Страница 139 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

4.47. a) $\frac{37}{452}$ и $\frac{207}{388}$;

б) $\frac{456}{729}$ и $\frac{895}{891}$;

B) $\frac{999}{1000}$ и $\frac{1000}{1001}$.

а) Чтобы сравнить дроби $\frac{37}{452}$ и $\frac{207}{388}$, можно применить правило перекрестного умножения. Для этого сравним произведения числителя первой дроби на знаменатель второй и числителя второй дроби на знаменатель первой.
Вычислим первое произведение: $37 \times 388 = 14356$.
Вычислим второе произведение: $207 \times 452 = 93564$.
Сравним полученные результаты: $14356 < 93564$.
Поскольку произведение $37 \times 388$ меньше, чем $207 \times 452$, то и первая дробь меньше второй.
Ответ: $\frac{37}{452} < \frac{207}{388}$.

б) Сравним дроби $\frac{456}{729}$ и $\frac{895}{891}$, сопоставив каждую из них с единицей.
Первая дробь $\frac{456}{729}$ является правильной, так как ее числитель 456 меньше знаменателя 729. Следовательно, $\frac{456}{729} < 1$.
Вторая дробь $\frac{895}{891}$ является неправильной, так как ее числитель 895 больше знаменателя 891. Следовательно, $\frac{895}{891} > 1$.
Так как первая дробь меньше 1, а вторая больше 1, то первая дробь меньше второй.
Ответ: $\frac{456}{729} < \frac{895}{891}$.

в) Чтобы сравнить дроби $\frac{999}{1000}$ и $\frac{1000}{1001}$, найдем, на сколько каждая из них меньше единицы.
Для первой дроби: $1 - \frac{999}{1000} = \frac{1000}{1000} - \frac{999}{1000} = \frac{1}{1000}$.
Для второй дроби: $1 - \frac{1000}{1001} = \frac{1001}{1001} - \frac{1000}{1001} = \frac{1}{1001}$.
Теперь сравним полученные разности: $\frac{1}{1000}$ и $\frac{1}{1001}$. Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше.
Поскольку $1000 < 1001$, то $\frac{1}{1000} > \frac{1}{1001}$.
Это означает, что от единицы до дроби $\frac{999}{1000}$ расстояние больше, чем до дроби $\frac{1000}{1001}$. Следовательно, первая дробь меньше второй.
Ответ: $\frac{999}{1000} < \frac{1000}{1001}$.

4.48. а) $\frac{6}{7}$ и $\frac{8}{7}$;

б) $1$ и $\frac{7}{8}$;

в) $1$ и $\frac{9}{8}$;

г) $\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{3}$.

а) Чтобы сравнить дроби $\frac{6}{7}$ и $\frac{8}{7}$, нужно обратить внимание на их знаменатели и числители. У этих дробей одинаковые знаменатели (равны 7). Если у двух дробей одинаковые знаменатели, то больше та дробь, у которой больше числитель. Сравниваем числители: $6$ и $8$. Так как $6 < 8$, то и дробь $\frac{6}{7}$ будет меньше дроби $\frac{8}{7}$.

Ответ: $\frac{6}{7} < \frac{8}{7}$.

б) Чтобы сравнить $1$ и $\frac{7}{8}$, можно представить единицу в виде дроби со знаменателем 8. Единица — это дробь, у которой числитель равен знаменателю, то есть $1 = \frac{8}{8}$. Теперь сравним дроби $\frac{8}{8}$ и $\frac{7}{8}$. У них одинаковые знаменатели, поэтому сравниваем числители: $8 > 7$. Следовательно, $\frac{8}{8} > \frac{7}{8}$, а значит $1 > \frac{7}{8}$. Другой способ: дробь $\frac{7}{8}$ является правильной (числитель меньше знаменателя), а любая правильная дробь всегда меньше 1.

Ответ: $1 > \frac{7}{8}$.

в) Чтобы сравнить $1$ и $\frac{9}{8}$, представим единицу в виде дроби со знаменателем 8: $1 = \frac{8}{8}$. Теперь сравним дроби $\frac{8}{8}$ и $\frac{9}{8}$. У них одинаковые знаменатели, поэтому сравниваем числители: $8 < 9$. Следовательно, $\frac{8}{8} < \frac{9}{8}$, а значит $1 < \frac{9}{8}$. Другой способ: дробь $\frac{9}{8}$ является неправильной (числитель больше знаменателя), а любая неправильная дробь (кроме случая, когда числитель равен знаменателю) всегда больше 1.

Ответ: $1 < \frac{9}{8}$.

г) Чтобы сравнить дроби $\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{3}$, у которых разные знаменатели, нужно привести их к общему знаменателю. Наименьшим общим знаменателем для чисел 2 и 3 является их произведение: $2 \cdot 3 = 6$.
Приведем каждую дробь к знаменателю 6:
Для дроби $\frac{1}{2}$ дополнительный множитель равен $6 \div 2 = 3$. Получаем: $\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{3}{6}$.
Для дроби $\frac{1}{3}$ дополнительный множитель равен $6 \div 3 = 2$. Получаем: $\frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{2}{6}$.
Теперь сравним полученные дроби $\frac{3}{6}$ и $\frac{2}{6}$. Так как у них одинаковые знаменатели, сравниваем числители: $3 > 2$. Следовательно, $\frac{3}{6} > \frac{2}{6}$, а значит $\frac{1}{2} > \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{2} > \frac{1}{3}$.

4.49. а) -1 и -2;

б) -12 и -7;

в) $-\frac{1}{2}$ и 0;

г) 0 и $-\frac{3}{4}$.

Для составления квадратного уравнения по его корням $x_1$ и $x_2$ используется теорема, обратная теореме Виета. Согласно этой теореме, приведенное квадратное уравнение ($ax^2 + bx + c = 0$, где $a=1$) можно записать в виде:

$x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1 \cdot x_2 = 0$

где $(x_1 + x_2)$ — это сумма корней, а $x_1 \cdot x_2$ — их произведение.

а) -1 и -2

Даны корни $x_1 = -1$ и $x_2 = -2$.

1. Найдем сумму корней:

$x_1 + x_2 = -1 + (-2) = -3$.

2. Найдем произведение корней:

$x_1 \cdot x_2 = (-1) \cdot (-2) = 2$.

3. Подставим найденные значения в формулу:

$x^2 - (-3)x + 2 = 0$

$x^2 + 3x + 2 = 0$

Ответ: $x^2 + 3x + 2 = 0$.

б) -12 и -7

Даны корни $x_1 = -12$ и $x_2 = -7$.

1. Найдем сумму корней:

$x_1 + x_2 = -12 + (-7) = -19$.

2. Найдем произведение корней:

$x_1 \cdot x_2 = (-12) \cdot (-7) = 84$.

3. Подставим найденные значения в формулу:

$x^2 - (-19)x + 84 = 0$

$x^2 + 19x + 84 = 0$

Ответ: $x^2 + 19x + 84 = 0$.

в) $-\frac{1}{2}$ и 0

Даны корни $x_1 = -\frac{1}{2}$ и $x_2 = 0$.

1. Найдем сумму корней:

$x_1 + x_2 = -\frac{1}{2} + 0 = -\frac{1}{2}$.

2. Найдем произведение корней:

$x_1 \cdot x_2 = -\frac{1}{2} \cdot 0 = 0$.

3. Подставим найденные значения в формулу:

$x^2 - (-\frac{1}{2})x + 0 = 0$

$x^2 + \frac{1}{2}x = 0$

4. Чтобы избавиться от дробного коэффициента, умножим обе части уравнения на 2:

$2(x^2 + \frac{1}{2}x) = 2 \cdot 0$

$2x^2 + x = 0$

Ответ: $2x^2 + x = 0$.

г) 0 и $-\frac{3}{4}$

Даны корни $x_1 = 0$ и $x_2 = -\frac{3}{4}$.

1. Найдем сумму корней:

$x_1 + x_2 = 0 + (-\frac{3}{4}) = -\frac{3}{4}$.

2. Найдем произведение корней:

$x_1 \cdot x_2 = 0 \cdot (-\frac{3}{4}) = 0$.

3. Подставим найденные значения в формулу:

$x^2 - (-\frac{3}{4})x + 0 = 0$

$x^2 + \frac{3}{4}x = 0$

4. Чтобы избавиться от дробного коэффициента, умножим обе части уравнения на 4:

$4(x^2 + \frac{3}{4}x) = 4 \cdot 0$

$4x^2 + 3x = 0$

Ответ: $4x^2 + 3x = 0$.

4.50. а) $- \frac{1}{2}$ и $\frac{1}{2}$;

б) $- \frac{4}{5}$ и $- \frac{3}{5}$;

в) $- \frac{1}{7}$ и $\frac{-3}{7}$;

г) $\frac{-3}{8}$ и $\frac{5}{-8}$.

а) Требуется сравнить два числа: $-\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{2}$. Число $-\frac{1}{2}$ является отрицательным, а число $\frac{1}{2}$ — положительным. Любое положительное число всегда больше любого отрицательного числа. Следовательно, $-\frac{1}{2} < \frac{1}{2}$.
Ответ: $-\frac{1}{2} < \frac{1}{2}$.

б) Требуется сравнить два числа: $-\frac{4}{5}$ и $-\frac{3}{5}$. Оба числа являются отрицательными. Чтобы сравнить два отрицательных числа, нужно сравнить их модули: меньшим будет то число, модуль которого больше. Найдем модули: $|-\frac{4}{5}| = \frac{4}{5}$ и $|-\frac{3}{5}| = \frac{3}{5}$. Так как у дробей одинаковые знаменатели, сравним их числители: $4 > 3$, следовательно $\frac{4}{5} > \frac{3}{5}$. Поскольку модуль первого числа больше модуля второго, то первое число меньше второго: $-\frac{4}{5} < -\frac{3}{5}$.
Ответ: $-\frac{4}{5} < -\frac{3}{5}$.

в) Требуется сравнить два числа: $-\frac{1}{7}$ и $\frac{-3}{7}$. Запишем второе число в стандартном виде: $\frac{-3}{7} = -\frac{3}{7}$. Теперь сравним два отрицательных числа: $-\frac{1}{7}$ и $-\frac{3}{7}$. Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше. Найдем модули: $|-\frac{1}{7}| = \frac{1}{7}$ и $|-\frac{3}{7}| = \frac{3}{7}$. Сравним модули, у которых одинаковые знаменатели: так как $1 < 3$, то $\frac{1}{7} < \frac{3}{7}$. Поскольку модуль первого числа меньше модуля второго, то первое число больше второго: $-\frac{1}{7} > -\frac{3}{7}$.
Ответ: $-\frac{1}{7} > -\frac{3}{7}$.

г) Требуется сравнить два числа: $\frac{-3}{8}$ и $\frac{5}{-8}$. Приведем обе дроби к стандартному виду с положительным знаменателем: $\frac{-3}{8} = -\frac{3}{8}$ и $\frac{5}{-8} = -\frac{5}{8}$. Теперь сравним два отрицательных числа: $-\frac{3}{8}$ и $-\frac{5}{8}$. Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше. Найдем модули: $|-\frac{3}{8}| = \frac{3}{8}$ и $|-\frac{5}{8}| = \frac{5}{8}$. Сравним модули: так как $3 < 5$, то $\frac{3}{8} < \frac{5}{8}$. Поскольку модуль первого числа меньше модуля второго, то первое число больше второго: $-\frac{3}{8} > -\frac{5}{8}$.
Ответ: $-\frac{3}{8} > -\frac{5}{8}$.

4.51. Запишите в порядке возрастания числа:

$-\frac{1}{8}$, $-\frac{5}{8}$, $-\frac{6}{8}$, $-\frac{2}{8}$, $-\frac{9}{8}$, $-1$, $-\frac{3}{8}$, $-\frac{4}{8}$.

Для того, чтобы записать данные числа в порядке возрастания (от наименьшего к наибольшему), необходимо их сравнить между собой. Все числа в задании отрицательные.

Сначала приведем все числа к общему знаменателю. Большинство чисел уже являются дробями со знаменателем 8. Число -1 представим в виде дроби со знаменателем 8:

$-1 = -\frac{8}{8}$

Теперь у нас есть следующий набор чисел для сравнения:

$-\frac{1}{8}, -\frac{5}{8}, -\frac{6}{8}, -\frac{2}{8}, -\frac{9}{8}, -\frac{8}{8}, -\frac{3}{8}, -\frac{4}{8}$

Из двух отрицательных чисел меньше то, модуль которого больше. Поскольку все знаменатели одинаковы, нам нужно сравнить числители. Чем больше числитель (по модулю), тем меньше само отрицательное число.

Расположим числители в порядке убывания:

$9 > 8 > 6 > 5 > 4 > 3 > 2 > 1$

Это означает, что соответствующие отрицательные дроби будут расположены в обратном (возрастающем) порядке:

$-\frac{9}{8} < -\frac{8}{8} < -\frac{6}{8} < -\frac{5}{8} < -\frac{4}{8} < -\frac{3}{8} < -\frac{2}{8} < -\frac{1}{8}$

Теперь заменим дробь $-\frac{8}{8}$ на исходное число -1, чтобы получить окончательный ответ.

Ответ: $-\frac{9}{8}, -1, -\frac{6}{8}, -\frac{5}{8}, -\frac{4}{8}, -\frac{3}{8}, -\frac{2}{8}, -\frac{1}{8}.$

4.52. Запишите в порядке убывания числа: $- \frac{7}{4}$, $- \frac{1}{4}$, $- \frac{15}{4}$, $- \frac{3}{4}$, $-2$.

Для того чтобы записать числа в порядке убывания (от наибольшего к наименьшему), их нужно сравнить. Удобнее всего это сделать, приведя все числа к единому формату, например, к обыкновенной дроби с одинаковым знаменателем.

В задании даны числа: $ - \frac{7}{4} $, $ - \frac{1}{4} $, $ - \frac{15}{4} $, $ - \frac{3}{4} $ и $ -2 $.

Все дроби уже имеют знаменатель 4. Представим целое число -2 в виде дроби со знаменателем 4:

$ -2 = - \frac{2 \cdot 4}{4} = - \frac{8}{4} $

Теперь мы имеем следующий набор чисел для сравнения:

$ - \frac{7}{4} $, $ - \frac{1}{4} $, $ - \frac{15}{4} $, $ - \frac{3}{4} $, $ - \frac{8}{4} $.

При сравнении отрицательных чисел большим является то, чей модуль (абсолютная величина) меньше. Поскольку все знаменатели одинаковы, мы можем сравнивать числители этих дробей. Расположим числители в порядке убывания:

$ -1 > -3 > -7 > -8 > -15 $

Соответственно, дроби в порядке убывания будут располагаться так:

$ - \frac{1}{4} > - \frac{3}{4} > - \frac{7}{4} > - \frac{8}{4} > - \frac{15}{4} $

Теперь заменим дробь $ - \frac{8}{4} $ на ее исходное значение $ -2 $.

Полученная последовательность чисел в порядке убывания:

$ - \frac{1}{4} $, $ - \frac{3}{4} $, $ - \frac{7}{4} $, $ -2 $, $ - \frac{15}{4} $.

Ответ: $ - \frac{1}{4}, -\frac{3}{4}, -\frac{7}{4}, -2, -\frac{15}{4} $.

4.53. Найдите дробь, которая больше одной из данных дробей, но меньше другой:

а) $-\frac{1}{5}$ и $-\frac{4}{5}$;

б) $-\frac{9}{10}$ и $-\frac{3}{10}$;

в) $-\frac{12}{13}$ и $\frac{4}{-13}$;

г) $-\frac{8}{11}$ и $-\frac{5}{11}$;

д) $-\frac{1}{8}$ и $-\frac{7}{8}$;

е) $-\frac{3}{7}$ и $-\frac{5}{7}$.

а)

Сравним дроби $ - \frac{1}{5} $ и $ - \frac{4}{5} $. Поскольку знаменатели равны, а числитель $ -4 $ меньше числителя $ -1 $, то $ - \frac{4}{5} < - \frac{1}{5} $.
Искомая дробь $x$ должна удовлетворять неравенству $ - \frac{4}{5} < x < - \frac{1}{5} $.
Найдем дробь с тем же знаменателем $5$. Ее числитель должен быть целым числом между $ -4 $ и $ -1 $, например, $ -3 $ или $ -2 $.
Выберем дробь $ - \frac{2}{5} $. Она удовлетворяет условию, так как $ - \frac{4}{5} < - \frac{2}{5} < - \frac{1}{5} $.
Ответ: $ - \frac{2}{5} $.

б)

Сравним дроби $ - \frac{9}{10} $ и $ - \frac{3}{10} $. Поскольку знаменатели равны, а числитель $ -9 $ меньше числителя $ -3 $, то $ - \frac{9}{10} < - \frac{3}{10} $.
Искомая дробь $x$ должна удовлетворять неравенству $ - \frac{9}{10} < x < - \frac{3}{10} $.
Найдем дробь с тем же знаменателем $10$. Ее числитель должен быть целым числом между $ -9 $ и $ -3 $, например, $ -8, -7, -6, -5, -4 $.
Выберем дробь $ - \frac{7}{10} $. Она удовлетворяет условию, так как $ - \frac{9}{10} < - \frac{7}{10} < - \frac{3}{10} $.
Ответ: $ - \frac{7}{10} $.

в)

Приведем дроби $ \frac{-12}{13} $ и $ \frac{4}{-13} $ к стандартному виду: $ - \frac{12}{13} $ и $ - \frac{4}{13} $.
Сравним их. Поскольку знаменатели равны, а числитель $ -12 $ меньше числителя $ -4 $, то $ - \frac{12}{13} < - \frac{4}{13} $.
Искомая дробь $x$ должна удовлетворять неравенству $ - \frac{12}{13} < x < - \frac{4}{13} $.
Найдем дробь с тем же знаменателем $13$. Ее числитель должен быть целым числом между $ -12 $ и $ -4 $, например, $ -11, -10, ..., -5 $.
Выберем дробь $ - \frac{10}{13} $. Она удовлетворяет условию, так как $ - \frac{12}{13} < - \frac{10}{13} < - \frac{4}{13} $.
Ответ: $ - \frac{10}{13} $.

г)

Сравним дроби $ - \frac{8}{11} $ и $ - \frac{5}{11} $. Поскольку знаменатели равны, а числитель $ -8 $ меньше числителя $ -5 $, то $ - \frac{8}{11} < - \frac{5}{11} $.
Искомая дробь $x$ должна удовлетворять неравенству $ - \frac{8}{11} < x < - \frac{5}{11} $.
Найдем дробь с тем же знаменателем $11$. Ее числитель должен быть целым числом между $ -8 $ и $ -5 $, то есть $ -7 $ или $ -6 $.
Выберем дробь $ - \frac{6}{11} $. Она удовлетворяет условию, так как $ - \frac{8}{11} < - \frac{6}{11} < - \frac{5}{11} $.
Ответ: $ - \frac{6}{11} $.

д)

Сравним дроби $ - \frac{1}{8} $ и $ - \frac{7}{8} $. Поскольку знаменатели равны, а числитель $ -7 $ меньше числителя $ -1 $, то $ - \frac{7}{8} < - \frac{1}{8} $.
Искомая дробь $x$ должна удовлетворять неравенству $ - \frac{7}{8} < x < - \frac{1}{8} $.
Найдем дробь с тем же знаменателем $8$. Ее числитель должен быть целым числом между $ -7 $ и $ -1 $, например, $ -6, -5, -4, -3, -2 $.
Выберем дробь $ - \frac{5}{8} $. Она удовлетворяет условию, так как $ - \frac{7}{8} < - \frac{5}{8} < - \frac{1}{8} $.
Ответ: $ - \frac{5}{8} $.

е)

Сравним дроби $ - \frac{3}{7} $ и $ - \frac{5}{7} $. Поскольку знаменатели равны, а числитель $ -5 $ меньше числителя $ -3 $, то $ - \frac{5}{7} < - \frac{3}{7} $.
Искомая дробь $x$ должна удовлетворять неравенству $ - \frac{5}{7} < x < - \frac{3}{7} $.
Найдем дробь с тем же знаменателем $7$. Ее числитель должен быть целым числом между $ -5 $ и $ -3 $. Единственное такое число — это $ -4 $.
Следовательно, искомая дробь $ - \frac{4}{7} $. Она удовлетворяет условию, так как $ - \frac{5}{7} < - \frac{4}{7} < - \frac{3}{7} $.
Ответ: $ - \frac{4}{7} $.

4.54. Сравните числа:

а) $-\frac{1}{2}$ и $-\frac{1}{3}$;

б) $-\frac{1}{5}$ и $-\frac{1}{2}$;

в) $-\frac{1}{6}$ и $-\frac{4}{11}$;

г) $-\frac{1}{2}$ и $-\frac{3}{4}$;

д) $-\frac{3}{5}$ и $-\frac{7}{10}$;

е) $-\frac{5}{9}$ и $-\frac{2}{3}$;

ж) $-\frac{11}{24}$ и $-\frac{1}{2}$;

з) $-\frac{5}{28}$ и $-\frac{1}{7}$;

и) $-\frac{25}{32}$ и $-\frac{5}{8}$;

к) $-\frac{9}{10}$ и $-\frac{14}{15}$;

л) $-\frac{1}{4}$ и $-\frac{7}{8}$;

м) $-\frac{13}{24}$ и $-\frac{17}{36}$.

а) Чтобы сравнить отрицательные числа $-\frac{1}{2}$ и $-\frac{1}{3}$, нужно сравнить их модули (положительные значения) $\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{3}$. Для этого приведем дроби к общему знаменателю 6.
$\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{3}{6}$
$\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{2}{6}$
Сравниваем полученные дроби: так как $3 > 2$, то $\frac{3}{6} > \frac{2}{6}$, а значит $\frac{1}{2} > \frac{1}{3}$.Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше. Следовательно, $-\frac{1}{2} < -\frac{1}{3}$.
Ответ: $ -\frac{1}{2} < -\frac{1}{3} $

б) Чтобы сравнить $-\frac{1}{5}$ и $-\frac{1}{2}$, сравним их модули $\frac{1}{5}$ и $\frac{1}{2}$. Приведем дроби к общему знаменателю 10.
$\frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{2}{10}$
$\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 5} = \frac{5}{10}$
Так как $2 < 5$, то $\frac{2}{10} < \frac{5}{10}$, а значит $\frac{1}{5} < \frac{1}{2}$.Для отрицательных чисел знак неравенства меняется на противоположный, поэтому $-\frac{1}{5} > -\frac{1}{2}$.
Ответ: $ -\frac{1}{5} > -\frac{1}{2} $

в) Сравним $-\frac{1}{6}$ и $-\frac{4}{11}$. Сначала сравним их модули $\frac{1}{6}$ и $\frac{4}{11}$. Общий знаменатель - 66.
$\frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 11}{6 \cdot 11} = \frac{11}{66}$
$\frac{4}{11} = \frac{4 \cdot 6}{11 \cdot 6} = \frac{24}{66}$
Так как $11 < 24$, то $\frac{11}{66} < \frac{24}{66}$, следовательно $\frac{1}{6} < \frac{4}{11}$.Поскольку больше то отрицательное число, модуль которого меньше, то $-\frac{1}{6} > -\frac{4}{11}$.
Ответ: $ -\frac{1}{6} > -\frac{4}{11} $

г) Сравним $-\frac{1}{2}$ и $-\frac{3}{4}$. Сравним их модули $\frac{1}{2}$ и $\frac{3}{4}$. Общий знаменатель - 4.
$\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4}$
Так как $2 < 3$, то $\frac{2}{4} < \frac{3}{4}$, следовательно $\frac{1}{2} < \frac{3}{4}$.Значит, $-\frac{1}{2} > -\frac{3}{4}$.
Ответ: $ -\frac{1}{2} > -\frac{3}{4} $

д) Сравним $-\frac{3}{5}$ и $-\frac{7}{10}$. Сравним их модули $\frac{3}{5}$ и $\frac{7}{10}$. Общий знаменатель - 10.
$\frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{6}{10}$
Так как $6 < 7$, то $\frac{6}{10} < \frac{7}{10}$, следовательно $\frac{3}{5} < \frac{7}{10}$.Значит, $-\frac{3}{5} > -\frac{7}{10}$.
Ответ: $ -\frac{3}{5} > -\frac{7}{10} $

е) Сравним $-\frac{5}{9}$ и $-\frac{2}{3}$. Сравним их модули $\frac{5}{9}$ и $\frac{2}{3}$. Общий знаменатель - 9.
$\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3} = \frac{6}{9}$
Так как $5 < 6$, то $\frac{5}{9} < \frac{6}{9}$, следовательно $\frac{5}{9} < \frac{2}{3}$.Значит, $-\frac{5}{9} > -\frac{2}{3}$.
Ответ: $ -\frac{5}{9} > -\frac{2}{3} $

ж) Сравним $-\frac{11}{24}$ и $-\frac{1}{2}$. Сравним их модули $\frac{11}{24}$ и $\frac{1}{2}$. Общий знаменатель - 24.
$\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 12}{2 \cdot 12} = \frac{12}{24}$
Так как $11 < 12$, то $\frac{11}{24} < \frac{12}{24}$, следовательно $\frac{11}{24} < \frac{1}{2}$.Значит, $-\frac{11}{24} > -\frac{1}{2}$.
Ответ: $ -\frac{11}{24} > -\frac{1}{2} $

з) Сравним $-\frac{5}{28}$ и $-\frac{1}{7}$. Сравним их модули $\frac{5}{28}$ и $\frac{1}{7}$. Общий знаменатель - 28.
$\frac{1}{7} = \frac{1 \cdot 4}{7 \cdot 4} = \frac{4}{28}$
Так как $5 > 4$, то $\frac{5}{28} > \frac{4}{28}$, следовательно $\frac{5}{28} > \frac{1}{7}$.Значит, $-\frac{5}{28} < -\frac{1}{7}$.
Ответ: $ -\frac{5}{28} < -\frac{1}{7} $

и) Сравним $-\frac{25}{32}$ и $-\frac{5}{8}$. Сравним их модули $\frac{25}{32}$ и $\frac{5}{8}$. Общий знаменатель - 32.
$\frac{5}{8} = \frac{5 \cdot 4}{8 \cdot 4} = \frac{20}{32}$
Так как $25 > 20$, то $\frac{25}{32} > \frac{20}{32}$, следовательно $\frac{25}{32} > \frac{5}{8}$.Значит, $-\frac{25}{32} < -\frac{5}{8}$.
Ответ: $ -\frac{25}{32} < -\frac{5}{8} $

к) Сравним $-\frac{9}{10}$ и $-\frac{14}{15}$. Сравним их модули $\frac{9}{10}$ и $\frac{14}{15}$. Наименьший общий знаменатель - 30.
$\frac{9}{10} = \frac{9 \cdot 3}{10 \cdot 3} = \frac{27}{30}$
$\frac{14}{15} = \frac{14 \cdot 2}{15 \cdot 2} = \frac{28}{30}$
Так как $27 < 28$, то $\frac{27}{30} < \frac{28}{30}$, следовательно $\frac{9}{10} < \frac{14}{15}$.Значит, $-\frac{9}{10} > -\frac{14}{15}$.
Ответ: $ -\frac{9}{10} > -\frac{14}{15} $

л) Сравним $-\frac{1}{4}$ и $-\frac{7}{8}$. Сравним их модули $\frac{1}{4}$ и $\frac{7}{8}$. Общий знаменатель - 8.
$\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 2}{4 \cdot 2} = \frac{2}{8}$
Так как $2 < 7$, то $\frac{2}{8} < \frac{7}{8}$, следовательно $\frac{1}{4} < \frac{7}{8}$.Значит, $-\frac{1}{4} > -\frac{7}{8}$.
Ответ: $ -\frac{1}{4} > -\frac{7}{8} $

м) Сравним $-\frac{13}{24}$ и $-\frac{17}{36}$. Сравним их модули $\frac{13}{24}$ и $\frac{17}{36}$. Наименьший общий знаменатель - 72.
$\frac{13}{24} = \frac{13 \cdot 3}{24 \cdot 3} = \frac{39}{72}$
$\frac{17}{36} = \frac{17 \cdot 2}{36 \cdot 2} = \frac{34}{72}$
Так как $39 > 34$, то $\frac{39}{72} > \frac{34}{72}$, следовательно $\frac{13}{24} > \frac{17}{36}$.Значит, $-\frac{13}{24} < -\frac{17}{36}$.
Ответ: $ -\frac{13}{24} < -\frac{17}{36} $

4.55. Запишите дроби $-\frac{1}{2}$, $-\frac{2}{3}$, $-\frac{3}{4}$ в порядке возрастания.

Для того чтобы записать дроби $ -\frac{1}{2}, -\frac{2}{3} $ и $ -\frac{3}{4} $ в порядке возрастания, их необходимо сравнить. Для сравнения дробей с разными знаменателями приведем их к общему знаменателю.

Найдем наименьший общий знаменатель, который равен наименьшему общему кратному (НОК) знаменателей 2, 3 и 4. НОК(2, 3, 4) = 12.

Приведем каждую дробь к знаменателю 12, умножив числитель и знаменатель на соответствующий дополнительный множитель:
$ -\frac{1}{2} = -\frac{1 \cdot 6}{2 \cdot 6} = -\frac{6}{12} $
$ -\frac{2}{3} = -\frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} = -\frac{8}{12} $
$ -\frac{3}{4} = -\frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = -\frac{9}{12} $

Теперь сравним полученные дроби: $ -\frac{6}{12}, -\frac{8}{12} $ и $ -\frac{9}{12} $. Так как дроби отрицательные, то меньше та дробь, модуль которой больше. Сравнивая числители, получаем, что $ -9 < -8 < -6 $.

Следовательно, $ -\frac{9}{12} < -\frac{8}{12} < -\frac{6}{12} $.

Заменив дроби на их исходные значения, получим итоговый ряд в порядке возрастания: $ -\frac{3}{4}, -\frac{2}{3}, -\frac{1}{2} $.

Ответ: $ -\frac{3}{4}, -\frac{2}{3}, -\frac{1}{2} $.

4.56. Запишите дроби $-\frac{1}{2}$, $-\frac{5}{6}$, $-\frac{1}{3}$ в порядке убывания.

Чтобы расположить дроби $ -\frac{1}{2} $, $ -\frac{5}{6} $ и $ -\frac{1}{3} $ в порядке убывания (от наибольшей к наименьшей), необходимо их сравнить. Для этого приведем дроби к общему знаменателю.

Знаменатели дробей — это числа 2, 6 и 3. Наименьшее общее кратное (НОК) для этих чисел равно 6. Таким образом, приведем все дроби к знаменателю 6.

1. Преобразуем дробь $ -\frac{1}{2} $. Дополнительный множитель равен $ 6 \div 2 = 3 $.
$ -\frac{1}{2} = -\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} = -\frac{3}{6} $

2. Дробь $ -\frac{5}{6} $ уже имеет знаменатель 6, поэтому оставляем ее без изменений.

3. Преобразуем дробь $ -\frac{1}{3} $. Дополнительный множитель равен $ 6 \div 3 = 2 $.
$ -\frac{1}{3} = -\frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} = -\frac{2}{6} $

Теперь у нас есть три дроби с одинаковым знаменателем: $ -\frac{3}{6} $, $ -\frac{5}{6} $ и $ -\frac{2}{6} $.

Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше. Сравним модули полученных дробей: $ \frac{3}{6} $, $ \frac{5}{6} $ и $ \frac{2}{6} $.
Так как $ 2 < 3 < 5 $, то $ \frac{2}{6} < \frac{3}{6} < \frac{5}{6} $.

Для отрицательных дробей порядок будет обратным:
$ -\frac{2}{6} > -\frac{3}{6} > -\frac{5}{6} $.

Теперь заменим преобразованные дроби на исходные:
$ -\frac{1}{3} > -\frac{1}{2} > -\frac{5}{6} $.

Следовательно, дроби в порядке убывания записываются так: $ -\frac{1}{3} $, $ -\frac{1}{2} $, $ -\frac{5}{6} $.

Ответ: $ -\frac{1}{3}, -\frac{1}{2}, -\frac{5}{6} $.

4.57. Верно ли, что если $- \frac{4}{7} > - \frac{2}{3}$ и $- \frac{2}{3} > - \frac{4}{5}$, то $- \frac{4}{7} > - \frac{4}{5}$?

Для ответа на этот вопрос необходимо проверить, является ли данное утверждение логически верным. Утверждение построено по принципу транзитивности неравенств, который гласит: если $ a > b $ и $ b > c $, то $ a > c $. Мы должны проверить истинность посылок (двух данных неравенств) и заключения.

Шаг 1: Проверка первого неравенства $ -\frac{4}{7} > -\frac{2}{3} $

Чтобы сравнить две дроби, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 7 и 3 это 21.
$ -\frac{4}{7} = -\frac{4 \cdot 3}{7 \cdot 3} = -\frac{12}{21} $
$ -\frac{2}{3} = -\frac{2 \cdot 7}{3 \cdot 7} = -\frac{14}{21} $
Теперь сравним дроби с одинаковыми знаменателями. Для отрицательных чисел, то число больше, модуль которого меньше. Так как $ -12 > -14 $, то и $ -\frac{12}{21} > -\frac{14}{21} $.
Следовательно, первое неравенство $ -\frac{4}{7} > -\frac{2}{3} $ является верным.

Шаг 2: Проверка второго неравенства $ -\frac{2}{3} > -\frac{4}{5} $

Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 3 и 5 это 15.
$ -\frac{2}{3} = -\frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5} = -\frac{10}{15} $
$ -\frac{4}{5} = -\frac{4 \cdot 3}{5 \cdot 3} = -\frac{12}{15} $
Сравниваем дроби: так как $ -10 > -12 $, то $ -\frac{10}{15} > -\frac{12}{15} $.
Следовательно, второе неравенство $ -\frac{2}{3} > -\frac{4}{5} $ также является верным.

Шаг 3: Вывод

Поскольку оба условия (посылки) $ -\frac{4}{7} > -\frac{2}{3} $ и $ -\frac{2}{3} > -\frac{4}{5} $ верны, то по свойству транзитивности неравенств заключение $ -\frac{4}{7} > -\frac{4}{5} $ также должно быть верным.
Можно провести и прямую проверку заключения. Приведем дроби $ -\frac{4}{7} $ и $ -\frac{4}{5} $ к общему знаменателю 35:
$ -\frac{4}{7} = -\frac{4 \cdot 5}{7 \cdot 5} = -\frac{20}{35} $
$ -\frac{4}{5} = -\frac{4 \cdot 7}{5 \cdot 7} = -\frac{28}{35} $
Так как $ -20 > -28 $, то $ -\frac{20}{35} > -\frac{28}{35} $, что подтверждает истинность неравенства $ -\frac{4}{7} > -\frac{4}{5} $.
Таким образом, всё утверждение целиком является верным.

Ответ: Да, утверждение верно.