Номер 4.91, страница 147 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 4. Рациональные числа. 4.5. Умножение и деление дробей - номер 4.91, страница 147.

Условие.

4.91. a) $\frac{34}{35} : \frac{51}{55}$;

б) $\frac{37}{38} \cdot \frac{57}{148}$;

в) $\frac{54}{125} \cdot 35$;

г) $\frac{115}{116} : 62$;

д) $\frac{351}{625} \cdot \frac{250}{182}$;

е) $99 : \frac{143}{120}$.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй (перевернутую).

$ \frac{34}{35} : \frac{51}{55} = \frac{34}{35} \cdot \frac{55}{51} $

Перед умножением сократим дробь. Для этого разложим числа в числителях и знаменателях на множители. $34 = 2 \cdot 17$; $55 = 5 \cdot 11$; $35 = 5 \cdot 7$; $51 = 3 \cdot 17$.

$ \frac{34 \cdot 55}{35 \cdot 51} = \frac{(2 \cdot 17) \cdot (5 \cdot 11)}{(5 \cdot 7) \cdot (3 \cdot 17)} $

Сокращаем общие множители (17 и 5):

$ \frac{2 \cdot \cancel{17} \cdot \cancel{5} \cdot 11}{\cancel{5} \cdot 7 \cdot 3 \cdot \cancel{17}} = \frac{2 \cdot 11}{7 \cdot 3} = \frac{22}{21} $

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$ \frac{22}{21} = 1 \frac{1}{21} $

Ответ: $1 \frac{1}{21}$.

б) Чтобы умножить две дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели.

$ \frac{37}{38} \cdot \frac{57}{148} $

Разложим числа на множители для сокращения. $37$ - простое число; $38 = 2 \cdot 19$; $57 = 3 \cdot 19$; $148 = 4 \cdot 37$.

$ \frac{37 \cdot 57}{38 \cdot 148} = \frac{37 \cdot (3 \cdot 19)}{(2 \cdot 19) \cdot (4 \cdot 37)} $

Сокращаем общие множители (37 и 19):

$ \frac{\cancel{37} \cdot 3 \cdot \cancel{19}}{2 \cdot \cancel{19} \cdot 4 \cdot \cancel{37}} = \frac{3}{2 \cdot 4} = \frac{3}{8} $

Ответ: $ \frac{3}{8} $.

в) Чтобы умножить дробь на целое число, нужно числитель дроби умножить на это число, а знаменатель оставить без изменений. Представим 35 как $ \frac{35}{1} $.

$ \frac{54}{125} \cdot 35 = \frac{54 \cdot 35}{125} $

Сократим дробь на общий делитель 5:

$ \frac{54 \cdot (5 \cdot 7)}{25 \cdot 5} = \frac{54 \cdot 7}{25} = \frac{378}{25} $

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$ \frac{378}{25} = 15 \frac{3}{25} $

Ответ: $15 \frac{3}{25}$.

г) Чтобы разделить дробь на целое число, нужно знаменатель дроби умножить на это число. Представим 62 как $ \frac{62}{1} $.

$ \frac{115}{116} : 62 = \frac{115}{116} : \frac{62}{1} = \frac{115}{116} \cdot \frac{1}{62} = \frac{115}{116 \cdot 62} $

Проверим, можно ли сократить дробь. Разложим числа на множители: $115 = 5 \cdot 23$; $116 = 4 \cdot 29$; $62 = 2 \cdot 31$.

Общих множителей в числителе и знаменателе нет. Вычислим произведение в знаменателе:

$ 116 \cdot 62 = 7192 $

$ \frac{115}{7192} $

Ответ: $ \frac{115}{7192} $.

д) Перемножим числители и знаменатели.

$ \frac{351}{625} \cdot \frac{250}{182} = \frac{351 \cdot 250}{625 \cdot 182} $

Разложим числа на множители для сокращения: $351 = 27 \cdot 13$; $250 = 2 \cdot 125$; $625 = 5 \cdot 125$; $182 = 2 \cdot 7 \cdot 13$.

$ \frac{(27 \cdot 13) \cdot (2 \cdot 125)}{(5 \cdot 125) \cdot (2 \cdot 7 \cdot 13)} $

Сокращаем общие множители (13, 2, 125):

$ \frac{27 \cdot \cancel{13} \cdot \cancel{2} \cdot \cancel{125}}{5 \cdot \cancel{125} \cdot \cancel{2} \cdot 7 \cdot \cancel{13}} = \frac{27}{5 \cdot 7} = \frac{27}{35} $

Ответ: $ \frac{27}{35} $.

е) Чтобы разделить целое число на дробь, нужно это число умножить на обратную дробь.

$ 99 : \frac{143}{120} = 99 \cdot \frac{120}{143} = \frac{99 \cdot 120}{143} $

Разложим числа на множители для сокращения. $99 = 9 \cdot 11$; $143 = 11 \cdot 13$.

$ \frac{(9 \cdot 11) \cdot 120}{11 \cdot 13} $

Сокращаем общий множитель 11:

$ \frac{9 \cdot \cancel{11} \cdot 120}{\cancel{11} \cdot 13} = \frac{9 \cdot 120}{13} = \frac{1080}{13} $

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$ \frac{1080}{13} = 83 \frac{1}{13} $

Ответ: $83 \frac{1}{13}$.