Страница 142 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

?4.63. Сформулируйте правила сложения и вычитания дробей с общим положительным знаменателем.

Правило сложения дробей с общим положительным знаменателем

Для того чтобы сложить две дроби с одинаковым положительным знаменателем, необходимо сложить их числители, а знаменатель оставить без изменений. Полученная сумма числителей станет числителем новой дроби, а общий знаменатель останется ее знаменателем.

В общем виде это правило можно записать с помощью формулы:

$\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a+b}{c}$

где $a$ и $b$ — числители, а $c$ — их общий положительный знаменатель ($c > 0$).

Ответ: Чтобы сложить дроби с общим положительным знаменателем, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить прежним.

Правило вычитания дробей с общим положительным знаменателем

Для того чтобы вычесть одну дробь из другой с таким же положительным знаменателем, необходимо из числителя первой дроби (уменьшаемого) вычесть числитель второй дроби (вычитаемого), а знаменатель оставить без изменений. Полученная разность числителей станет числителем новой дроби, а общий знаменатель останется ее знаменателем.

В общем виде это правило можно записать с помощью формулы:

$\frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{a-b}{c}$

где $a$ и $b$ — числители, а $c$ — их общий положительный знаменатель ($c > 0$).

Ответ: Чтобы вычесть дроби с общим положительным знаменателем, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй, а знаменатель оставить прежним.

464. Чему равна сумма противоположных дробей?

Противоположными дробями, как и любыми другими противоположными числами, называются два числа, которые равны по модулю, но имеют разные знаки. Например, для дроби $\frac{a}{b}$ противоположной будет дробь $-\frac{a}{b}$.

Чтобы найти сумму противоположных дробей, необходимо сложить их. Запишем это в общем виде для произвольной дроби $\frac{a}{b}$ и противоположной ей дроби $(-\frac{a}{b})$:

$\frac{a}{b} + (-\frac{a}{b})$

Согласно правилам арифметики, прибавление отрицательного числа равносильно вычитанию положительного. Поэтому выражение можно переписать так:

$\frac{a}{b} - \frac{a}{b}$

Вычитание числа из самого себя всегда дает в результате ноль. Следовательно:

$\frac{a}{b} - \frac{a}{b} = 0$

Таким образом, сумма противоположных дробей всегда равна нулю.

Пример:
Сумма дробей $\frac{7}{15}$ и $-\frac{7}{15}$ равна:
$\frac{7}{15} + (-\frac{7}{15}) = \frac{7}{15} - \frac{7}{15} = 0$

Ответ: 0

4.65. Как вычислить сумму или разность дробей с разными знаменателями?

Чтобы вычислить сумму или разность дробей с разными знаменателями, необходимо сначала привести их к общему знаменателю. Для этого используется следующий алгоритм:

1. Найти наименьший общий знаменатель (НОЗ) для данных дробей. Чаще всего в качестве НОЗ берут наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей этих дробей.
2. Для каждой дроби найти дополнительный множитель. Для этого новый общий знаменатель делят на знаменатель исходной дроби.
3. Умножить числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель. В результате этого получаются дроби с одинаковыми знаменателями.
4. Выполнить сложение или вычитание полученных дробей с одинаковыми знаменателями: сложить или вычесть их числители, а знаменатель оставить без изменений.
5. В случае необходимости, сократить полученную дробь и, если она является неправильной (числитель больше знаменателя или равен ему), выделить из нее целую часть.

Рассмотрим применение этого алгоритма на примерах.

Пример на сложение

Найдем сумму дробей $\frac{3}{8} + \frac{1}{6}$.

1. Находим наименьшее общее кратное знаменателей 8 и 6. $НОК(8, 6) = 24$. Это и будет наш общий знаменатель.

2. Находим дополнительные множители. Для первой дроби ($\frac{3}{8}$): $24 \div 8 = 3$. Для второй дроби ($\frac{1}{6}$): $24 \div 6 = 4$.

3. Умножаем числитель и знаменатель каждой дроби на соответствующий дополнительный множитель:

$\frac{3 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{9}{24}$

$\frac{1 \cdot 4}{6 \cdot 4} = \frac{4}{24}$

4. Складываем полученные дроби:

$\frac{9}{24} + \frac{4}{24} = \frac{9 + 4}{24} = \frac{13}{24}$

5. Дробь $\frac{13}{24}$ является правильной и несократимой. Это и есть окончательный результат.

Ответ: $\frac{13}{24}$

Пример на вычитание

Найдем разность дробей $\frac{7}{10} - \frac{2}{15}$.

1. Находим наименьшее общее кратное знаменателей 10 и 15. $НОК(10, 15) = 30$.

2. Находим дополнительные множители. Для первой дроби ($\frac{7}{10}$): $30 \div 10 = 3$. Для второй дроби ($\frac{2}{15}$): $30 \div 15 = 2$.

3. Приводим дроби к общему знаменателю:

$\frac{7 \cdot 3}{10 \cdot 3} = \frac{21}{30}$

$\frac{2 \cdot 2}{15 \cdot 2} = \frac{4}{30}$

4. Вычитаем дроби:

$\frac{21}{30} - \frac{4}{30} = \frac{21 - 4}{30} = \frac{17}{30}$

5. Дробь $\frac{17}{30}$ является правильной и несократимой.

Ответ: $\frac{17}{30}$

Выполните действия (4.66–4.67):

4.66. а) $ \frac{8}{9} + \frac{5}{9} $;

б) $ \frac{17}{25} - \frac{8}{25} $;

в) $ \frac{31}{32} + \frac{63}{64} $;

г) $ \frac{23}{68} - \frac{5}{17} $;

д) $ \frac{50}{49} + \frac{15}{56} $.

а) Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить прежним.

$ \frac{8}{9} + \frac{5}{9} = \frac{8+5}{9} = \frac{13}{9} $

Так как получилась неправильная дробь (числитель больше знаменателя), выделим из нее целую часть:

$ \frac{13}{9} = 1\frac{4}{9} $

Ответ: $1\frac{4}{9}$.

б) Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, нужно из числителя уменьшаемого вычесть числитель вычитаемого, а знаменатель оставить прежним.

$ \frac{17}{25} - \frac{8}{25} = \frac{17-8}{25} = \frac{9}{25} $

Ответ: $\frac{9}{25}$.

в) Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, их нужно привести к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для чисел 32 и 64 - это 64, так как 64 делится на 32 ($64 = 32 \cdot 2$).

Приведем первую дробь к знаменателю 64, умножив ее числитель и знаменатель на дополнительный множитель 2:

$ \frac{31}{32} = \frac{31 \cdot 2}{32 \cdot 2} = \frac{62}{64} $

Теперь выполним сложение:

$ \frac{62}{64} + \frac{63}{64} = \frac{62+63}{64} = \frac{125}{64} $

Выделим целую часть из неправильной дроби:

$ \frac{125}{64} = 1\frac{61}{64} $

Ответ: $1\frac{61}{64}$.

г) Чтобы вычесть дроби с разными знаменателями, их нужно привести к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для чисел 68 и 17 - это 68, так как 68 делится на 17 ($68 = 17 \cdot 4$).

Приведем вторую дробь к знаменателю 68, умножив ее числитель и знаменатель на дополнительный множитель 4:

$ \frac{5}{17} = \frac{5 \cdot 4}{17 \cdot 4} = \frac{20}{68} $

Теперь выполним вычитание:

$ \frac{23}{68} - \frac{20}{68} = \frac{23-20}{68} = \frac{3}{68} $

Ответ: $\frac{3}{68}$.

д) Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, найдем наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей 49 и 56.

Разложим знаменатели на простые множители:
$49 = 7 \cdot 7 = 7^2$
$56 = 8 \cdot 7 = 2^3 \cdot 7$
НОК(49, 56) = $2^3 \cdot 7^2 = 8 \cdot 49 = 392$.
Общий знаменатель - 392.

Найдем дополнительные множители для каждой дроби:
Для первой дроби: $392 \div 49 = 8$.
Для второй дроби: $392 \div 56 = 7$.

Приведем дроби к общему знаменателю и выполним сложение:

$ \frac{50}{49} + \frac{15}{56} = \frac{50 \cdot 8}{49 \cdot 8} + \frac{15 \cdot 7}{56 \cdot 7} = \frac{400}{392} + \frac{105}{392} = \frac{400+105}{392} = \frac{505}{392} $

Выделим целую часть из неправильной дроби:

$ \frac{505}{392} = 1\frac{113}{392} $

Ответ: $1\frac{113}{392}$.

4.67. а) $ (-56) + 17; $

б) $ 42 + (-29); $

в) $ (-39) + (-57); $

г) $ (-48) + 81; $

д) $ 37 + (-82); $

е) $ (-68) + (-51). $

а) Чтобы сложить два числа с разными знаками, нужно из большего по модулю числа вычесть меньшее по модулю и перед результатом поставить знак того числа, модуль которого был больше.
Модуль числа $-56$ равен $56$, а модуль числа $17$ равен $17$. Так как $56 > 17$, то из $56$ вычитаем $17$ и ставим знак «-».
$(-56) + 17 = -(56 - 17) = -39$.
Ответ: $-39$.

б) Складываем числа с разными знаками. Модуль числа $42$ равен $42$, а модуль числа $-29$ равен $29$. Так как $42 > 29$, то из $42$ вычитаем $29$ и ставим знак «+» (или не ставим никакого знака).
$42 + (-29) = 42 - 29 = 13$.
Ответ: $13$.

в) Чтобы сложить два отрицательных числа, нужно сложить их модули и перед полученным результатом поставить знак «-».
$(-39) + (-57) = -(39 + 57) = -96$.
Ответ: $-96$.

г) Складываем числа с разными знаками. Модуль числа $-48$ равен $48$, а модуль числа $81$ равен $81$. Так как $81 > 48$, то из $81$ вычитаем $48$ и ставим знак «+».
$(-48) + 81 = 81 - 48 = 33$.
Ответ: $33$.

д) Складываем числа с разными знаками. Модуль числа $37$ равен $37$, а модуль числа $-82$ равен $82$. Так как $82 > 37$, то из $82$ вычитаем $37$ и ставим знак «-».
$37 + (-82) = -(82 - 37) = -45$.
Ответ: $-45$.

е) Чтобы сложить два отрицательных числа, нужно сложить их модули и перед полученным результатом поставить знак «-».
$(-68) + (-51) = -(68 + 51) = -119$.
Ответ: $-119$.

2. 4.38. По каким формулам можно складывать и вычитать дроби?

Раздел (4.28 – 4.29).

Сложение и вычитание дробей производится по разным формулам в зависимости от того, являются ли их знаменатели одинаковыми или разными.

Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, необходимо сложить их числители, а знаменатель оставить без изменений.
Формула сложения: $ \frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a+b}{c} $

Чтобы вычесть одну дробь из другой с одинаковыми знаменателями, нужно из числителя первой дроби (уменьшаемого) вычесть числитель второй дроби (вычитаемого), а знаменатель оставить без изменений.
Формула вычитания: $ \frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{a-b}{c} $

Ответ: Формулы для сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями: $ \frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a+b}{c} $ и $ \frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{a-b}{c} $.

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Если у дробей разные знаменатели, их сначала нужно привести к общему знаменателю. Для этого выполняют следующие шаги:

1. Находят наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей. Это число будет новым общим знаменателем.
2. Для каждой дроби определяют дополнительный множитель. Для этого общий знаменатель делят на знаменатель каждой из дробей.
3. Умножают числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель.
4. Полученные дроби, теперь уже с одинаковыми знаменателями, складывают или вычитают по правилу, описанному выше.

В общем виде формулы для сложения и вычитания дробей с разными знаменателями $ b $ и $ d $ выглядят так:
Формула сложения: $ \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d + c \cdot b}{b \cdot d} $
Формула вычитания: $ \frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d - c \cdot b}{b \cdot d} $

Ответ: Формулы для сложения и вычитания дробей с разными знаменателями: $ \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + cb}{bd} $ и $ \frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{ad - cb}{bd} $.

Вычислите (4.69-4.80):

4.69. а) $\frac{-1}{2} + \frac{-1}{2}$; б) $\frac{-1}{3} + \frac{-1}{3}$; в) $\frac{-2}{3} + \frac{-1}{3}$; г) $\frac{-2}{7} + \frac{-5}{7}$; д) $\frac{-7}{12} + \frac{-1}{12}$.

а) Чтобы сложить две дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить прежним.

$\frac{-1}{2} + \frac{-1}{2} = \frac{-1 + (-1)}{2} = \frac{-1 - 1}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Ответ: $-1$

б) Складываем дроби с одинаковыми знаменателями. Для этого складываем числители и записываем результат над общим знаменателем.

$\frac{-1}{3} + \frac{-1}{3} = \frac{-1 + (-1)}{3} = \frac{-1 - 1}{3} = \frac{-2}{3}$

Ответ: $-\frac{2}{3}$

в) Дроби имеют общий знаменатель, поэтому складываем их числители.

$\frac{-2}{3} + \frac{-1}{3} = \frac{-2 + (-1)}{3} = \frac{-2 - 1}{3} = \frac{-3}{3} = -1$

Ответ: $-1$

г) Складываем числители дробей, так как их знаменатели одинаковы.

$\frac{-2}{7} + \frac{-5}{7} = \frac{-2 + (-5)}{7} = \frac{-2 - 5}{7} = \frac{-7}{7} = -1$

Ответ: $-1$

д) Складываем дроби с общим знаменателем 12. Для этого складываем их числители.

$\frac{-7}{12} + \frac{-1}{12} = \frac{-7 + (-1)}{12} = \frac{-7 - 1}{12} = \frac{-8}{12}$

Полученную дробь можно сократить. Наибольший общий делитель для чисел 8 и 12 равен 4. Разделим числитель и знаменатель на 4.

$\frac{-8}{12} = \frac{-8 \div 4}{12 \div 4} = \frac{-2}{3}$

Ответ: $-\frac{2}{3}$