Страница 147 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Выполните действия (4.89–4.91):

4.89. а) $75 \cdot (-64);$

б) $(-57) \cdot (-129);$

в) $(-144) \cdot 55;$

г) $912 : (-48);$

д) $(-1596) : 57;$

е) $(-2701) : (-37).$

а) При умножении чисел с разными знаками, результат будет отрицательным. Чтобы найти его значение, нужно перемножить модули этих чисел.
$75 \cdot (-64) = -(75 \cdot 64)$.
Вычислим произведение $75 \cdot 64$:
$75 \cdot 64 = 75 \cdot (60 + 4) = 75 \cdot 60 + 75 \cdot 4 = 4500 + 300 = 4800$.
Следовательно, $75 \cdot (-64) = -4800$.
Ответ: -4800

б) Произведение двух отрицательных чисел является положительным числом. Чтобы найти его значение, нужно перемножить их модули.
$(-57) \cdot (-129) = 57 \cdot 129$.
Вычислим произведение $57 \cdot 129$:
$57 \cdot 129 = 57 \cdot (100 + 20 + 9) = 5700 + 1140 + 513 = 6840 + 513 = 7353$.
Следовательно, $(-57) \cdot (-129) = 7353$.
Ответ: 7353

в) При умножении чисел с разными знаками, результат будет отрицательным. Чтобы найти его значение, нужно перемножить модули этих чисел.
$(-144) \cdot 55 = -(144 \cdot 55)$.
Вычислим произведение $144 \cdot 55$:
$144 \cdot 55 = 144 \cdot (50 + 5) = 144 \cdot 50 + 144 \cdot 5 = 7200 + 720 = 7920$.
Следовательно, $(-144) \cdot 55 = -7920$.
Ответ: -7920

г) При делении чисел с разными знаками, результат будет отрицательным. Чтобы найти его значение, нужно разделить модуль делимого на модуль делителя.
$912 : (-48) = -(912 : 48)$.
Выполним деление $912$ на $48$.
Первая цифра частного: $91 : 48 = 1$ (остаток $91 - 48 = 43$).
Сносим следующую цифру, получаем $432$.
Вторая цифра частного: $432 : 48 = 9$.
Таким образом, $912 : 48 = 19$.
Следовательно, $912 : (-48) = -19$.
Ответ: -19

д) При делении чисел с разными знаками, результат будет отрицательным. Чтобы найти его значение, нужно разделить модуль делимого на модуль делителя.
$(-1596) : 57 = -(1596 : 57)$.
Выполним деление $1596$ на $57$.
Первая цифра частного: $159 : 57 = 2$ (остаток $159 - 114 = 45$).
Сносим следующую цифру, получаем $456$.
Вторая цифра частного: $456 : 57 = 8$.
Таким образом, $1596 : 57 = 28$.
Следовательно, $(-1596) : 57 = -28$.
Ответ: -28

е) Частное двух отрицательных чисел является положительным числом. Чтобы найти его значение, нужно разделить модуль делимого на модуль делителя.
$(-2701) : (-37) = 2701 : 37$.
Выполним деление $2701$ на $37$.
Первая цифра частного: $270 : 37 = 7$ (остаток $270 - 259 = 11$).
Сносим следующую цифру, получаем $111$.
Вторая цифра частного: $111 : 37 = 3$.
Таким образом, $2701 : 37 = 73$.
Следовательно, $(-2701) : (-37) = 73$.
Ответ: 73

4.90. a) $161784 : (-321);$

б) $-2164320 : 432;$

в) $-4101630 : (-507);$

г) $-1936980 : (-918).$

a) $161\ 784 : (-321)$

При делении положительного числа на отрицательное, результат будет отрицательным. Для нахождения значения частного, разделим модули чисел: $161\ 784 : 321$.

Выполним деление столбиком:

1. Делим $1617$ на $321$. Ближайшее произведение, не превышающее $1617$, это $321 \cdot 5 = 1605$. Записываем $5$ в частное. Остаток: $1617 - 1605 = 12$.

2. Сносим следующую цифру $8$. Получаем $128$. Так как $128 < 321$, записываем $0$ в частное.

3. Сносим следующую цифру $4$. Получаем $1284$. Делим $1284$ на $321$: $321 \cdot 4 = 1284$. Записываем $4$ в частное. Остаток: $1284 - 1284 = 0$.

Таким образом, $161\ 784 : 321 = 504$.

Добавляем знак минус, так как делили числа с разными знаками. $161\ 784 : (-321) = -504$.

Ответ: $-504$

б) $-2\ 164\ 320 : 432$

При делении отрицательного числа на положительное, результат будет отрицательным. Для нахождения значения частного, разделим модули чисел: $2\ 164\ 320 : 432$.

Выполним деление столбиком:

1. Делим $2164$ на $432$. Ближайшее произведение, не превышающее $2164$, это $432 \cdot 5 = 2160$. Записываем $5$ в частное. Остаток: $2164 - 2160 = 4$.

2. Сносим следующую цифру $3$. Получаем $43$. Так как $43 < 432$, записываем $0$ в частное.

3. Сносим следующую цифру $2$. Получаем $432$. Делим $432$ на $432$: $432 \cdot 1 = 432$. Записываем $1$ в частное. Остаток: $432 - 432 = 0$.

4. Сносим последнюю цифру $0$. Делим $0$ на $432$, получаем $0$. Записываем $0$ в частное.

Таким образом, $2\ 164\ 320 : 432 = 5010$.

Добавляем знак минус, так как делили числа с разными знаками. $-2\ 164\ 320 : 432 = -5010$.

Ответ: $-5010$

в) $-4\ 101\ 630 : (-507)$

При делении отрицательного числа на отрицательное, результат будет положительным. Для нахождения значения частного, разделим модули чисел: $4\ 101\ 630 : 507$.

Выполним деление столбиком:

1. Делим $4101$ на $507$. Ближайшее произведение, не превышающее $4101$, это $507 \cdot 8 = 4056$. Записываем $8$ в частное. Остаток: $4101 - 4056 = 45$.

2. Сносим следующую цифру $6$. Получаем $456$. Так как $456 < 507$, записываем $0$ в частное.

3. Сносим следующую цифру $3$. Получаем $4563$. Делим $4563$ на $507$: $507 \cdot 9 = 4563$. Записываем $9$ в частное. Остаток: $4563 - 4563 = 0$.

4. Сносим последнюю цифру $0$. Делим $0$ на $507$, получаем $0$. Записываем $0$ в частное.

Таким образом, $4\ 101\ 630 : 507 = 8090$.

Результат положительный, так как делили числа с одинаковыми знаками. $-4\ 101\ 630 : (-507) = 8090$.

Ответ: $8090$

г) $-1\ 936\ 980 : (-918)$

При делении отрицательного числа на отрицательное, результат будет положительным. Для нахождения значения частного, разделим модули чисел: $1\ 936\ 980 : 918$.

Выполним деление столбиком:

1. Делим $1936$ на $918$. Ближайшее произведение, не превышающее $1936$, это $918 \cdot 2 = 1836$. Записываем $2$ в частное. Остаток: $1936 - 1836 = 100$.

2. Сносим следующую цифру $9$. Получаем $1009$. Делим $1009$ на $918$: $918 \cdot 1 = 918$. Записываем $1$ в частное. Остаток: $1009 - 918 = 91$.

3. Сносим следующую цифру $8$. Получаем $918$. Делим $918$ на $918$: $918 \cdot 1 = 918$. Записываем $1$ в частное. Остаток: $918 - 918 = 0$.

4. Сносим последнюю цифру $0$. Делим $0$ на $918$, получаем $0$. Записываем $0$ в частное.

Таким образом, $1\ 936\ 980 : 918 = 2110$.

Результат положительный, так как делили числа с одинаковыми знаками. $-1\ 936\ 980 : (-918) = 2110$.

Ответ: $2110$

4.91. a) $\frac{34}{35} : \frac{51}{55}$;

б) $\frac{37}{38} \cdot \frac{57}{148}$;

в) $\frac{54}{125} \cdot 35$;

г) $\frac{115}{116} : 62$;

д) $\frac{351}{625} \cdot \frac{250}{182}$;

е) $99 : \frac{143}{120}$.

а) Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй (перевернутую).

$ \frac{34}{35} : \frac{51}{55} = \frac{34}{35} \cdot \frac{55}{51} $

Перед умножением сократим дробь. Для этого разложим числа в числителях и знаменателях на множители. $34 = 2 \cdot 17$; $55 = 5 \cdot 11$; $35 = 5 \cdot 7$; $51 = 3 \cdot 17$.

$ \frac{34 \cdot 55}{35 \cdot 51} = \frac{(2 \cdot 17) \cdot (5 \cdot 11)}{(5 \cdot 7) \cdot (3 \cdot 17)} $

Сокращаем общие множители (17 и 5):

$ \frac{2 \cdot \cancel{17} \cdot \cancel{5} \cdot 11}{\cancel{5} \cdot 7 \cdot 3 \cdot \cancel{17}} = \frac{2 \cdot 11}{7 \cdot 3} = \frac{22}{21} $

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$ \frac{22}{21} = 1 \frac{1}{21} $

Ответ: $1 \frac{1}{21}$.

б) Чтобы умножить две дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели.

$ \frac{37}{38} \cdot \frac{57}{148} $

Разложим числа на множители для сокращения. $37$ - простое число; $38 = 2 \cdot 19$; $57 = 3 \cdot 19$; $148 = 4 \cdot 37$.

$ \frac{37 \cdot 57}{38 \cdot 148} = \frac{37 \cdot (3 \cdot 19)}{(2 \cdot 19) \cdot (4 \cdot 37)} $

Сокращаем общие множители (37 и 19):

$ \frac{\cancel{37} \cdot 3 \cdot \cancel{19}}{2 \cdot \cancel{19} \cdot 4 \cdot \cancel{37}} = \frac{3}{2 \cdot 4} = \frac{3}{8} $

Ответ: $ \frac{3}{8} $.

в) Чтобы умножить дробь на целое число, нужно числитель дроби умножить на это число, а знаменатель оставить без изменений. Представим 35 как $ \frac{35}{1} $.

$ \frac{54}{125} \cdot 35 = \frac{54 \cdot 35}{125} $

Сократим дробь на общий делитель 5:

$ \frac{54 \cdot (5 \cdot 7)}{25 \cdot 5} = \frac{54 \cdot 7}{25} = \frac{378}{25} $

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$ \frac{378}{25} = 15 \frac{3}{25} $

Ответ: $15 \frac{3}{25}$.

г) Чтобы разделить дробь на целое число, нужно знаменатель дроби умножить на это число. Представим 62 как $ \frac{62}{1} $.

$ \frac{115}{116} : 62 = \frac{115}{116} : \frac{62}{1} = \frac{115}{116} \cdot \frac{1}{62} = \frac{115}{116 \cdot 62} $

Проверим, можно ли сократить дробь. Разложим числа на множители: $115 = 5 \cdot 23$; $116 = 4 \cdot 29$; $62 = 2 \cdot 31$.

Общих множителей в числителе и знаменателе нет. Вычислим произведение в знаменателе:

$ 116 \cdot 62 = 7192 $

$ \frac{115}{7192} $

Ответ: $ \frac{115}{7192} $.

д) Перемножим числители и знаменатели.

$ \frac{351}{625} \cdot \frac{250}{182} = \frac{351 \cdot 250}{625 \cdot 182} $

Разложим числа на множители для сокращения: $351 = 27 \cdot 13$; $250 = 2 \cdot 125$; $625 = 5 \cdot 125$; $182 = 2 \cdot 7 \cdot 13$.

$ \frac{(27 \cdot 13) \cdot (2 \cdot 125)}{(5 \cdot 125) \cdot (2 \cdot 7 \cdot 13)} $

Сокращаем общие множители (13, 2, 125):

$ \frac{27 \cdot \cancel{13} \cdot \cancel{2} \cdot \cancel{125}}{5 \cdot \cancel{125} \cdot \cancel{2} \cdot 7 \cdot \cancel{13}} = \frac{27}{5 \cdot 7} = \frac{27}{35} $

Ответ: $ \frac{27}{35} $.

е) Чтобы разделить целое число на дробь, нужно это число умножить на обратную дробь.

$ 99 : \frac{143}{120} = 99 \cdot \frac{120}{143} = \frac{99 \cdot 120}{143} $

Разложим числа на множители для сокращения. $99 = 9 \cdot 11$; $143 = 11 \cdot 13$.

$ \frac{(9 \cdot 11) \cdot 120}{11 \cdot 13} $

Сокращаем общий множитель 11:

$ \frac{9 \cdot \cancel{11} \cdot 120}{\cancel{11} \cdot 13} = \frac{9 \cdot 120}{13} = \frac{1080}{13} $

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$ \frac{1080}{13} = 83 \frac{1}{13} $

Ответ: $83 \frac{1}{13}$.

Сократите дробь (4.92–4.94):

4.92. a) $ \frac{36 \cdot (-112)}{126 \cdot (-63)} $;

б) $ \frac{184 \cdot (-49)}{84 \cdot (-69)} $;

в) $ \frac{(-315) \cdot 57}{114 \cdot (-108)} $;

г) $ \frac{(-105) \cdot 84}{196 \cdot 125} $;

д) $ \frac{(-111) \cdot (-9)}{78 \cdot 74} $;

е) $ \frac{(-888) \cdot 55}{77 \cdot 999} $.

а)

Исходная дробь: $\frac{36 \cdot (-112)}{126 \cdot (-63)}$.

Так как в числителе и знаменателе находятся произведения с одним отрицательным множителем, то и числитель, и знаменатель являются отрицательными числами. Деление отрицательного числа на отрицательное дает положительное число. Следовательно, мы можем записать дробь без знаков минус:

$\frac{36 \cdot (-112)}{126 \cdot (-63)} = \frac{36 \cdot 112}{126 \cdot 63}$

Для сокращения дроби разложим числа на множители. Сначала сократим 36 и 126. Оба числа делятся на 18 ($36 = 2 \cdot 18$, $126 = 7 \cdot 18$) или на 9 ($36 = 4 \cdot 9$, $126 = 14 \cdot 9$). Сократим на 9:

$\frac{4 \cdot 9 \cdot 112}{14 \cdot 9 \cdot 63} = \frac{4 \cdot 112}{14 \cdot 63}$

Теперь сократим 4 и 14 на 2:

$\frac{2 \cdot 2 \cdot 112}{7 \cdot 2 \cdot 63} = \frac{2 \cdot 112}{7 \cdot 63}$

Заметим, что 112 делится на 7, так как $112 = 16 \cdot 7$. Также 63 делится на 7 ($63 = 9 \cdot 7$). Однако удобнее сократить 112 и 7:

$\frac{2 \cdot (16 \cdot 7)}{7 \cdot 63} = \frac{2 \cdot 16}{63} = \frac{32}{63}$

Дробь $\frac{32}{63}$ является несократимой, так как $32 = 2^5$, а $63 = 3^2 \cdot 7$, и у них нет общих множителей.

Ответ: $\frac{32}{63}$.

б)

Исходная дробь: $\frac{184 \cdot (-49)}{84 \cdot (-69)}$.

Деление отрицательного числа на отрицательное дает положительное число, поэтому убираем знаки минус:

$\frac{184 \cdot 49}{84 \cdot 69}$

Сократим дробь. Числа 184 и 84 делятся на 4: $184 = 46 \cdot 4$, $84 = 21 \cdot 4$.

$\frac{46 \cdot 4 \cdot 49}{21 \cdot 4 \cdot 69} = \frac{46 \cdot 49}{21 \cdot 69}$

Числа 49 и 21 делятся на 7: $49 = 7 \cdot 7$, $21 = 3 \cdot 7$.

$\frac{46 \cdot 7 \cdot 7}{3 \cdot 7 \cdot 69} = \frac{46 \cdot 7}{3 \cdot 69}$

Числа 46 и 69 делятся на 23: $46 = 2 \cdot 23$, $69 = 3 \cdot 23$.

$\frac{2 \cdot 23 \cdot 7}{3 \cdot 3 \cdot 23} = \frac{2 \cdot 7}{3 \cdot 3} = \frac{14}{9}$

Ответ: $\frac{14}{9}$.

в)

Исходная дробь: $\frac{(-315) \cdot 57}{114 \cdot (-108)}$.

Деление отрицательного числа на отрицательное дает положительное число:

$\frac{315 \cdot 57}{114 \cdot 108}$

Сократим дробь. Заметим, что $114 = 2 \cdot 57$.

$\frac{315 \cdot 57}{2 \cdot 57 \cdot 108} = \frac{315}{2 \cdot 108}$

Сумма цифр числа 315 ($3+1+5=9$) и числа 108 ($1+0+8=9$) делится на 9, значит, оба числа делятся на 9. $315 = 35 \cdot 9$, $108 = 12 \cdot 9$.

$\frac{35 \cdot 9}{2 \cdot 12 \cdot 9} = \frac{35}{2 \cdot 12} = \frac{35}{24}$

Ответ: $\frac{35}{24}$.

г)

Исходная дробь: $\frac{(-105) \cdot 84}{196 \cdot 125}$.

В числителе отрицательное число, а в знаменателе - положительное. Результат будет отрицательным.

$-\frac{105 \cdot 84}{196 \cdot 125}$

Сократим дробь. Числа 105 и 125 делятся на 5: $105 = 21 \cdot 5$, $125 = 25 \cdot 5$.

$-\frac{21 \cdot 5 \cdot 84}{196 \cdot 25 \cdot 5} = -\frac{21 \cdot 84}{196 \cdot 25}$

Числа 84 и 196 делятся на 4 ($84 = 21 \cdot 4$, $196 = 49 \cdot 4$). Также они делятся на 7 ($84=12 \cdot 7, 196=28 \cdot 7$). Сократим на 4:

$-\frac{21 \cdot (21 \cdot 4)}{(49 \cdot 4) \cdot 25} = -\frac{21 \cdot 21}{49 \cdot 25}$

Теперь разложим 21 и 49 на множители с семеркой: $21 = 3 \cdot 7$, $49 = 7 \cdot 7$.

$-\frac{(3 \cdot 7) \cdot (3 \cdot 7)}{(7 \cdot 7) \cdot 25} = -\frac{9 \cdot 49}{49 \cdot 25} = -\frac{9}{25}$

Ответ: $-\frac{9}{25}$.

д)

Исходная дробь: $\frac{(-111) \cdot (-9)}{78 \cdot 74}$.

Произведение двух отрицательных чисел в числителе дает положительное число. Знаменатель также положителен. Вся дробь будет положительной.

$\frac{111 \cdot 9}{78 \cdot 74}$

Разложим числа на множители. Заметим, что 111 делится на 3 ($1+1+1=3$), $111 = 3 \cdot 37$. Число 74 делится на 2, $74 = 2 \cdot 37$. Сократим на 37:

$\frac{3 \cdot 37 \cdot 9}{78 \cdot 2 \cdot 37} = \frac{3 \cdot 9}{78 \cdot 2}$

Число 78 делится на 3, так как сумма его цифр $7+8=15$ делится на 3. $78 = 26 \cdot 3$.

$\frac{3 \cdot 9}{26 \cdot 3 \cdot 2} = \frac{9}{26 \cdot 2} = \frac{9}{52}$

Ответ: $\frac{9}{52}$.

е)

Исходная дробь: $\frac{(-888) \cdot 55}{77 \cdot 999}$.

Числитель отрицательный, знаменатель положительный, значит, вся дробь будет отрицательной.

$-\frac{888 \cdot 55}{77 \cdot 999}$

Сократим дробь. Числа 55 и 77 делятся на 11: $55 = 5 \cdot 11$, $77 = 7 \cdot 11$.

$-\frac{888 \cdot 5 \cdot 11}{7 \cdot 11 \cdot 999} = -\frac{888 \cdot 5}{7 \cdot 999}$

Числа 888 и 999 можно представить как $8 \cdot 111$ и $9 \cdot 111$ соответственно. Сократим на 111:

$-\frac{8 \cdot 111 \cdot 5}{7 \cdot 9 \cdot 111} = -\frac{8 \cdot 5}{7 \cdot 9} = -\frac{40}{63}$

Ответ: $-\frac{40}{63}$.

4.93. а) $ \frac{(-1) \cdot 3}{6 \cdot (-4)}; $

б) $ \frac{(-3) \cdot 4}{6 \cdot (-5)}; $

В) $ \frac{(-4) \cdot 10}{(-30) \cdot 14}; $

Г) $ \frac{(-8) \cdot 18}{(-28) \cdot 6}; $

Д) $ \frac{(-12) \cdot (-5)}{(-21) \cdot 10}; $

е) $ \frac{(-75) \cdot (-24)}{(-32) \cdot (-100)}. $

а) $\frac{(-1) \cdot 3}{6 \cdot (-4)}$

Сначала определим знак дроби. В числителе находится произведение отрицательного и положительного чисел, результат отрицательный ($-3$). В знаменателе — произведение положительного и отрицательного, результат также отрицательный ($-24$). Частное двух отрицательных чисел является положительным числом.

Далее сократим дробь, убрав знаки минус и разложив числа на множители для сокращения:

$\frac{(-1) \cdot 3}{6 \cdot (-4)} = \frac{1 \cdot 3}{6 \cdot 4} = \frac{3}{24} = \frac{3}{3 \cdot 8} = \frac{1}{8}$

Или можно было сократить 3 и 6:

$\frac{1 \cdot 3}{6 \cdot 4} = \frac{1 \cdot \cancel{3}^1}{\cancel{6}_2 \cdot 4} = \frac{1}{2 \cdot 4} = \frac{1}{8}$

Ответ: $\frac{1}{8}$

б) $\frac{(-3) \cdot 4}{6 \cdot (-5)}$

Числитель ($-3 \cdot 4 = -12$) и знаменатель ($6 \cdot (-5) = -30$) являются отрицательными числами, следовательно, их частное будет положительным. Уберем знаки минус и сократим множители.

$\frac{3 \cdot 4}{6 \cdot 5} = \frac{\cancel{3}^1 \cdot 4}{\cancel{6}_2 \cdot 5} = \frac{4}{2 \cdot 5} = \frac{\cancel{4}^2}{\cancel{2}_1 \cdot 5} = \frac{2}{5}$

Ответ: $\frac{2}{5}$

в) $\frac{(-4) \cdot 10}{(-30) \cdot 14}$

Так как и в числителе, и в знаменателе произведения дают отрицательные числа, итоговый результат будет положительным. Выполним сокращение множителей.

$\frac{(-4) \cdot 10}{(-30) \cdot 14} = \frac{4 \cdot 10}{30 \cdot 14} = \frac{4 \cdot \cancel{10}^1}{\cancel{30}_3 \cdot 14} = \frac{4}{3 \cdot 14} = \frac{\cancel{4}^2}{3 \cdot \cancel{14}_7} = \frac{2}{3 \cdot 7} = \frac{2}{21}$

Ответ: $\frac{2}{21}$

г) $\frac{(-8) \cdot 18}{(-28) \cdot 6}$

Числитель и знаменатель дроби являются отрицательными числами, значит, итоговый результат будет положительным. Сократим дробь.

$\frac{(-8) \cdot 18}{(-28) \cdot 6} = \frac{8 \cdot 18}{28 \cdot 6} = \frac{8 \cdot \cancel{18}^3}{28 \cdot \cancel{6}_1} = \frac{8 \cdot 3}{28} = \frac{\cancel{8}^2 \cdot 3}{\cancel{28}_7} = \frac{2 \cdot 3}{7} = \frac{6}{7}$

Ответ: $\frac{6}{7}$

д) $\frac{(-12) \cdot (-5)}{(-21) \cdot 10}$

В числителе произведение двух отрицательных чисел, что дает положительный результат ($60$). В знаменателе произведение отрицательного и положительного чисел, что дает отрицательный результат ($-210$). Частное положительного и отрицательного чисел отрицательно.

$\frac{(-12) \cdot (-5)}{(-21) \cdot 10} = -\frac{12 \cdot 5}{21 \cdot 10} = -\frac{12 \cdot \cancel{5}^1}{21 \cdot \cancel{10}_2} = -\frac{12}{21 \cdot 2} = -\frac{\cancel{12}^6}{\cancel{2}_1 \cdot 21} = -\frac{6}{21} = -\frac{\cancel{6}^2}{\cancel{21}_7} = -\frac{2}{7}$

Ответ: $-\frac{2}{7}$

е) $\frac{(-75) \cdot (-24)}{(-32) \cdot (-100)}$

В числителе и в знаменателе находятся произведения двух отрицательных чисел, поэтому и числитель, и знаменатель будут положительными. Результат деления будет положительным.

$\frac{(-75) \cdot (-24)}{(-32) \cdot (-100)} = \frac{75 \cdot 24}{32 \cdot 100} = \frac{\cancel{75}^3 \cdot 24}{32 \cdot \cancel{100}_4} = \frac{3 \cdot 24}{32 \cdot 4} = \frac{3 \cdot \cancel{24}^3}{\cancel{32}_4 \cdot 4} = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 4} = \frac{9}{16}$

Ответ: $\frac{9}{16}$

4.94. a) $\frac{-3 \cdot 8 \cdot (-6)}{18 \cdot (-4)};$

б) $\frac{-7 \cdot 16}{-14 \cdot (-2) \cdot (-10)};$

В) $\frac{-2 \cdot (-3) \cdot (-6)}{-3 \cdot (-8) \cdot (-10)};$

Г) $\frac{-96 \cdot (-125)}{-75 \cdot (-128)};$

Д) $\frac{56 \cdot (-77)}{-121 \cdot (-49)};$

e) $\frac{-128 \cdot (-92)}{-256 \cdot (-48)}.$

а) Для вычисления значения выражения $\frac{-3 \cdot 8 \cdot (-6)}{18 \cdot (-4)}$ сначала определим знак результата. В числителе два отрицательных множителя, их произведение положительно. В знаменателе один отрицательный множитель, поэтому знаменатель отрицателен. При делении положительного числа на отрицательное результат будет отрицательным.
Теперь выполним вычисление, сократив дробь:
$\frac{-3 \cdot 8 \cdot (-6)}{18 \cdot (-4)} = \frac{18 \cdot 8}{-72} = -\frac{144}{72} = -2$.
Или через сокращение множителей:
$\frac{-3 \cdot 8 \cdot (-6)}{18 \cdot (-4)} = \frac{(-3) \cdot (-6) \cdot 8}{18 \cdot (-4)} = \frac{18 \cdot 8}{18 \cdot (-4)} = \frac{8}{-4} = -2$.
Ответ: -2.

б) Для вычисления значения выражения $\frac{-7 \cdot 16}{-14 \cdot (-2) \cdot (-10)}$ определим знак. В числителе один отрицательный множитель (результат отрицательный). В знаменателе три отрицательных множителя (результат отрицательный). Частное двух отрицательных чисел — число положительное.
Теперь выполним сокращение дроби:
$\frac{7 \cdot 16}{14 \cdot 2 \cdot 10} = \frac{7 \cdot 16}{(7 \cdot 2) \cdot 2 \cdot 10} = \frac{16}{2 \cdot 2 \cdot 10} = \frac{16}{40}$.
Сократим дробь $\frac{16}{40}$ на 8:
$\frac{16 \div 8}{40 \div 8} = \frac{2}{5}$.
Ответ: $\frac{2}{5}$.

в) Для вычисления значения выражения $\frac{-2 \cdot (-3) \cdot (-6)}{-3 \cdot (-8) \cdot (-10)}$ определим знак. В числителе три отрицательных множителя (результат отрицательный). В знаменателе три отрицательных множителя (результат отрицательный). Частное двух отрицательных чисел — число положительное.
Выполним сокращение. Можно сразу сократить $(-3)$ в числителе и знаменателе:
$\frac{-2 \cdot (-6)}{(-8) \cdot (-10)} = \frac{12}{80}$.
Сократим дробь $\frac{12}{80}$ на 4:
$\frac{12 \div 4}{80 \div 4} = \frac{3}{20}$.
Ответ: $\frac{3}{20}$.

г) Для вычисления значения выражения $\frac{-96 \cdot (-125)}{-75 \cdot (-128)}$ определим знак. В числителе два отрицательных множителя (результат положительный). В знаменателе два отрицательных множителя (результат положительный). Частное двух положительных чисел — число положительное.
Выполним сокращение, разложив числа на удобные множители:
$96 = 3 \cdot 32$; $125 = 5 \cdot 25$; $75 = 3 \cdot 25$; $128 = 4 \cdot 32$.
$\frac{96 \cdot 125}{75 \cdot 128} = \frac{(3 \cdot 32) \cdot (5 \cdot 25)}{(3 \cdot 25) \cdot (4 \cdot 32)} = \frac{3 \cdot 32 \cdot 5 \cdot 25}{3 \cdot 25 \cdot 4 \cdot 32}$.
Сокращаем общие множители 3, 32 и 25:
$\frac{\cancel{3} \cdot \cancel{32} \cdot 5 \cdot \cancel{25}}{\cancel{3} \cdot \cancel{25} \cdot 4 \cdot \cancel{32}} = \frac{5}{4}$.
Ответ: $\frac{5}{4}$.

д) Для вычисления значения выражения $\frac{56 \cdot (-77)}{-121 \cdot (-49)}$ определим знак. В числителе один отрицательный множитель (результат отрицательный). В знаменателе два отрицательных множителя (результат положительный). Частное отрицательного и положительного числа — число отрицательное.
Выполним сокращение, разложив числа на множители:
$56 = 7 \cdot 8$; $77 = 7 \cdot 11$; $121 = 11 \cdot 11$; $49 = 7 \cdot 7$.
$\frac{56 \cdot 77}{121 \cdot 49} = \frac{(7 \cdot 8) \cdot (7 \cdot 11)}{(11 \cdot 11) \cdot (7 \cdot 7)} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 11}{11 \cdot 11 \cdot 7 \cdot 7}$.
Сокращаем общие множители 7, 7 и 11:
$\frac{8 \cdot \cancel{7} \cdot \cancel{7} \cdot \cancel{11}}{11 \cdot \cancel{11} \cdot \cancel{7} \cdot \cancel{7}} = \frac{8}{11}$.
С учетом знака, результат равен $-\frac{8}{11}$.
Ответ: $-\frac{8}{11}$.

е) Для вычисления значения выражения $\frac{-128 \cdot (-92)}{-256 \cdot (-48)}$ определим знак. В числителе и знаменателе по два отрицательных множителя, значит, и числитель, и знаменатель положительны. Результат будет положительным.
Выполним сокращение дроби. Заметим, что $256 = 2 \cdot 128$:
$\frac{128 \cdot 92}{256 \cdot 48} = \frac{128 \cdot 92}{(2 \cdot 128) \cdot 48} = \frac{92}{2 \cdot 48} = \frac{92}{96}$.
Сократим дробь $\frac{92}{96}$. Наибольший общий делитель для 92 и 96 равен 4.
$\frac{92 \div 4}{96 \div 4} = \frac{23}{24}$.
Ответ: $\frac{23}{24}$.

4.95. Вычислите произведение по образцу:

$ \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \frac{2}{3} = \frac{-1 \cdot 2}{2 \cdot 3} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3} = -\frac{1}{3}; $

a) $ -\frac{3}{7} \cdot \frac{5}{9}; $

б) $ -\frac{3}{8} \cdot \frac{-4}{5}; $

в) $ -\frac{9}{10} \cdot \frac{-1}{-2}; $

г) $ -\frac{7}{2} \cdot \frac{4}{-35}; $

д) $ -\frac{5}{6} \cdot \frac{3}{10}; $

е) $ -\frac{7}{32} \cdot \frac{4}{-21}; $

ж) $ -\frac{2}{5} \cdot \left(-\frac{75}{2}\right); $

з) $ \frac{4}{3} \cdot \left(-\frac{9}{16}\right); $

и) $ -\frac{18}{5} \cdot \left(-\frac{4}{81}\right). $

а) Чтобы умножить две дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели. При умножении отрицательного числа на положительное, результат будет отрицательным.
$ \frac{-3}{7} \cdot \frac{5}{9} = -\frac{3 \cdot 5}{7 \cdot 9} $.
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 3.
$ -\frac{3 \cdot 5}{7 \cdot 9} = -\frac{\cancel{3} \cdot 5}{7 \cdot 3 \cdot \cancel{3}} = -\frac{5}{7 \cdot 3} = -\frac{5}{21} $.
Ответ: $ -\frac{5}{21} $

б) При умножении двух отрицательных чисел, результат будет положительным.
$ \frac{-3}{8} \cdot \frac{-4}{5} = \frac{3 \cdot 4}{8 \cdot 5} $.
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 4.
$ \frac{3 \cdot 4}{8 \cdot 5} = \frac{3 \cdot \cancel{4}}{2 \cdot \cancel{4} \cdot 5} = \frac{3}{2 \cdot 5} = \frac{3}{10} $.
Ответ: $ \frac{3}{10} $

в) Сначала упростим вторую дробь $ \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2} $. При умножении отрицательного числа на положительное, результат будет отрицательным.
$ \frac{-9}{10} \cdot \frac{-1}{-2} = \frac{-9}{10} \cdot \frac{1}{2} = \frac{-9 \cdot 1}{10 \cdot 2} = -\frac{9}{20} $.
Эту дробь сократить нельзя.
Ответ: $ -\frac{9}{20} $

г) При умножении двух отрицательных чисел (так как $ \frac{4}{-35} = -\frac{4}{35} $), результат будет положительным.
$ \frac{-7}{2} \cdot \frac{4}{-35} = \frac{7 \cdot 4}{2 \cdot 35} $.
Сократим дробь на общие делители 7 и 2.
$ \frac{7 \cdot 4}{2 \cdot 35} = \frac{\cancel{7} \cdot 2 \cdot \cancel{2}}{\cancel{2} \cdot 5 \cdot \cancel{7}} = \frac{2}{5} $.
Ответ: $ \frac{2}{5} $

д) При умножении отрицательного числа на положительное, результат будет отрицательным.
$ \frac{-5}{6} \cdot \frac{3}{10} = -\frac{5 \cdot 3}{6 \cdot 10} $.
Сократим дробь на общие делители 5 и 3.
$ -\frac{5 \cdot 3}{6 \cdot 10} = -\frac{\cancel{5} \cdot \cancel{3}}{(2 \cdot \cancel{3}) \cdot (2 \cdot \cancel{5})} = -\frac{1}{2 \cdot 2} = -\frac{1}{4} $.
Ответ: $ -\frac{1}{4} $

е) При умножении двух отрицательных чисел, результат будет положительным.
$ \frac{-7}{32} \cdot \frac{4}{-21} = \frac{7 \cdot 4}{32 \cdot 21} $.
Сократим дробь на общие делители 7 и 4.
$ \frac{7 \cdot 4}{32 \cdot 21} = \frac{\cancel{7} \cdot \cancel{4}}{(8 \cdot \cancel{4}) \cdot (3 \cdot \cancel{7})} = \frac{1}{8 \cdot 3} = \frac{1}{24} $.
Ответ: $ \frac{1}{24} $

ж) При умножении двух отрицательных чисел, результат будет положительным.
$ -\frac{2}{5} \cdot \left(-\frac{75}{2}\right) = \frac{2 \cdot 75}{5 \cdot 2} $.
Сократим дробь на 2 и 5.
$ \frac{\cancel{2} \cdot 75}{5 \cdot \cancel{2}} = \frac{75}{5} = 15 $.
Ответ: $ 15 $

з) При умножении положительного числа на отрицательное, результат будет отрицательным.
$ \frac{4}{3} \cdot \left(-\frac{9}{16}\right) = -\frac{4 \cdot 9}{3 \cdot 16} $.
Сократим дробь на общие делители 4 и 3.
$ -\frac{4 \cdot 9}{3 \cdot 16} = -\frac{\cancel{4} \cdot (3 \cdot \cancel{3})}{\cancel{3} \cdot (4 \cdot \cancel{4})} = -\frac{3}{4} $.
Ответ: $ -\frac{3}{4} $

и) При умножении двух отрицательных чисел, результат будет положительным.
$ -\frac{18}{5} \cdot \left(-\frac{4}{81}\right) = \frac{18 \cdot 4}{5 \cdot 81} $.
Сократим дробь на общий делитель 9.
$ \frac{18 \cdot 4}{5 \cdot 81} = \frac{(2 \cdot \cancel{9}) \cdot 4}{5 \cdot (9 \cdot \cancel{9})} = \frac{2 \cdot 4}{5 \cdot 9} = \frac{8}{45} $.
Ответ: $ \frac{8}{45} $

Вычислите (4.96–4.97):

4.96. a) $ -\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5}; $

б) $ \frac{3}{4} \cdot \left(-\frac{2}{9}\right); $

в) $ -\frac{4}{5} \cdot \left(-\frac{10}{3}\right); $

г) $ -\frac{1}{7} \cdot \left(-\frac{3}{4}\right); $

д) $ \frac{2}{5} \cdot \left(-\frac{3}{4}\right); $

е) $ -\frac{3}{8} \cdot \frac{4}{5}. $

а) Чтобы найти произведение двух дробей, нужно перемножить их числители и знаменатели. При умножении отрицательного числа на положительное, результат будет отрицательным. $ -\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} = -\frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 5} $ Сокращаем общие множители в числителе и знаменателе (в данном случае это 2): $ -\frac{1 \cdot \cancel{2}}{\cancel{2} \cdot 5} = -\frac{1}{5} $ Ответ: $ -\frac{1}{5} $

б) При умножении положительной дроби на отрицательную, результат будет отрицательным. Перемножим числители и знаменатели. $ \frac{3}{4} \cdot (-\frac{2}{9}) = -\frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 9} $ Перед вычислением сократим дробь. 3 и 9 делятся на 3, а 2 и 4 делятся на 2. $ -\frac{\cancel{3}^1 \cdot \cancel{2}^1}{\cancel{4}^2 \cdot \cancel{9}^3} = -\frac{1 \cdot 1}{2 \cdot 3} = -\frac{1}{6} $ Ответ: $ -\frac{1}{6} $

в) Произведение двух отрицательных чисел является положительным числом. $ -\frac{4}{5} \cdot (-\frac{10}{3}) = \frac{4 \cdot 10}{5 \cdot 3} $ Сократим 10 в числителе и 5 в знаменателе на 5: $ \frac{4 \cdot \cancel{10}^2}{\cancel{5}^1 \cdot 3} = \frac{4 \cdot 2}{1 \cdot 3} = \frac{8}{3} $ Данную неправильную дробь можно записать в виде смешанного числа: $ 2\frac{2}{3} $. Ответ: $ \frac{8}{3} $

г) Произведение двух отрицательных чисел является положительным числом. $ -\frac{1}{7} \cdot (-\frac{3}{4}) = \frac{1 \cdot 3}{7 \cdot 4} = \frac{3}{28} $ В данном выражении общих множителей для сокращения нет. Ответ: $ \frac{3}{28} $

д) При умножении положительной дроби на отрицательную, результат будет отрицательным. $ \frac{2}{5} \cdot (-\frac{3}{4}) = -\frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 4} $ Сократим 2 в числителе и 4 в знаменателе на 2: $ -\frac{\cancel{2}^1 \cdot 3}{5 \cdot \cancel{4}^2} = -\frac{1 \cdot 3}{5 \cdot 2} = -\frac{3}{10} $ Ответ: $ -\frac{3}{10} $

е) При умножении отрицательной дроби на положительную, результат будет отрицательным. $ -\frac{3}{8} \cdot \frac{4}{5} = -\frac{3 \cdot 4}{8 \cdot 5} $ Сократим 4 в числителе и 8 в знаменателе на 4: $ -\frac{3 \cdot \cancel{4}^1}{\cancel{8}^2 \cdot 5} = -\frac{3 \cdot 1}{2 \cdot 5} = -\frac{3}{10} $ Ответ: $ -\frac{3}{10} $