Страница 143 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

4.70. а) $-\frac{1}{3} + \frac{2}{3};$

б) $-\frac{1}{4} + \frac{3}{4};$

в) $\frac{1}{5} + \frac{-3}{5};$

г) $\frac{3}{7} + \frac{-4}{7};$

д) $\frac{8}{13} + \frac{-12}{13};$

е) $\frac{19}{25} + \frac{-24}{25}.$

а) Чтобы сложить две дроби с одинаковыми знаменателями, необходимо сложить их числители, а знаменатель оставить прежним.
$\frac{-1}{3} + \frac{2}{3} = \frac{-1+2}{3} = \frac{1}{3}$.
Ответ: $\frac{1}{3}$.

б) Дроби имеют одинаковый знаменатель, поэтому складываем их числители. Знак "минус" перед дробью можно отнести к числителю.
$-\frac{1}{4} + \frac{3}{4} = \frac{-1}{4} + \frac{3}{4} = \frac{-1+3}{4} = \frac{2}{4}$.
Полученную дробь можно сократить, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель, равный 2.
$\frac{2}{4} = \frac{2 \div 2}{4 \div 2} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

в) Складываем дроби с одинаковым знаменателем.
$\frac{1}{5} + \frac{-3}{5} = \frac{1+(-3)}{5} = \frac{1-3}{5} = \frac{-2}{5} = -\frac{2}{5}$.
Ответ: $-\frac{2}{5}$.

г) Знаменатели дробей одинаковы, поэтому складываем их числители.
$\frac{3}{7} + \frac{-4}{7} = \frac{3+(-4)}{7} = \frac{3-4}{7} = \frac{-1}{7} = -\frac{1}{7}$.
Ответ: $-\frac{1}{7}$.

д) Складываем числители дробей, так как знаменатели у них одинаковые.
$\frac{8}{13} + \frac{-12}{13} = \frac{8+(-12)}{13} = \frac{8-12}{13} = \frac{-4}{13} = -\frac{4}{13}$.
Ответ: $-\frac{4}{13}$.

е) Выполняем сложение дробей с одинаковыми знаменателями.
$\frac{19}{25} + \frac{-24}{25} = \frac{19+(-24)}{25} = \frac{19-24}{25} = \frac{-5}{25}$.
Сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель для числителя и знаменателя равен 5.
$\frac{-5}{25} = \frac{-5 \div 5}{25 \div 5} = \frac{-1}{5} = -\frac{1}{5}$.
Ответ: $-\frac{1}{5}$.

4.71. а) $ \frac{1}{2} + \frac{-1}{2} $

б) $ \frac{-5}{6} + \frac{5}{6} $

в) $ \frac{-2}{3} + \frac{2}{3} $

а) В данном выражении мы складываем два противоположных числа: $\frac{1}{2}$ и $\frac{-1}{2}$. Сумма противоположных чисел всегда равна нулю.

Выполним сложение дробей с одинаковым знаменателем. Для этого нужно сложить их числители, а знаменатель оставить прежним.

$\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} = \frac{1 + (-1)}{2} = \frac{1 - 1}{2} = \frac{0}{2} = 0$.

Ответ: 0

б) В этом примере мы также складываем два противоположных числа: $\frac{-5}{6}$ и $\frac{5}{6}$.

Применим правило сложения дробей с одинаковым знаменателем:

$\frac{-5}{6} + \frac{5}{6} = \frac{-5 + 5}{6} = \frac{0}{6} = 0$.

Ответ: 0

в) Здесь снова представлена сумма двух противоположных чисел: $\frac{-2}{3}$ и $\frac{2}{3}$.

Выполним сложение, сложив числители и оставив знаменатель без изменений:

$\frac{-2}{3} + \frac{2}{3} = \frac{-2 + 2}{3} = \frac{0}{3} = 0$.

Ответ: 0

4.72. a) $ \frac{1}{3} - \frac{2}{3} $;

б) $ \frac{1}{4} - \frac{3}{4} $;

в) $ \frac{2}{7} - \frac{5}{7} $;

г) $ \frac{7}{12} - \frac{11}{12} $;

д) $ -\frac{8}{11} - \frac{3}{11} $;

е) $ -\frac{5}{17} - \frac{10}{17} $.

а)

Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить без изменений.

$\frac{1}{3} - \frac{2}{3} = \frac{1-2}{3} = \frac{-1}{3} = -\frac{1}{3}$

Ответ: $-\frac{1}{3}$

б)

Знаменатели дробей одинаковы, поэтому вычитаем числители. Полученную дробь сокращаем, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 2.

$\frac{1}{4} - \frac{3}{4} = \frac{1-3}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{2:2}{4:2} = -\frac{1}{2}$

Ответ: $-\frac{1}{2}$

в)

Выполняем вычитание числителей, так как знаменатели дробей совпадают.

$\frac{2}{7} - \frac{5}{7} = \frac{2-5}{7} = \frac{-3}{7} = -\frac{3}{7}$

Ответ: $-\frac{3}{7}$

г)

Поскольку знаменатели дробей одинаковы, вычитаем числители. Затем сокращаем полученную дробь на 4.

$\frac{7}{12} - \frac{11}{12} = \frac{7-11}{12} = \frac{-4}{12} = -\frac{4:4}{12:4} = -\frac{1}{3}$

Ответ: $-\frac{1}{3}$

д)

Дроби имеют одинаковый знаменатель. Выполняем вычитание (сложение отрицательных чисел) в числителе. Результат можно упростить.

$-\frac{8}{11} - \frac{3}{11} = \frac{-8-3}{11} = \frac{-11}{11} = -1$

Ответ: $-1$

е)

Вычитаем дроби с общим знаменателем. Для этого складываем их числители с учетом знаков.

$-\frac{5}{17} - \frac{10}{17} = \frac{-5-10}{17} = \frac{-15}{17} = -\frac{15}{17}$

Ответ: $-\frac{15}{17}$

4.73. а) $-\frac{2}{7} - \frac{-5}{7};$

б) $-\frac{4}{9} - \frac{-8}{9};$

в) $-\frac{1}{10} - \frac{-7}{10};$

г) $-\frac{12}{19} - \frac{7}{19};$

д) $-\frac{4}{5} - \frac{-3}{5};$

е) $-\frac{1}{24} - \frac{11}{24}.$

а) Для вычитания дробей с одинаковыми знаменателями необходимо из числителя первой дроби вычесть числитель второй, а знаменатель оставить без изменений.

$-\frac{2}{7} - \frac{5}{7} = \frac{-2 - 5}{7} = \frac{-7}{7} = -1$

Ответ: $-1$

б) Вычитание отрицательной дроби равносильно прибавлению соответствующей положительной дроби (минус на минус дает плюс).

$-\frac{4}{9} - \frac{-8}{9} = -\frac{4}{9} + \frac{8}{9} = \frac{-4 + 8}{9} = \frac{4}{9}$

Ответ: $\frac{4}{9}$

в) Как и в предыдущем примере, заменяем вычитание отрицательного числа на сложение.

$-\frac{1}{10} - \frac{-7}{10} = -\frac{1}{10} + \frac{7}{10} = \frac{-1 + 7}{10} = \frac{6}{10}$

Полученную дробь можно сократить, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 2.

$\frac{6}{10} = \frac{6 \div 2}{10 \div 2} = \frac{3}{5}$

Ответ: $\frac{3}{5}$

г) Выполняем вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.

$-\frac{12}{19} - \frac{7}{19} = \frac{-12 - 7}{19} = \frac{-19}{19} = -1$

Ответ: $-1$

д) Сначала упростим знаки в выражении. Минус перед дробью с отрицательным числителем $(-\frac{-a}{b})$ дает положительную дробь $(\frac{a}{b})$.

$-\frac{-4}{5} - \frac{-3}{5} = \frac{4}{5} - (-\frac{3}{5}) = \frac{4}{5} + \frac{3}{5}$

Теперь складываем дроби с одинаковыми знаменателями.

$\frac{4 + 3}{5} = \frac{7}{5}$

Результат можно представить в виде смешанного числа: $1\frac{2}{5}$.

Ответ: $\frac{7}{5}$

е) Выполняем вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.

$-\frac{1}{24} - \frac{11}{24} = \frac{-1 - 11}{24} = \frac{-12}{24}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 12.

$\frac{-12}{24} = -\frac{12 \div 12}{24 \div 12} = -\frac{1}{2}$

Ответ: $-\frac{1}{2}$

4.74. а) $-\frac{1}{2} + \frac{-1}{4}$;

б) $-\frac{1}{3} + \frac{1}{6}$;

в) $-\frac{1}{2} + \frac{1}{6}$;

г) $\frac{1}{8} + \frac{-1}{4}$;

д) $\frac{3}{10} + \frac{-7}{100}$.

а) Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, их нужно привести к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для дробей $\frac{-1}{2}$ и $\frac{-1}{4}$ равен 4. Домножим числитель и знаменатель первой дроби на 2:

$\frac{-1}{2} + \frac{-1}{4} = \frac{-1 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{-1}{4} = \frac{-2}{4} + \frac{-1}{4} = \frac{-2 + (-1)}{4} = \frac{-3}{4} = -\frac{3}{4}$.

Ответ: $-\frac{3}{4}$.

б) Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 3 и 6 это 6. Домножим первую дробь на 2:

$-\frac{1}{3} + \frac{1}{6} = -\frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{1}{6} = -\frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{-2+1}{6} = -\frac{1}{6}$.

Ответ: $-\frac{1}{6}$.

в) Приведем дроби к общему знаменателю 6. Для этого домножим числитель и знаменатель первой дроби на 3:

$-\frac{1}{2} + \frac{1}{6} = -\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{1}{6} = -\frac{3}{6} + \frac{1}{6} = \frac{-3+1}{6} = -\frac{2}{6}$.

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:

$-\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}$.

Ответ: $-\frac{1}{3}$.

г) Общий знаменатель для дробей со знаменателями 8 и 4 это 8. Приведем вторую дробь к этому знаменателю, домножив ее числитель и знаменатель на 2:

$\frac{1}{8} + \frac{-1}{4} = \frac{1}{8} + \frac{-1 \cdot 2}{4 \cdot 2} = \frac{1}{8} + \frac{-2}{8} = \frac{1 + (-2)}{8} = \frac{1-2}{8} = -\frac{1}{8}$.

Ответ: $-\frac{1}{8}$.

д) Общий знаменатель для 10 и 100 это 100. Домножим первую дробь на 10:

$\frac{3}{10} + \frac{-7}{100} = \frac{3 \cdot 10}{10 \cdot 10} + \frac{-7}{100} = \frac{30}{100} + \frac{-7}{100} = \frac{30 - 7}{100} = \frac{23}{100}$.

Ответ: $\frac{23}{100}$.

4.75. а) $\frac{3}{5} - \frac{9}{10};$

б) $\frac{15}{24} - \frac{3}{8};$

в) $-\frac{2}{3} - \frac{5}{6};$

г) $-\frac{7}{6} - \frac{5}{24};$

д) $\frac{2}{5} - \frac{13}{50};$

е) $-\frac{50}{160} - \frac{9}{16}.$

а) Чтобы вычесть дроби $\frac{3}{5}$ и $\frac{9}{10}$, нужно привести их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для чисел 5 и 10 равен 10. Домножим числитель и знаменатель первой дроби на 2, чтобы привести ее к знаменателю 10:
$\frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{6}{10}$
Теперь выполним вычитание:
$\frac{6}{10} - \frac{9}{10} = \frac{6 - 9}{10} = \frac{-3}{10} = -\frac{3}{10}$
Ответ: $-\frac{3}{10}$

б) В выражении $\frac{15}{24} - \frac{3}{8}$ можно сначала упростить первую дробь. Наибольший общий делитель для 15 и 24 равен 3.
$\frac{15}{24} = \frac{15 \div 3}{24 \div 3} = \frac{5}{8}$
Теперь вычитание выглядит так:
$\frac{5}{8} - \frac{3}{8} = \frac{5 - 3}{8} = \frac{2}{8}$
Сократим полученную дробь на 2:
$\frac{2}{8} = \frac{2 \div 2}{8 \div 2} = \frac{1}{4}$
Ответ: $\frac{1}{4}$

в) Чтобы найти значение выражения $-\frac{2}{3} - \frac{5}{6}$, приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 3 и 6 - это 6. Домножим числитель и знаменатель первой дроби на 2:
$-\frac{2}{3} = -\frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} = -\frac{4}{6}$
Теперь выполним вычитание (сложение отрицательных чисел):
$-\frac{4}{6} - \frac{5}{6} = \frac{-4 - 5}{6} = \frac{-9}{6}$
Сократим результат, разделив числитель и знаменатель на 3:
$-\frac{9}{6} = -\frac{9 \div 3}{6 \div 3} = -\frac{3}{2}$
Ответ: $-\frac{3}{2}$

г) Для вычисления разности $\frac{7}{6} - \frac{5}{24}$ найдем общий знаменатель. Наименьший общий знаменатель для 6 и 24 равен 24. Приведем первую дробь к этому знаменателю, умножив ее числитель и знаменатель на 4:
$\frac{7}{6} = \frac{7 \cdot 4}{6 \cdot 4} = \frac{28}{24}$
Теперь выполним вычитание:
$\frac{28}{24} - \frac{5}{24} = \frac{28 - 5}{24} = \frac{23}{24}$
Дробь $\frac{23}{24}$ является несократимой, так как 23 - простое число.
Ответ: $\frac{23}{24}$

д) В выражении $\frac{2}{5} - \frac{13}{50}$ наименьший общий знаменатель для 5 и 50 равен 50. Умножим числитель и знаменатель первой дроби на 10:
$\frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 10}{5 \cdot 10} = \frac{20}{50}$
Выполним вычитание:
$\frac{20}{50} - \frac{13}{50} = \frac{20 - 13}{50} = \frac{7}{50}$
Дробь $\frac{7}{50}$ несократима.
Ответ: $\frac{7}{50}$

е) Рассмотрим выражение $-\frac{50}{160} - \frac{9}{16}$. Сначала упростим первую дробь, разделив ее числитель и знаменатель на 10:
$-\frac{50}{160} = -\frac{50 \div 10}{160 \div 10} = -\frac{5}{16}$
Теперь задача сводится к вычитанию дробей с одинаковыми знаменателями:
$-\frac{5}{16} - \frac{9}{16} = \frac{-5 - 9}{16} = \frac{-14}{16}$
Сократим полученную дробь на 2:
$-\frac{14}{16} = -\frac{14 \div 2}{16 \div 2} = -\frac{7}{8}$
Ответ: $-\frac{7}{8}$

4.76. а) $ -\frac{1}{6} + \frac{1}{9} $;

б) $ \frac{3}{10} - \frac{2}{15} $;

в) $ -\frac{2}{10} - \frac{6}{15} $;

г) $ \frac{3}{8} - \frac{2}{9} $;

д) $ -\frac{5}{12} + \frac{4}{15} $;

е) $ \frac{2}{16} - \frac{-3}{39} $.

а) Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, нужно привести их к общему знаменателю. Наименьшим общим знаменателем для 6 и 9 является 18. Домножим числитель и знаменатель первой дроби на 3, а второй - на 2:
$ -\frac{1}{6} + \frac{1}{9} = -\frac{1 \cdot 3}{6 \cdot 3} + \frac{1 \cdot 2}{9 \cdot 2} = -\frac{3}{18} + \frac{2}{18} = \frac{-3+2}{18} = -\frac{1}{18} $.
Ответ: $-\frac{1}{18}$

б) Для вычитания дробей $\frac{3}{10}$ и $\frac{2}{15}$ найдем наименьший общий знаменатель для 10 и 15. Это число 30. Дополнительный множитель для первой дроби равен $30 \div 10 = 3$, для второй - $30 \div 15 = 2$.
$ \frac{3}{10} - \frac{2}{15} = \frac{3 \cdot 3}{10 \cdot 3} - \frac{2 \cdot 2}{15 \cdot 2} = \frac{9}{30} - \frac{4}{30} = \frac{9-4}{30} = \frac{5}{30} $.
Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 5: $\frac{5}{30} = \frac{1}{6}$.
Ответ: $\frac{1}{6}$

в) Найдем наименьший общий знаменатель для 10 и 15, который равен 30. Приведем дроби к этому знаменателю и выполним вычитание:
$ -\frac{2}{10} - \frac{6}{15} = -\frac{2 \cdot 3}{10 \cdot 3} - \frac{6 \cdot 2}{15 \cdot 2} = -\frac{6}{30} - \frac{12}{30} = \frac{-6-12}{30} = \frac{-18}{30} $.
Сократим дробь на 6: $\frac{-18}{30} = -\frac{3}{5}$.
Ответ: $-\frac{3}{5}$

г) Знаменатели 8 и 9 являются взаимно простыми числами, поэтому их наименьший общий знаменатель равен их произведению: $8 \cdot 9 = 72$.
$ \frac{3}{8} - \frac{2}{9} = \frac{3 \cdot 9}{8 \cdot 9} - \frac{2 \cdot 8}{9 \cdot 8} = \frac{27}{72} - \frac{16}{72} = \frac{27-16}{72} = \frac{11}{72} $.
Дробь $\frac{11}{72}$ является несократимой.
Ответ: $\frac{11}{72}$

д) Найдем наименьший общий знаменатель для 12 и 15. Разложим их на простые множители: $12 = 2 \cdot 2 \cdot 3$, $15 = 3 \cdot 5$. НОК(12, 15) = $2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 = 60$.
$ -\frac{5}{12} + \frac{4}{15} = -\frac{5 \cdot 5}{12 \cdot 5} + \frac{4 \cdot 4}{15 \cdot 4} = -\frac{25}{60} + \frac{16}{60} = \frac{-25+16}{60} = \frac{-9}{60} $.
Сократим дробь на 3: $\frac{-9}{60} = -\frac{3}{20}$.
Ответ: $-\frac{3}{20}$

е) Сначала упростим дроби, если это возможно: $\frac{2}{16} = \frac{1}{8}$ и $\frac{-3}{39} = -\frac{1}{13}$. Выражение принимает вид:
$ \frac{1}{8} - (-\frac{1}{13}) = \frac{1}{8} + \frac{1}{13} $.
Знаменатели 8 и 13 взаимно простые, их наименьший общий знаменатель равен $8 \cdot 13 = 104$.
$ \frac{1 \cdot 13}{8 \cdot 13} + \frac{1 \cdot 8}{13 \cdot 8} = \frac{13}{104} + \frac{8}{104} = \frac{13+8}{104} = \frac{21}{104} $.
Ответ: $\frac{21}{104}$

4.77. а) $\frac{5}{8} + \left(-\frac{9}{8}\right);$

б) $-\frac{3}{13} + \left(-\frac{8}{13}\right);$

в) $-\frac{2}{5} + \frac{4}{5}. $

г) $\frac{3}{8} + \left(-\frac{3}{4}\right);$

д) $-\frac{7}{15} + \left(-\frac{2}{3}\right);$

е) $-\frac{7}{8} - \frac{15}{16}. $

ж) $\frac{1}{3} + \left(-\frac{1}{2}\right);$

з) $-\frac{1}{4} + \frac{1}{3};$

и) $-\frac{2}{21} + \frac{3}{14}. $

Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить тем же. Сложение с отрицательным числом равносильно вычитанию.

$\frac{5}{8} + (-\frac{9}{8}) = \frac{5 - 9}{8} = \frac{-4}{8}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 4:

$\frac{-4}{8} = \frac{-4 \div 4}{8 \div 4} = -\frac{1}{2}$

Ответ: $-\frac{1}{2}$

Складываем дроби с одинаковыми знаменателями. Для этого складываем их числители, а знаменатель оставляем без изменений.

$-\frac{3}{13} + (-\frac{8}{13}) = \frac{-3 + (-8)}{13} = \frac{-3 - 8}{13} = \frac{-11}{13} = -\frac{11}{13}$

Ответ: $-\frac{11}{13}$

Складываем дроби с одинаковыми знаменателями.

$-\frac{2}{5} + \frac{4}{5} = \frac{-2 + 4}{5} = \frac{2}{5}$

Ответ: $\frac{2}{5}$

Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, сначала приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 8 и 4 - это 8.

Приведем дробь $-\frac{3}{4}$ к знаменателю 8, умножив ее числитель и знаменатель на 2:

$-\frac{3}{4} = -\frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 2} = -\frac{6}{8}$

Теперь выполним сложение:

$\frac{3}{8} + (-\frac{6}{8}) = \frac{3 - 6}{8} = \frac{-3}{8} = -\frac{3}{8}$

Ответ: $-\frac{3}{8}$

Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 15 и 3 - это 15.

Приведем дробь $-\frac{2}{3}$ к знаменателю 15, умножив ее числитель и знаменатель на 5:

$-\frac{2}{3} = -\frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5} = -\frac{10}{15}$

Теперь выполним сложение:

$-\frac{7}{15} + (-\frac{10}{15}) = \frac{-7 - 10}{15} = \frac{-17}{15}$

Ответ: $-\frac{17}{15}$

Для выполнения вычитания приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 8 и 16 - это 16.

Приведем дробь $-\frac{7}{8}$ к знаменателю 16, умножив ее числитель и знаменатель на 2:

$-\frac{7}{8} = -\frac{7 \cdot 2}{8 \cdot 2} = -\frac{14}{16}$

Теперь выполним вычитание:

$-\frac{14}{16} - \frac{15}{16} = \frac{-14 - 15}{16} = \frac{-29}{16}$

Ответ: $-\frac{29}{16}$

Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 3 и 2 - это 6.

Приведем дроби к знаменателю 6:

$\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{2}{6}$

$-\frac{1}{2} = -\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} = -\frac{3}{6}$

Теперь выполним сложение:

$\frac{2}{6} + (-\frac{3}{6}) = \frac{2 - 3}{6} = \frac{-1}{6} = -\frac{1}{6}$

Ответ: $-\frac{1}{6}$

Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 4 и 3 - это 12.

Приведем дроби к знаменателю 12:

$-\frac{1}{4} = -\frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} = -\frac{3}{12}$

$\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{4}{12}$

Теперь выполним сложение:

$-\frac{3}{12} + \frac{4}{12} = \frac{-3 + 4}{12} = \frac{1}{12}$

Ответ: $\frac{1}{12}$

Приведем дроби к общему знаменателю. Найдем наименьшее общее кратное (НОК) для знаменателей 21 и 14.

Разложим знаменатели на простые множители: $21 = 3 \cdot 7$, $14 = 2 \cdot 7$.

НОК(21, 14) = $2 \cdot 3 \cdot 7 = 42$. Общий знаменатель - 42.

Найдем дополнительные множители и приведем дроби к новому знаменателю:

$-\frac{2}{21} = -\frac{2 \cdot 2}{21 \cdot 2} = -\frac{4}{42}$

$\frac{3}{14} = \frac{3 \cdot 3}{14 \cdot 3} = \frac{9}{42}$

Теперь выполним сложение:

$-\frac{4}{42} + \frac{9}{42} = \frac{-4 + 9}{42} = \frac{5}{42}$

Ответ: $\frac{5}{42}$

4.78. a) $-\frac{9}{180} - \frac{7}{120}$

б) $-\frac{4}{210} + \frac{5}{140}$

В) $\frac{-7}{480} + \frac{8}{180}$

а)

Чтобы найти значение выражения $-\frac{9}{180} - \frac{7}{120}$, сначала приведем дроби к общему знаменателю.

Можно предварительно сократить первую дробь $\frac{9}{180}$ на 9:

$\frac{9}{180} = \frac{9 \div 9}{180 \div 9} = \frac{1}{20}$

Теперь выражение имеет вид: $-\frac{1}{20} - \frac{7}{120}$.

Наименьшим общим знаменателем для чисел 20 и 120 является 120. Домножим числитель и знаменатель первой дроби на дополнительный множитель 6, чтобы ее знаменатель стал равен 120:

$-\frac{1 \cdot 6}{20 \cdot 6} - \frac{7}{120} = -\frac{6}{120} - \frac{7}{120}$

Теперь выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:

$\frac{-6 - 7}{120} = \frac{-13}{120} = -\frac{13}{120}$

Ответ: $-\frac{13}{120}$

б)

Чтобы найти значение выражения $-\frac{4}{210} + \frac{5}{140}$, необходимо привести дроби к общему знаменателю. Для этого найдем наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей 210 и 140.

Разложим знаменатели на простые множители:

$210 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$

$140 = 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 7 = 2^2 \cdot 5 \cdot 7$

НОК(210, 140) будет произведением всех простых множителей, взятых с наибольшим показателем степени: $2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 4 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 420$.

Приведем дроби к знаменателю 420. Дополнительный множитель для первой дроби равен $420 \div 210 = 2$. Дополнительный множитель для второй дроби равен $420 \div 140 = 3$.

$-\frac{4 \cdot 2}{210 \cdot 2} + \frac{5 \cdot 3}{140 \cdot 3} = -\frac{8}{420} + \frac{15}{420}$

Выполним сложение:

$\frac{-8 + 15}{420} = \frac{7}{420}$

Сократим полученную дробь на 7:

$\frac{7 \div 7}{420 \div 7} = \frac{1}{60}$

Ответ: $\frac{1}{60}$

в)

Чтобы найти значение выражения $-\frac{7}{480} + \frac{8}{180}$, приведем дроби к общему знаменателю. Для удобства сначала сократим вторую дробь $\frac{8}{180}$ на 4:

$\frac{8 \div 4}{180 \div 4} = \frac{2}{45}$

Теперь выражение имеет вид: $-\frac{7}{480} + \frac{2}{45}$.

Найдем НОК знаменателей 480 и 45. Разложим их на простые множители:

$480 = 48 \cdot 10 = (3 \cdot 16) \cdot (2 \cdot 5) = 3 \cdot 2^4 \cdot 2 \cdot 5 = 2^5 \cdot 3 \cdot 5$

$45 = 9 \cdot 5 = 3^2 \cdot 5$

НОК(480, 45) = $2^5 \cdot 3^2 \cdot 5 = 32 \cdot 9 \cdot 5 = 1440$.

Приведем дроби к знаменателю 1440. Дополнительный множитель для первой дроби: $1440 \div 480 = 3$. Дополнительный множитель для второй дроби: $1440 \div 45 = 32$.

$-\frac{7 \cdot 3}{480 \cdot 3} + \frac{2 \cdot 32}{45 \cdot 32} = -\frac{21}{1440} + \frac{64}{1440}$

Выполним сложение:

$\frac{-21 + 64}{1440} = \frac{43}{1440}$

Число 43 является простым, и 1440 на 43 не делится, следовательно, дробь несократимая.

Ответ: $\frac{43}{1440}$

4.79. a) $-\frac{7}{15} + \frac{2}{15} - \frac{1}{5}$;

б) $-\frac{1}{6} - \frac{5}{12} - \frac{7}{24}$;

в) $-\frac{3}{13} - \frac{5}{13} + \frac{3}{26}$;

г) $\frac{9}{28} - \frac{4}{7} - \frac{1}{4}$;

д) $\frac{10}{27} - \frac{5}{18} + \frac{8}{9}$;

е) $\frac{2}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{15}$.

а) Для решения примера $-\frac{7}{15} + \frac{2}{15} - \frac{1}{5}$ необходимо привести все дроби к общему знаменателю. Общим знаменателем для чисел 15 и 5 является 15. Первые две дроби уже имеют этот знаменатель. Приведем дробь $\frac{1}{5}$ к знаменателю 15, умножив ее числитель и знаменатель на 3:
$\frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{3}{15}$.
Теперь выполним действия с дробями:
$-\frac{7}{15} + \frac{2}{15} - \frac{3}{15} = \frac{-7 + 2 - 3}{15} = \frac{-5 - 3}{15} = \frac{-8}{15}$.
Ответ: $-\frac{8}{15}$.

б) Для решения примера $-\frac{1}{6} - \frac{5}{12} - \frac{7}{24}$ найдем наименьший общий знаменатель для чисел 6, 12 и 24. Это число 24. Приведем дроби к этому знаменателю:
$-\frac{1}{6} = -\frac{1 \cdot 4}{6 \cdot 4} = -\frac{4}{24}$;
$-\frac{5}{12} = -\frac{5 \cdot 2}{12 \cdot 2} = -\frac{10}{24}$.
Теперь выполним вычисления:
$-\frac{4}{24} - \frac{10}{24} - \frac{7}{24} = \frac{-4 - 10 - 7}{24} = \frac{-21}{24}$.
Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 3:
$\frac{-21}{24} = \frac{-21 \div 3}{24 \div 3} = -\frac{7}{8}$.
Ответ: $-\frac{7}{8}$.

в) Для решения примера $-\frac{3}{13} - \frac{5}{13} + \frac{3}{26}$ найдем общий знаменатель для 13 и 26. Это число 26. Приведем дроби с знаменателем 13 к знаменателю 26, умножив их числители и знаменатели на 2:
$-\frac{3}{13} = -\frac{3 \cdot 2}{13 \cdot 2} = -\frac{6}{26}$;
$-\frac{5}{13} = -\frac{5 \cdot 2}{13 \cdot 2} = -\frac{10}{26}$.
Выполним вычисления:
$-\frac{6}{26} - \frac{10}{26} + \frac{3}{26} = \frac{-6 - 10 + 3}{26} = \frac{-16 + 3}{26} = \frac{-13}{26}$.
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 13:
$\frac{-13}{26} = \frac{-13 \div 13}{26 \div 13} = -\frac{1}{2}$.
Ответ: $-\frac{1}{2}$.

г) Для решения примера $\frac{9}{28} - \frac{4}{7} - \frac{1}{4}$ найдем общий знаменатель для 28, 7 и 4. Это число 28. Приведем дроби к этому знаменателю:
$\frac{4}{7} = \frac{4 \cdot 4}{7 \cdot 4} = \frac{16}{28}$;
$\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 7}{4 \cdot 7} = \frac{7}{28}$.
Выполним вычисления:
$\frac{9}{28} - \frac{16}{28} - \frac{7}{28} = \frac{9 - 16 - 7}{28} = \frac{-7 - 7}{28} = \frac{-14}{28}$.
Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 14:
$\frac{-14}{28} = \frac{-14 \div 14}{28 \div 14} = -\frac{1}{2}$.
Ответ: $-\frac{1}{2}$.

д) Для решения примера $\frac{10}{27} - \frac{5}{18} + \frac{8}{9}$ найдем наименьший общий знаменатель для 27, 18 и 9. Наименьшее общее кратное (НОК) этих чисел равно 54. Приведем дроби к знаменателю 54:
$\frac{10}{27} = \frac{10 \cdot 2}{27 \cdot 2} = \frac{20}{54}$;
$\frac{5}{18} = \frac{5 \cdot 3}{18 \cdot 3} = \frac{15}{54}$;
$\frac{8}{9} = \frac{8 \cdot 6}{9 \cdot 6} = \frac{48}{54}$.
Выполним вычисления:
$\frac{20}{54} - \frac{15}{54} + \frac{48}{54} = \frac{20 - 15 + 48}{54} = \frac{5 + 48}{54} = \frac{53}{54}$.
Ответ: $\frac{53}{54}$.

е) Для решения примера $\frac{2}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{15}$ найдем общий знаменатель для 5, 6 и 15. Наименьшее общее кратное (НОК) этих чисел равно 30. Приведем дроби к знаменателю 30:
$\frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 6}{5 \cdot 6} = \frac{12}{30}$;
$\frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 5}{6 \cdot 5} = \frac{5}{30}$;
$\frac{1}{15} = \frac{1 \cdot 2}{15 \cdot 2} = \frac{2}{30}$.
Выполним вычисления:
$\frac{12}{30} + \frac{5}{30} + \frac{2}{30} = \frac{12 + 5 + 2}{30} = \frac{19}{30}$.
Ответ: $\frac{19}{30}$.