Номер 4.92, страница 147 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 4. Рациональные числа. 4.5. Умножение и деление дробей - номер 4.92, страница 147.

Условие.

Сократите дробь (4.92–4.94):

4.92. a) $ \frac{36 \cdot (-112)}{126 \cdot (-63)} $;

б) $ \frac{184 \cdot (-49)}{84 \cdot (-69)} $;

в) $ \frac{(-315) \cdot 57}{114 \cdot (-108)} $;

г) $ \frac{(-105) \cdot 84}{196 \cdot 125} $;

д) $ \frac{(-111) \cdot (-9)}{78 \cdot 74} $;

е) $ \frac{(-888) \cdot 55}{77 \cdot 999} $.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а)

Исходная дробь: $\frac{36 \cdot (-112)}{126 \cdot (-63)}$.

Так как в числителе и знаменателе находятся произведения с одним отрицательным множителем, то и числитель, и знаменатель являются отрицательными числами. Деление отрицательного числа на отрицательное дает положительное число. Следовательно, мы можем записать дробь без знаков минус:

$\frac{36 \cdot (-112)}{126 \cdot (-63)} = \frac{36 \cdot 112}{126 \cdot 63}$

Для сокращения дроби разложим числа на множители. Сначала сократим 36 и 126. Оба числа делятся на 18 ($36 = 2 \cdot 18$, $126 = 7 \cdot 18$) или на 9 ($36 = 4 \cdot 9$, $126 = 14 \cdot 9$). Сократим на 9:

$\frac{4 \cdot 9 \cdot 112}{14 \cdot 9 \cdot 63} = \frac{4 \cdot 112}{14 \cdot 63}$

Теперь сократим 4 и 14 на 2:

$\frac{2 \cdot 2 \cdot 112}{7 \cdot 2 \cdot 63} = \frac{2 \cdot 112}{7 \cdot 63}$

Заметим, что 112 делится на 7, так как $112 = 16 \cdot 7$. Также 63 делится на 7 ($63 = 9 \cdot 7$). Однако удобнее сократить 112 и 7:

$\frac{2 \cdot (16 \cdot 7)}{7 \cdot 63} = \frac{2 \cdot 16}{63} = \frac{32}{63}$

Дробь $\frac{32}{63}$ является несократимой, так как $32 = 2^5$, а $63 = 3^2 \cdot 7$, и у них нет общих множителей.

Ответ: $\frac{32}{63}$.

б)

Исходная дробь: $\frac{184 \cdot (-49)}{84 \cdot (-69)}$.

Деление отрицательного числа на отрицательное дает положительное число, поэтому убираем знаки минус:

$\frac{184 \cdot 49}{84 \cdot 69}$

Сократим дробь. Числа 184 и 84 делятся на 4: $184 = 46 \cdot 4$, $84 = 21 \cdot 4$.

$\frac{46 \cdot 4 \cdot 49}{21 \cdot 4 \cdot 69} = \frac{46 \cdot 49}{21 \cdot 69}$

Числа 49 и 21 делятся на 7: $49 = 7 \cdot 7$, $21 = 3 \cdot 7$.

$\frac{46 \cdot 7 \cdot 7}{3 \cdot 7 \cdot 69} = \frac{46 \cdot 7}{3 \cdot 69}$

Числа 46 и 69 делятся на 23: $46 = 2 \cdot 23$, $69 = 3 \cdot 23$.

$\frac{2 \cdot 23 \cdot 7}{3 \cdot 3 \cdot 23} = \frac{2 \cdot 7}{3 \cdot 3} = \frac{14}{9}$

Ответ: $\frac{14}{9}$.

в)

Исходная дробь: $\frac{(-315) \cdot 57}{114 \cdot (-108)}$.

Деление отрицательного числа на отрицательное дает положительное число:

$\frac{315 \cdot 57}{114 \cdot 108}$

Сократим дробь. Заметим, что $114 = 2 \cdot 57$.

$\frac{315 \cdot 57}{2 \cdot 57 \cdot 108} = \frac{315}{2 \cdot 108}$

Сумма цифр числа 315 ($3+1+5=9$) и числа 108 ($1+0+8=9$) делится на 9, значит, оба числа делятся на 9. $315 = 35 \cdot 9$, $108 = 12 \cdot 9$.

$\frac{35 \cdot 9}{2 \cdot 12 \cdot 9} = \frac{35}{2 \cdot 12} = \frac{35}{24}$

Ответ: $\frac{35}{24}$.

г)

Исходная дробь: $\frac{(-105) \cdot 84}{196 \cdot 125}$.

В числителе отрицательное число, а в знаменателе - положительное. Результат будет отрицательным.

$-\frac{105 \cdot 84}{196 \cdot 125}$

Сократим дробь. Числа 105 и 125 делятся на 5: $105 = 21 \cdot 5$, $125 = 25 \cdot 5$.

$-\frac{21 \cdot 5 \cdot 84}{196 \cdot 25 \cdot 5} = -\frac{21 \cdot 84}{196 \cdot 25}$

Числа 84 и 196 делятся на 4 ($84 = 21 \cdot 4$, $196 = 49 \cdot 4$). Также они делятся на 7 ($84=12 \cdot 7, 196=28 \cdot 7$). Сократим на 4:

$-\frac{21 \cdot (21 \cdot 4)}{(49 \cdot 4) \cdot 25} = -\frac{21 \cdot 21}{49 \cdot 25}$

Теперь разложим 21 и 49 на множители с семеркой: $21 = 3 \cdot 7$, $49 = 7 \cdot 7$.

$-\frac{(3 \cdot 7) \cdot (3 \cdot 7)}{(7 \cdot 7) \cdot 25} = -\frac{9 \cdot 49}{49 \cdot 25} = -\frac{9}{25}$

Ответ: $-\frac{9}{25}$.

д)

Исходная дробь: $\frac{(-111) \cdot (-9)}{78 \cdot 74}$.

Произведение двух отрицательных чисел в числителе дает положительное число. Знаменатель также положителен. Вся дробь будет положительной.

$\frac{111 \cdot 9}{78 \cdot 74}$

Разложим числа на множители. Заметим, что 111 делится на 3 ($1+1+1=3$), $111 = 3 \cdot 37$. Число 74 делится на 2, $74 = 2 \cdot 37$. Сократим на 37:

$\frac{3 \cdot 37 \cdot 9}{78 \cdot 2 \cdot 37} = \frac{3 \cdot 9}{78 \cdot 2}$

Число 78 делится на 3, так как сумма его цифр $7+8=15$ делится на 3. $78 = 26 \cdot 3$.

$\frac{3 \cdot 9}{26 \cdot 3 \cdot 2} = \frac{9}{26 \cdot 2} = \frac{9}{52}$

Ответ: $\frac{9}{52}$.

е)

Исходная дробь: $\frac{(-888) \cdot 55}{77 \cdot 999}$.

Числитель отрицательный, знаменатель положительный, значит, вся дробь будет отрицательной.

$-\frac{888 \cdot 55}{77 \cdot 999}$

Сократим дробь. Числа 55 и 77 делятся на 11: $55 = 5 \cdot 11$, $77 = 7 \cdot 11$.

$-\frac{888 \cdot 5 \cdot 11}{7 \cdot 11 \cdot 999} = -\frac{888 \cdot 5}{7 \cdot 999}$

Числа 888 и 999 можно представить как $8 \cdot 111$ и $9 \cdot 111$ соответственно. Сократим на 111:

$-\frac{8 \cdot 111 \cdot 5}{7 \cdot 9 \cdot 111} = -\frac{8 \cdot 5}{7 \cdot 9} = -\frac{40}{63}$

Ответ: $-\frac{40}{63}$.