac{3}{8} - \frac{2}{7} + \frac{5}{8} - \frac{5}{7} $, сгруппируем слагаемые с одинаковыми знаменателями, чтобы упростить вычисления:
$ (\frac{3}{8} + \frac{5}{8}) + (-\frac{2}{7} - \frac{5}{7}) $
Теперь выполним сложение и вычитание в каждой из групп:
$ \frac{3+5}{8} - (\frac{2}{7} + \frac{5}{7}) = \frac{8}{8} - \frac{2+5}{7} = \frac{8}{8} - \frac{7}{7} $
Так как любая дробь, у которой числитель равен знаменателю, равна единице, получаем:
$ 1 - 1 = 0 $
Ответ: 0

б) В выражении $ \frac{11}{14} - \frac{7}{10} - \frac{21}{100} - \frac{13}{14} $ также начнем с группировки слагаемых с одинаковыми знаменателями:
$ (\frac{11}{14} - \frac{13}{14}) - \frac{7}{10} - \frac{21}{100} $
Выполним вычитание в скобках:
$ \frac{11-13}{14} - \frac{7}{10} - \frac{21}{100} = -\frac{2}{14} - \frac{7}{10} - \frac{21}{100} $
Сократим первую дробь $ -\frac{2}{14} $ на 2:
$ -\frac{1}{7} - \frac{7}{10} - \frac{21}{100} $
Теперь необходимо привести оставшиеся дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное (НОК) для чисел 7, 10 и 100 равно 700. Приведем дроби к этому знаменателю:
$ -\frac{1 \cdot 100}{7 \cdot 100} - \frac{7 \cdot 70}{10 \cdot 70} - \frac{21 \cdot 7}{100 \cdot 7} = -\frac{100}{700} - \frac{490}{700} - \frac{147}{700} $
Сложим числители:
$ \frac{-100 - 490 - 147}{700} = \frac{-737}{700} $
Представим неправильную дробь в виде смешанного числа:
$ -1\frac{37}{700} $
Ответ: $ -1\frac{37}{700} $

в) В примере $ -\frac{12}{19} - \frac{15}{26} + \frac{3}{19} + \frac{9}{19} $ сгруппируем дроби со знаменателем 19:
$ (-\frac{12}{19} + \frac{3}{19} + \frac{9}{19}) - \frac{15}{26} $
Выполним действия в скобках:
$ \frac{-12 + 3 + 9}{19} - \frac{15}{26} = \frac{-12 + 12}{19} - \frac{15}{26} = \frac{0}{19} - \frac{15}{26} $
Так как $ \frac{0}{19} = 0 $, получаем:
$ 0 - \frac{15}{26} = -\frac{15}{26} $
Ответ: $ -\frac{15}{26} $

г) Для решения примера $ \frac{2}{7} - \frac{5}{9} - \frac{4}{9} - \frac{4}{7} $ сгруппируем слагаемые с одинаковыми знаменателями:
$ (\frac{2}{7} - \frac{4}{7}) + (-\frac{5}{9} - \frac{4}{9}) $
Выполним действия в каждой группе:
$ \frac{2-4}{7} - (\frac{5}{9} + \frac{4}{9}) = -\frac{2}{7} - \frac{5+4}{9} = -\frac{2}{7} - \frac{9}{9} $
Упростим вторую дробь:
$ -\frac{2}{7} - 1 $
Сложим числа, представив результат в виде смешанного числа:
$ -1\frac{2}{7} $
Ответ: $ -1\frac{2}{7} $