Номер 4.109, страница 149 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

4.5. Умножение и деление дробей. Глава 4. Рациональные числа - номер 4.109, страница 149.

Условие.

4.109. Положительным или отрицательным числом является степень отрицательной дроби:

а) с чётным показателем;

б) с нечётным показателем?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) с чётным показателем

При возведении отрицательного числа (в данном случае, отрицательной дроби) в чётную степень, результат всегда будет положительным числом.
Это следует из правила умножения отрицательных чисел. Произведение чётного числа отрицательных множителей положительно, так как их можно разбить на пары, каждая из которых в произведении даёт положительное число.
Пусть у нас есть отрицательная дробь $ -d $ (где $ d > 0 $) и чётный показатель степени $ n $ (то есть $ n = 2k $, где $ k $ - натуральное число).
Тогда $ (-d)^n = (-d)^{2k} = ((-d)^2)^k $.
Поскольку $ (-d)^2 = (-d) \cdot (-d) = d^2 > 0 $, то и любая степень этого положительного числа $ (d^2)^k $ будет положительной.
Например: $ \left(-\frac{1}{2}\right)^4 = \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = \left(\frac{1}{4}\right) \cdot \left(\frac{1}{4}\right) = \frac{1}{16} $. Результат $ \frac{1}{16} $ — положительное число.
Ответ: положительным числом.

б) с нечётным показателем

При возведении отрицательного числа в нечётную степень, результат всегда будет отрицательным числом.
Это также следует из правила умножения. Произведение нечётного числа отрицательных множителей отрицательно. Если разбить множители на пары, одна из них останется без пары, и именно этот последний отрицательный множитель сделает всё произведение отрицательным.
Пусть у нас есть отрицательная дробь $ -d $ (где $ d > 0 $) и нечётный показатель степени $ m $ (то есть $ m = 2k+1 $, где $ k $ - целое неотрицательное число).
Тогда $ (-d)^m = (-d)^{2k+1} = (-d)^{2k} \cdot (-d) $.
Мы уже знаем из пункта а), что $ (-d)^{2k} $ — это положительное число. При умножении этого положительного числа на отрицательное число $ -d $ результат будет отрицательным.
Например: $ \left(-\frac{1}{2}\right)^3 = \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = \left(\frac{1}{4}\right) \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{8} $. Результат $ -\frac{1}{8} $ — отрицательное число.
Ответ: отрицательным числом.