Страница 149 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

4.106. а) $-\frac{3}{5} \cdot \left( -\frac{2}{5} \right);$

б) $\frac{2}{3} \cdot \left( -\frac{5}{7} \right);$

в) $-\frac{3}{7} : \left( -\frac{4}{5} \right);$

г) $\frac{3}{5} : \left( -\frac{2}{3} \right);$

д) $-\frac{15}{16} \cdot \left( -\frac{48}{25} \right);$

е) $-\frac{5}{3} : \frac{25}{27};$

ж) $-\frac{3}{4} \cdot \left( -\frac{4}{5} \right);$

з) $-\frac{2}{3} : \left( -\frac{4}{5} \right);$

и) $\left( -\frac{3}{5} \right) \cdot \left( -\frac{3}{5} \right) : \left( -\frac{3}{5} \right).$

а) Чтобы умножить две отрицательные дроби, нужно перемножить их модули. Результат будет положительным. Умножим числители и знаменатели:

$-\frac{3}{5} \cdot (-\frac{2}{5}) = \frac{3 \cdot 2}{5 \cdot 5} = \frac{6}{25}$

Ответ: $\frac{6}{25}$

б) Чтобы умножить дроби с разными знаками, нужно перемножить их модули и перед результатом поставить знак минус. Умножим числители и знаменатели:

$\frac{2}{3} \cdot (-\frac{5}{7}) = -(\frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 7}) = -\frac{10}{21}$

Ответ: $-\frac{10}{21}$

в) Чтобы разделить одну отрицательную дробь на другую, нужно разделить их модули. Результат будет положительным. Деление на дробь заменяется умножением на обратную ей дробь:

$-\frac{3}{7} : (-\frac{4}{5}) = \frac{3}{7} \cdot \frac{5}{4} = \frac{3 \cdot 5}{7 \cdot 4} = \frac{15}{28}$

Ответ: $\frac{15}{28}$

г) Чтобы разделить дроби с разными знаками, нужно разделить их модули и перед результатом поставить знак минус. Деление на дробь заменяется умножением на обратную ей дробь:

$\frac{3}{5} : (-\frac{2}{3}) = -(\frac{3}{5} \cdot \frac{3}{2}) = -(\frac{3 \cdot 3}{5 \cdot 2}) = -\frac{9}{10}$

Ответ: $-\frac{9}{10}$

д) Произведение двух отрицательных чисел положительно. Чтобы перемножить дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели. Сократим дроби перед умножением:

$-\frac{15}{16} \cdot (-\frac{48}{25}) = \frac{15}{16} \cdot \frac{48}{25} = \frac{15 \cdot 48}{16 \cdot 25} = \frac{(3 \cdot 5) \cdot (3 \cdot 16)}{16 \cdot (5 \cdot 5)} = \frac{3 \cdot \cancel{5} \cdot 3 \cdot \cancel{16}}{\cancel{16} \cdot \cancel{5} \cdot 5} = \frac{9}{5}$

Ответ: $\frac{9}{5}$

е) Частное от деления отрицательного числа на положительное отрицательно. Деление на дробь заменяется умножением на обратную ей дробь. Сократим дроби перед умножением:

$-\frac{5}{3} : \frac{25}{27} = -\frac{5}{3} \cdot \frac{27}{25} = -(\frac{5 \cdot 27}{3 \cdot 25}) = -(\frac{5 \cdot (9 \cdot 3)}{3 \cdot (5 \cdot 5)}) = -(\frac{\cancel{5} \cdot 9 \cdot \cancel{3}}{\cancel{3} \cdot \cancel{5} \cdot 5}) = -\frac{9}{5}$

Ответ: $-\frac{9}{5}$

ж) Произведение двух отрицательных чисел положительно. Сократим дроби перед умножением:

$(-\frac{3}{4}) \cdot (-\frac{4}{5}) = \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5} = \frac{3 \cdot \cancel{4}}{\cancel{4} \cdot 5} = \frac{3}{5}$

Ответ: $\frac{3}{5}$

з) Частное от деления двух отрицательных чисел положительно. Деление на дробь заменяется умножением на обратную ей дробь. Сократим дроби перед умножением:

$-\frac{2}{3} : (-\frac{4}{5}) = \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{4} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 4} = \frac{\cancel{2} \cdot 5}{3 \cdot (2 \cdot \cancel{2})} = \frac{5}{6}$

Ответ: $\frac{5}{6}$

и) Выполним действия по порядку. Сначала умножение, затем деление.

1) $(-\frac{3}{5}) \cdot (-\frac{3}{5}) = \frac{3 \cdot 3}{5 \cdot 5} = \frac{9}{25}$

2) $\frac{9}{25} : (-\frac{3}{5}) = -(\frac{9}{25} \cdot \frac{5}{3}) = -(\frac{(3 \cdot \cancel{3}) \cdot \cancel{5}}{(\cancel{5} \cdot 5) \cdot \cancel{3}}) = -\frac{3}{5}$

Также можно заметить, что выражение имеет вид $a \cdot a : a = a$, где $a = -\frac{3}{5}$.

Ответ: $-\frac{3}{5}$

4.107. Найдите число x, для которого верно равенство:

а) $x \cdot \frac{3}{5} = -\frac{4}{15};$

б) $-\frac{2}{3} \cdot x = \frac{4}{7};$

в) $x : \frac{1}{2} = -\frac{1}{4};$

г) $\frac{2}{7} : x = -\frac{22}{21};$

д) $-\frac{3}{8} : x = -\frac{1}{2};$

е) $x : \left(-\frac{5}{6}\right) = \frac{2}{5}.$

а) Дано равенство: $x \cdot \frac{3}{5} = -\frac{4}{15}$.
В этом уравнении $x$ является неизвестным множителем. Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение ($-\frac{4}{15}$) разделить на известный множитель ($\frac{3}{5}$):
$x = -\frac{4}{15} : \frac{3}{5}$
Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на дробь, обратную делителю:
$x = -\frac{4}{15} \cdot \frac{5}{3}$
Сократим числитель и знаменатель на 5:
$x = -\frac{4}{3 \cdot 5} \cdot \frac{5}{3} = -\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{3} = -\frac{4 \cdot 1}{3 \cdot 3} = -\frac{4}{9}$.
Ответ: $-\frac{4}{9}$.

б) Дано равенство: $-\frac{2}{3} \cdot x = \frac{4}{7}$.
Здесь $x$ — неизвестный множитель. Чтобы его найти, разделим произведение ($\frac{4}{7}$) на известный множитель ($-\frac{2}{3}$):
$x = \frac{4}{7} : (-\frac{2}{3})$
Выполним умножение на обратную дробь:
$x = \frac{4}{7} \cdot (-\frac{3}{2})$
Сократим 4 и 2 на их общий делитель 2:
$x = -(\frac{4 \cdot 3}{7 \cdot 2}) = -(\frac{2 \cdot 3}{7 \cdot 1}) = -\frac{6}{7}$.
Ответ: $-\frac{6}{7}$.

в) Дано равенство: $x : \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}$.
В этом уравнении $x$ является неизвестным делимым. Чтобы найти неизвестное делимое, нужно частное ($-\frac{1}{4}$) умножить на делитель ($\frac{1}{2}$):
$x = -\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2}$
Перемножим числители и знаменатели:
$x = -\frac{1 \cdot 1}{4 \cdot 2} = -\frac{1}{8}$.
Ответ: $-\frac{1}{8}$.

г) Дано равенство: $\frac{2}{7} : x = -\frac{22}{21}$.
Здесь $x$ — неизвестный делитель. Чтобы его найти, нужно делимое ($\frac{2}{7}$) разделить на частное ($-\frac{22}{21}$):
$x = \frac{2}{7} : (-\frac{22}{21})$
Выполним умножение на обратную дробь:
$x = \frac{2}{7} \cdot (-\frac{21}{22})$
Сократим дроби: 2 и 22 на 2, а 21 и 7 на 7:
$x = -(\frac{2}{7} \cdot \frac{21}{22}) = -(\frac{1}{1} \cdot \frac{3}{11}) = -\frac{3}{11}$.
Ответ: $-\frac{3}{11}$.

д) Дано равенство: $-\frac{3}{8} : x = -\frac{1}{2}$.
Здесь $x$ — неизвестный делитель. Чтобы его найти, нужно делимое ($-\frac{3}{8}$) разделить на частное ($-\frac{1}{2}$):
$x = (-\frac{3}{8}) : (-\frac{1}{2})$
Деление отрицательного числа на отрицательное дает положительное число. Заменяем деление умножением на обратную дробь:
$x = \frac{3}{8} \cdot \frac{2}{1}$
Сократим 8 и 2 на 2:
$x = \frac{3 \cdot 2}{8} = \frac{3 \cdot 1}{4} = \frac{3}{4}$.
Ответ: $\frac{3}{4}$.

е) Дано равенство: $x : (-\frac{5}{6}) = \frac{2}{5}$.
В этом уравнении $x$ является неизвестным делимым. Чтобы найти неизвестное делимое, нужно частное ($\frac{2}{5}$) умножить на делитель ($-\frac{5}{6}$):
$x = \frac{2}{5} \cdot (-\frac{5}{6})$
Сократим дроби: 5 и 5 на 5, а 2 и 6 на 2:
$x = -(\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{6}) = -(\frac{1}{1} \cdot \frac{1}{3}) = -\frac{1}{3}$.
Ответ: $-\frac{1}{3}$.

4.108. Вычислите:

а) $\left(-\frac{2}{3}\right)^3$;

б) $\left(\frac{3}{-4}\right)^2$;

в) $\left(\frac{1}{-10}\right)^3$;

г) $\left(-\frac{5}{6}\right)^2$;

д) $\left(-\frac{6}{-7}\right)^2$;

е) $\left(-\frac{3}{4}\right)^3$;

ж) $\left(-\frac{3}{10}\right)^4$;

з) $\left(-\frac{1}{2}\right)^5$;

и) $\left(-\frac{1}{3}\right)^3$;

к) $\left(-\frac{2}{3}\right)^4$;

л) $\left(-\frac{2}{3}\right)^5$.

а) Для возведения дроби в степень необходимо возвести в эту степень ее числитель и знаменатель. Так как основание степени является отрицательным числом, а показатель степени — нечетным числом (3), то результат будет отрицательным. $\left(-\frac{2}{3}\right)^3 = -\frac{2^3}{3^3} = -\frac{8}{27}$. Ответ: $-\frac{8}{27}$

б) Дробь $\frac{3}{-4}$ является отрицательной. Так как показатель степени — четное число (2), результат возведения в степень будет положительным. $\left(\frac{3}{-4}\right)^2 = \left(-\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{3^2}{4^2} = \frac{9}{16}$. Ответ: $\frac{9}{16}$

в) Дробь $\frac{1}{-10}$ является отрицательной. Так как показатель степени — нечетное число (3), результат возведения в степень будет отрицательным. $\left(\frac{1}{-10}\right)^3 = \left(-\frac{1}{10}\right)^3 = -\frac{1^3}{10^3} = -\frac{1}{1000}$. Ответ: $-\frac{1}{1000}$

г) Основание степени — отрицательное число, а показатель степени — четное число (2). Следовательно, результат будет положительным. $\left(-\frac{5}{6}\right)^2 = \frac{5^2}{6^2} = \frac{25}{36}$. Ответ: $\frac{25}{36}$

д) Основание степени — отрицательное число, а показатель степени — четное число (2). Следовательно, результат будет положительным. $\left(-\frac{6}{7}\right)^2 = \frac{6^2}{7^2} = \frac{36}{49}$. Ответ: $\frac{36}{49}$

е) Основание степени — отрицательное число, а показатель степени — нечетное число (3). Следовательно, результат будет отрицательным. $\left(-\frac{3}{4}\right)^3 = -\frac{3^3}{4^3} = -\frac{27}{64}$. Ответ: $-\frac{27}{64}$

ж) Основание степени — отрицательное число, а показатель степени — четное число (4). Следовательно, результат будет положительным. $\left(-\frac{3}{10}\right)^4 = \frac{3^4}{10^4} = \frac{81}{10000}$. Ответ: $\frac{81}{10000}$

з) Основание степени — отрицательное число, а показатель степени — нечетное число (5). Следовательно, результат будет отрицательным. $\left(-\frac{1}{2}\right)^5 = -\frac{1^5}{2^5} = -\frac{1}{32}$. Ответ: $-\frac{1}{32}$

и) Основание степени — отрицательное число, а показатель степени — нечетное число (3). Следовательно, результат будет отрицательным. $\left(-\frac{1}{3}\right)^3 = -\frac{1^3}{3^3} = -\frac{1}{27}$. Ответ: $-\frac{1}{27}$

к) Основание степени — отрицательное число, а показатель степени — четное число (4). Следовательно, результат будет положительным. $\left(-\frac{2}{3}\right)^4 = \frac{2^4}{3^4} = \frac{16}{81}$. Ответ: $\frac{16}{81}$

л) Основание степени — отрицательное число, а показатель степени — нечетное число (5). Следовательно, результат будет отрицательным. $\left(-\frac{2}{3}\right)^5 = -\frac{2^5}{3^5} = -\frac{32}{243}$. Ответ: $-\frac{32}{243}$

4.109. Положительным или отрицательным числом является степень отрицательной дроби:

а) с чётным показателем;

б) с нечётным показателем?

а) с чётным показателем

При возведении отрицательного числа (в данном случае, отрицательной дроби) в чётную степень, результат всегда будет положительным числом.
Это следует из правила умножения отрицательных чисел. Произведение чётного числа отрицательных множителей положительно, так как их можно разбить на пары, каждая из которых в произведении даёт положительное число.
Пусть у нас есть отрицательная дробь $ -d $ (где $ d > 0 $) и чётный показатель степени $ n $ (то есть $ n = 2k $, где $ k $ - натуральное число).
Тогда $ (-d)^n = (-d)^{2k} = ((-d)^2)^k $.
Поскольку $ (-d)^2 = (-d) \cdot (-d) = d^2 > 0 $, то и любая степень этого положительного числа $ (d^2)^k $ будет положительной.
Например: $ \left(-\frac{1}{2}\right)^4 = \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = \left(\frac{1}{4}\right) \cdot \left(\frac{1}{4}\right) = \frac{1}{16} $. Результат $ \frac{1}{16} $ — положительное число.
Ответ: положительным числом.

б) с нечётным показателем

При возведении отрицательного числа в нечётную степень, результат всегда будет отрицательным числом.
Это также следует из правила умножения. Произведение нечётного числа отрицательных множителей отрицательно. Если разбить множители на пары, одна из них останется без пары, и именно этот последний отрицательный множитель сделает всё произведение отрицательным.
Пусть у нас есть отрицательная дробь $ -d $ (где $ d > 0 $) и нечётный показатель степени $ m $ (то есть $ m = 2k+1 $, где $ k $ - целое неотрицательное число).
Тогда $ (-d)^m = (-d)^{2k+1} = (-d)^{2k} \cdot (-d) $.
Мы уже знаем из пункта а), что $ (-d)^{2k} $ — это положительное число. При умножении этого положительного числа на отрицательное число $ -d $ результат будет отрицательным.
Например: $ \left(-\frac{1}{2}\right)^3 = \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = \left(\frac{1}{4}\right) \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{8} $. Результат $ -\frac{1}{8} $ — отрицательное число.
Ответ: отрицательным числом.

Определите порядок действий, вычислите (4.110–4.112):

4.110. а) $(-\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2};$

б) $\frac{1}{3} - (-\frac{1}{3})^2;$

в) $(-\frac{1}{3})^3 - \frac{1}{9};$

г) $\frac{1}{2} - (-\frac{1}{2})^3;$

д) $\frac{1}{16} - (-\frac{1}{2})^4;$

е) $(-\frac{98}{99})^3 - (-\frac{98}{99})^3.$

а) $(\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2}$

Порядок действий: сначала возведение в степень, затем вычитание.

1. Возводим в степень: $(\frac{1}{2})^2 = \frac{1^2}{2^2} = \frac{1}{4}$.

2. Выполняем вычитание: $\frac{1}{4} - \frac{1}{2}$. Приводим дроби к общему знаменателю 4: $\frac{1}{4} - \frac{2}{4} = \frac{1-2}{4} = -\frac{1}{4}$.

Ответ: $-\frac{1}{4}$

б) $\frac{1}{3} - (-\frac{1}{3})^2$

Порядок действий: сначала возведение в степень, затем вычитание.

1. Возводим в степень: $(-\frac{1}{3})^2 = \frac{(-1)^2}{3^2} = \frac{1}{9}$. Так как степень четная, результат положительный.

2. Выполняем вычитание: $\frac{1}{3} - \frac{1}{9}$. Приводим дроби к общему знаменателю 9: $\frac{3}{9} - \frac{1}{9} = \frac{3-1}{9} = \frac{2}{9}$.

Ответ: $\frac{2}{9}$

в) $(-\frac{1}{3})^3 - \frac{1}{9}$

Порядок действий: сначала возведение в степень, затем вычитание.

1. Возводим в степень: $(-\frac{1}{3})^3 = \frac{(-1)^3}{3^3} = -\frac{1}{27}$. Так как степень нечетная, результат отрицательный.

2. Выполняем вычитание: $-\frac{1}{27} - \frac{1}{9}$. Приводим дроби к общему знаменателю 27: $-\frac{1}{27} - \frac{3}{27} = \frac{-1-3}{27} = -\frac{4}{27}$.

Ответ: $-\frac{4}{27}$

г) $\frac{1}{2} - (-\frac{1}{2})^3$

Порядок действий: сначала возведение в степень, затем вычитание.

1. Возводим в степень: $(-\frac{1}{2})^3 = \frac{(-1)^3}{2^3} = -\frac{1}{8}$.

2. Выполняем вычитание: $\frac{1}{2} - (-\frac{1}{8}) = \frac{1}{2} + \frac{1}{8}$. Приводим дроби к общему знаменателю 8: $\frac{4}{8} + \frac{1}{8} = \frac{4+1}{8} = \frac{5}{8}$.

Ответ: $\frac{5}{8}$

д) $\frac{1}{16} - (-\frac{1}{2})^4$

Порядок действий: сначала возведение в степень, затем вычитание.

1. Возводим в степень: $(-\frac{1}{2})^4 = \frac{(-1)^4}{2^4} = \frac{1}{16}$.

2. Выполняем вычитание: $\frac{1}{16} - \frac{1}{16} = 0$.

Ответ: $0$

е) $(-\frac{98}{99})^3 - (-\frac{98}{99})^3$

Порядок действий: данное выражение представляет собой разность двух одинаковых чисел. Вычисление значения степени не требуется.

Выражение имеет вид $a - a$, где $a = (-\frac{98}{99})^3$. Результат вычитания числа из самого себя всегда равен нулю.

$(-\frac{98}{99})^3 - (-\frac{98}{99})^3 = 0$.

Ответ: $0$

4.111. a) $\frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) + \left(-\frac{1}{2}\right)^2$;

б) $-\frac{3}{4} \cdot \frac{12}{7} - \left(-\frac{1}{7}\right)^2$;

в) $-\frac{1}{3} \cdot \frac{6}{5} - \frac{5}{6} \cdot \frac{3}{25}$;

г) $\frac{3}{10} \cdot \left(-\frac{5}{6}\right) + \frac{2}{3} \cdot \left(-\frac{3}{8}\right)$.

а) Для решения выражения $\frac{1}{2} \cdot (-\frac{2}{3}) + (-\frac{1}{2})^2$ следуем порядку действий: сначала возведение в степень, затем умножение и в конце сложение.
1. Возводим в степень: $(-\frac{1}{2})^2 = (-\frac{1}{2}) \cdot (-\frac{1}{2}) = \frac{1}{4}$.
2. Выполняем умножение: $\frac{1}{2} \cdot (-\frac{2}{3}) = -\frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 3} = -\frac{2}{6}$. Сокращаем дробь: $-\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}$.
3. Выполняем сложение: $-\frac{1}{3} + \frac{1}{4}$. Находим общий знаменатель, который равен 12. Приводим дроби к общему знаменателю: $-\frac{1 \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} = -\frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{-4+3}{12} = -\frac{1}{12}$.
Ответ: $-\frac{1}{12}$.

б) Для решения выражения $-\frac{3}{4} \cdot \frac{12}{7} - (-\frac{1}{7})^2$ следуем порядку действий: сначала возведение в степень, затем умножение и в конце вычитание.
1. Возводим в степень: $(-\frac{1}{7})^2 = (-\frac{1}{7}) \cdot (-\frac{1}{7}) = \frac{1}{49}$.
2. Выполняем умножение: $-\frac{3}{4} \cdot \frac{12}{7}$. Сократим 4 и 12 на 4: $-\frac{3}{1} \cdot \frac{3}{7} = -\frac{3 \cdot 3}{1 \cdot 7} = -\frac{9}{7}$.
3. Выполняем вычитание: $-\frac{9}{7} - \frac{1}{49}$. Находим общий знаменатель, который равен 49. Приводим первую дробь к общему знаменателю: $-\frac{9 \cdot 7}{7 \cdot 7} - \frac{1}{49} = -\frac{63}{49} - \frac{1}{49} = \frac{-63-1}{49} = -\frac{64}{49}$.
Ответ: $-\frac{64}{49}$.

в) Для решения выражения $-\frac{1}{3} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{3}{25}$ выполним умножение дробей. Удобно сократить множители в числителях и знаменателях.
$-\frac{1}{3} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{3}{25} = -\frac{1 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 3}{3 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 25}$.
Сокращаем одинаковые множители (3, 5, 6) в числителе и знаменателе:
$-\frac{1 \cdot \cancel{6} \cdot \cancel{5} \cdot \cancel{3}}{\cancel{3} \cdot \cancel{5} \cdot \cancel{6} \cdot 25} = -\frac{1}{25}$.
Ответ: $-\frac{1}{25}$.

г) Для решения выражения $\frac{3}{10} \cdot (-\frac{5}{6}) + \frac{2}{3} \cdot (-\frac{3}{8})$ следуем порядку действий: сначала выполняем два умножения, а затем сложение.
1. Первое умножение: $\frac{3}{10} \cdot (-\frac{5}{6}) = -\frac{3 \cdot 5}{10 \cdot 6}$. Сокращаем: 3 и 6 на 3, 5 и 10 на 5. Получаем: $-\frac{1 \cdot 1}{2 \cdot 2} = -\frac{1}{4}$.
2. Второе умножение: $\frac{2}{3} \cdot (-\frac{3}{8}) = -\frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 8}$. Сокращаем: 3 и 3 на 3, 2 и 8 на 2. Получаем: $-\frac{1 \cdot 1}{1 \cdot 4} = -\frac{1}{4}$.
3. Выполняем сложение: $-\frac{1}{4} + (-\frac{1}{4}) = -\frac{1}{4} - \frac{1}{4} = \frac{-1-1}{4} = -\frac{2}{4}$. Сокращаем дробь: $-\frac{1}{2}$.
Ответ: $-\frac{1}{2}$.

4.112. a) $-\frac{5}{9} \cdot \left(-\frac{18}{25}\right) - \frac{14}{27} \cdot \left(-\frac{18}{35}\right)$;

б) $-\frac{27}{20} \cdot \left(-\frac{5}{9}\right) - \frac{5}{24} \cdot \left(-\frac{22}{5}\right)$;

В) $\frac{21}{20} \cdot \left(-\frac{8}{21}\right) + \frac{7}{72} \cdot \left(-\frac{36}{5}\right)$;

г) $-\frac{36}{60} \cdot \left(-\frac{5}{18}\right) - \left(-\frac{21}{56}\right) \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)$.

а) Для решения примера $-\frac{5}{9} \cdot (-\frac{18}{25}) - \frac{14}{27} \cdot (-\frac{18}{35})$ выполним действия по порядку.
1. Вычислим первое произведение. Произведение двух отрицательных чисел положительно:
$-\frac{5}{9} \cdot (-\frac{18}{25}) = \frac{5}{9} \cdot \frac{18}{25} = \frac{5 \cdot 18}{9 \cdot 25}$
Сократим дробь: 5 и 25 делятся на 5, 18 и 9 делятся на 9.
$\frac{5 \cdot 18}{9 \cdot 25} = \frac{(5:5) \cdot (18:9)}{(9:9) \cdot (25:5)} = \frac{1 \cdot 2}{1 \cdot 5} = \frac{2}{5}$
2. Вычислим второе произведение. Произведение положительного и отрицательного числа отрицательно:
$\frac{14}{27} \cdot (-\frac{18}{35}) = -\frac{14 \cdot 18}{27 \cdot 35}$
Сократим дробь: 14 и 35 делятся на 7, 18 и 27 делятся на 9.
$-\frac{14 \cdot 18}{27 \cdot 35} = -\frac{(14:7) \cdot (18:9)}{(27:9) \cdot (35:7)} = -\frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 5} = -\frac{4}{15}$
3. Выполним вычитание:
$\frac{2}{5} - (-\frac{4}{15}) = \frac{2}{5} + \frac{4}{15}$
Приведем дроби к общему знаменателю 15:
$\frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{4}{15} = \frac{6}{15} + \frac{4}{15} = \frac{6+4}{15} = \frac{10}{15}$
Сократим полученную дробь на 5:
$\frac{10}{15} = \frac{2}{3}$
Ответ: $\frac{2}{3}$

б) Для решения примера $-\frac{27}{20} \cdot (-\frac{5}{9}) - \frac{5}{24} \cdot (-\frac{22}{5})$ выполним действия по порядку.
1. Вычислим первое произведение. Произведение двух отрицательных чисел положительно:
$-\frac{27}{20} \cdot (-\frac{5}{9}) = \frac{27}{20} \cdot \frac{5}{9} = \frac{27 \cdot 5}{20 \cdot 9}$
Сократим дробь: 27 и 9 делятся на 9, 20 и 5 делятся на 5.
$\frac{27 \cdot 5}{20 \cdot 9} = \frac{(27:9) \cdot (5:5)}{(20:5) \cdot (9:9)} = \frac{3 \cdot 1}{4 \cdot 1} = \frac{3}{4}$
2. Вычислим второе произведение. Произведение положительного и отрицательного числа отрицательно:
$\frac{5}{24} \cdot (-\frac{22}{5}) = -\frac{5 \cdot 22}{24 \cdot 5}$
Сократим дробь: 5 и 5 делятся на 5, 22 и 24 делятся на 2.
$-\frac{5 \cdot 22}{24 \cdot 5} = -\frac{(5:5) \cdot (22:2)}{(24:2) \cdot (5:5)} = -\frac{1 \cdot 11}{12 \cdot 1} = -\frac{11}{12}$
3. Выполним вычитание:
$\frac{3}{4} - (-\frac{11}{12}) = \frac{3}{4} + \frac{11}{12}$
Приведем дроби к общему знаменателю 12:
$\frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{11}{12} = \frac{9}{12} + \frac{11}{12} = \frac{9+11}{12} = \frac{20}{12}$
Сократим полученную дробь на 4:
$\frac{20}{12} = \frac{5}{3}$
Ответ: $\frac{5}{3}$

в) Для решения примера $\frac{21}{20} \cdot (-\frac{8}{21}) + \frac{7}{72} \cdot (-\frac{36}{5})$ выполним действия по порядку.
1. Вычислим первое произведение:
$\frac{21}{20} \cdot (-\frac{8}{21}) = -\frac{21 \cdot 8}{20 \cdot 21}$
Сократим дробь: 21 и 21 делятся на 21, 8 и 20 делятся на 4.
$-\frac{21 \cdot 8}{20 \cdot 21} = -\frac{(21:21) \cdot (8:4)}{(20:4) \cdot (21:21)} = -\frac{1 \cdot 2}{5 \cdot 1} = -\frac{2}{5}$
2. Вычислим второе произведение:
$\frac{7}{72} \cdot (-\frac{36}{5}) = -\frac{7 \cdot 36}{72 \cdot 5}$
Сократим дробь: 36 и 72 делятся на 36.
$-\frac{7 \cdot 36}{72 \cdot 5} = -\frac{7 \cdot (36:36)}{(72:36) \cdot 5} = -\frac{7 \cdot 1}{2 \cdot 5} = -\frac{7}{10}$
3. Выполним сложение:
$-\frac{2}{5} + (-\frac{7}{10}) = -\frac{2}{5} - \frac{7}{10}$
Приведем дроби к общему знаменателю 10:
$-\frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 2} - \frac{7}{10} = -\frac{4}{10} - \frac{7}{10} = \frac{-4-7}{10} = -\frac{11}{10}$
Ответ: $-\frac{11}{10}$

г) Для решения примера $-\frac{36}{60} \cdot (-\frac{5}{18}) - (-\frac{21}{56}) \cdot (-\frac{1}{3})$ выполним действия по порядку.
1. Предварительно сократим дроби в выражении: $-\frac{36}{60} = -\frac{3}{5}$ и $-\frac{21}{56} = -\frac{3}{8}$.
Пример примет вид: $-\frac{3}{5} \cdot (-\frac{5}{18}) - (-\frac{3}{8}) \cdot (-\frac{1}{3})$
2. Вычислим первое произведение:
$-\frac{3}{5} \cdot (-\frac{5}{18}) = \frac{3 \cdot 5}{5 \cdot 18}$
Сократим дробь: 3 и 18 делятся на 3, 5 и 5 делятся на 5.
$\frac{3 \cdot 5}{5 \cdot 18} = \frac{(3:3) \cdot (5:5)}{(5:5) \cdot (18:3)} = \frac{1 \cdot 1}{1 \cdot 6} = \frac{1}{6}$
3. Вычислим второе произведение. Произведение двух отрицательных чисел положительно:
$(-\frac{3}{8}) \cdot (-\frac{1}{3}) = \frac{3 \cdot 1}{8 \cdot 3}$
Сократим дробь на 3:
$\frac{3 \cdot 1}{8 \cdot 3} = \frac{1}{8}$
4. Выполним вычитание:
$\frac{1}{6} - \frac{1}{8}$
Приведем дроби к общему знаменателю 24:
$\frac{1 \cdot 4}{6 \cdot 4} - \frac{1 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{4}{24} - \frac{3}{24} = \frac{4-3}{24} = \frac{1}{24}$
Ответ: $\frac{1}{24}$