Страница 146 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

4.85. По каким правилам умножают и делят дроби любого знака?

Умножение и деление дробей любого знака (положительных и отрицательных) производится в два этапа: сначала определяется знак результата, а затем выполняется действие с модулями (абсолютными величинами) дробей.

Умножение дробей

Чтобы умножить две дроби любого знака, необходимо следовать правилу:
1. Определить знак произведения. Если знаки у дробей-сомножителей одинаковые (обе положительные или обе отрицательные), то произведение будет положительным (+). Если знаки разные, то произведение будет отрицательным (−).
2. Перемножить модули дробей. Для этого нужно перемножить их числители и перемножить их знаменатели. Первое произведение становится числителем результата, а второе — знаменателем.

В общем виде формула умножения дробей выглядит так: $ \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d} $. Знак результата определяется по вышеуказанному правилу.

Пример 1: Умножение двух отрицательных дробей. $ (-\frac{2}{5}) \cdot (-\frac{3}{7}) $.
Знаки у сомножителей одинаковые (минус и минус), поэтому результат будет положительным. Далее умножаем модули дробей: $ \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{7} = \frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 7} = \frac{6}{35} $. Итоговый ответ: $ \frac{6}{35} $.

Пример 2: Умножение дробей с разными знаками. $ \frac{1}{4} \cdot (-\frac{5}{9}) $.
Знаки у сомножителей разные (плюс и минус), поэтому результат будет отрицательным. Умножаем модули: $ \frac{1}{4} \cdot \frac{5}{9} = \frac{1 \cdot 5}{4 \cdot 9} = \frac{5}{36} $. Итоговый ответ: $ -\frac{5}{36} $.

Ответ: Чтобы умножить две дроби, нужно определить знак произведения (если знаки одинаковые — плюс, если разные — минус), а затем перемножить их модули: числитель на числитель, а знаменатель на знаменатель.

Деление дробей

Чтобы разделить одну дробь на другую, необходимо следовать правилу:
1. Определить знак частного. Правило аналогично умножению: если знаки у делимого и делителя одинаковые, частное будет положительным (+). Если знаки разные, частное будет отрицательным (−).
2. Разделить модули дробей. Для этого нужно первую дробь (делимое) умножить на дробь, обратную второй (делитель). Чтобы получить обратную дробь, нужно поменять местами её числитель и знаменатель.

В общем виде формула деления дробей: $ \frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c} $. Знак результата определяется по правилу знаков.

Пример 1: Деление двух отрицательных дробей. $ (-\frac{3}{8}) : (-\frac{5}{7}) $.
Знаки одинаковые, значит, результат будет положительным. Деление модулей заменяем на умножение на обратную дробь: $ \frac{3}{8} : \frac{5}{7} = \frac{3}{8} \cdot \frac{7}{5} = \frac{3 \cdot 7}{8 \cdot 5} = \frac{21}{40} $. Итоговый ответ: $ \frac{21}{40} $.

Пример 2: Деление дробей с разными знаками. $ (-\frac{2}{9}) : \frac{4}{5} $.
Знаки разные, результат будет отрицательным. Выполняем действие с модулями: $ \frac{2}{9} : \frac{4}{5} = \frac{2}{9} \cdot \frac{5}{4} = \frac{2 \cdot 5}{9 \cdot 4} = \frac{10}{36} = \frac{5}{18} $. Итоговый ответ: $ -\frac{5}{18} $.

Ответ: Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно определить знак частного (если знаки одинаковые — плюс, если разные — минус), а затем первую дробь умножить на дробь, обратную второй.

4.86. Как умножить дробь на целое число?

Чтобы умножить обыкновенную дробь на целое число, необходимо числитель этой дроби умножить на данное число, а знаменатель оставить без изменения.

Это правило можно выразить общей формулой. Пусть нам нужно умножить дробь $\frac{a}{b}$ на целое число $c$:

$\frac{a}{b} \cdot c = \frac{a \cdot c}{b}$

Такое правило получается потому, что любое целое число $c$ можно представить в виде дроби со знаменателем 1, то есть $c = \frac{c}{1}$. Тогда умножение сводится к умножению двух дробей:

$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{1} = \frac{a \cdot c}{b \cdot 1} = \frac{a \cdot c}{b}$

Рассмотрим применение этого правила на конкретных примерах.

Пример 1. Вычислить произведение $\frac{2}{7} \cdot 3$.

Решение:

Умножаем числитель дроби, равный 2, на целое число 3. Знаменатель 7 оставляем без изменений.

$\frac{2}{7} \cdot 3 = \frac{2 \cdot 3}{7} = \frac{6}{7}$

Дробь $\frac{6}{7}$ является правильной и несократимой.

Ответ: $\frac{6}{7}$

Пример 2. Найти значение выражения $\frac{7}{16} \cdot 8$.

Решение:

Умножим числитель 7 на число 8, а знаменатель 16 оставим тем же.

$\frac{7}{16} \cdot 8 = \frac{7 \cdot 8}{16} = \frac{56}{16}$

Полученную дробь можно сократить. Наибольший общий делитель для 56 и 16 — это 8. Разделим числитель и знаменатель на 8:

$\frac{56 \div 8}{16 \div 8} = \frac{7}{2}$

Для удобства можно выполнить сокращение еще до умножения в числителе. Так как целое число 8 и знаменатель 16 делятся на 8, можно сократить их:

$\frac{7 \cdot 8}{16} = \frac{7 \cdot \cancel{8}^1}{\cancel{16}^2} = \frac{7 \cdot 1}{2} = \frac{7}{2}$

Результат $\frac{7}{2}$ — это неправильная дробь. Преобразуем ее в смешанное число:

$\frac{7}{2} = 3\frac{1}{2}$

Ответ: $3\frac{1}{2}$

? 4.87. Как разделить дробь на целое число, не равное нулю?

Чтобы разделить дробь на целое число, не равное нулю, существует простое правило, которое можно применять в двух вариантах в зависимости от ситуации.

Основное правило

Чтобы разделить дробь на целое число, нужно знаменатель дроби умножить на это число, а числитель оставить без изменений.

Это правило вытекает из общего правила деления на дробь. Любое целое число $c$ можно представить в виде дроби $ \frac{c}{1} $. Деление на число равносильно умножению на обратное ему число:

$ \frac{a}{b} \div c = \frac{a}{b} \div \frac{c}{1} = \frac{a}{b} \times \frac{1}{c} = \frac{a}{b \cdot c} $

Пример:

$ \frac{5}{7} \div 3 = \frac{5}{7 \cdot 3} = \frac{5}{21} $

Частный случай (для удобства вычислений)

Если числитель дроби делится нацело на данное целое число, то можно просто разделить числитель на это число, а знаменатель оставить прежним. Этот метод дает тот же результат, что и основной, но может упростить расчеты.

Пример:

Разделим дробь $ \frac{12}{17} $ на $4$. Так как числитель $12$ делится на $4$, мы можем применить этот способ:

$ \frac{12}{17} \div 4 = \frac{12 \div 4}{17} = \frac{3}{17} $

Если бы мы использовали основное правило, результат был бы таким же:

$ \frac{12}{17} \div 4 = \frac{12}{17 \cdot 4} = \frac{12}{68} $. После сокращения дроби на $4$ получаем $ \frac{12 \div 4}{68 \div 4} = \frac{3}{17} $.

Ответ: Чтобы разделить дробь на целое число, не равное нулю, нужно знаменатель этой дроби умножить на это целое число, а числитель оставить без изменений.

4.88. Какие числа называют взаимно обратными?

Взаимно обратными называют два числа, произведение которых равно 1.

Это означает, что если у нас есть два числа, $a$ и $b$, и их произведение $a \cdot b = 1$, то эти числа являются взаимно обратными. При этом ни одно из этих чисел не может быть равно нулю.

Чтобы найти число, обратное данному числу $a$ (где $a \ne 0$), нужно 1 разделить на это число. Таким образом, для числа $a$ обратным будет число $\frac{1}{a}$.

Примеры:

• Для обыкновенной дроби $\frac{m}{n}$ обратной будет дробь $\frac{n}{m}$.
  Например, числа $\frac{3}{7}$ и $\frac{7}{3}$ взаимно обратные, так как их произведение равно 1:
  $\frac{3}{7} \cdot \frac{7}{3} = \frac{3 \cdot 7}{7 \cdot 3} = \frac{21}{21} = 1$.
• Для целого числа $n$ (кроме 0) обратным будет число $\frac{1}{n}$.
  Например, для числа 5 обратным является число $\frac{1}{5}$, так как $5 \cdot \frac{1}{5} = 1$.
• Для десятичной дроби, чтобы найти обратное число, удобно сначала представить ее в виде обыкновенной дроби.
  Например, для числа $0.25$. Представим его в виде дроби: $0.25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$.
  Обратным числом для $\frac{1}{4}$ будет $\frac{4}{1}$, то есть 4.
  Проверка: $0.25 \cdot 4 = 1$.

Важные моменты:

• Число 0 не имеет обратного, так как деление на ноль невозможно.
• Число 1 является обратным самому себе, так как $1 \cdot 1 = 1$.
• Число -1 также является обратным самому себе, так как $(-1) \cdot (-1) = 1$.

Ответ: Два числа называются взаимно обратными, если их произведение равно 1.