Страница 138 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

4.43. Как сравнивают две дроби:

a) с общим положительным знаменателем;

б) с разными знаменателями?

а) с общим положительным знаменателем;

Чтобы сравнить две дроби с одинаковыми положительными знаменателями, нужно сравнить их числители. Та дробь будет больше, у которой числитель больше. И наоборот, та дробь будет меньше, у которой числитель меньше.

Рассмотрим дроби $\frac{a}{c}$ и $\frac{b}{c}$, где $c > 0$.
Если $a > b$, то $\frac{a}{c} > \frac{b}{c}$.
Если $a < b$, то $\frac{a}{c} < \frac{b}{c}$.
Если $a = b$, то $\frac{a}{c} = \frac{b}{c}$.

Пример: Сравним дроби $\frac{5}{8}$ и $\frac{3}{8}$.
Знаменатели дробей одинаковы и равны 8. Сравниваем числители: $5 > 3$. Следовательно, $\frac{5}{8} > \frac{3}{8}$.

Ответ: Из двух дробей с общим положительным знаменателем больше та, у которой числитель больше.

б) с разными знаменателями?

Чтобы сравнить две дроби с разными знаменателями, их необходимо сначала привести к общему положительному знаменателю. После этого сравнение производится по правилу для дробей с одинаковыми знаменателями, то есть путём сравнения их числителей.

Алгоритм сравнения:

1. Найти наименьший общий знаменатель. Обычно для этого находят наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей исходных дробей.

2. Для каждой дроби найти дополнительный множитель, разделив общий знаменатель на знаменатель этой дроби.

3. Умножить числитель и знаменатель каждой дроби на её дополнительный множитель. В результате получатся дроби, равные исходным, но с одинаковым знаменателем.

4. Сравнить полученные дроби, сравнивая их числители.

Пример: Сравним дроби $\frac{2}{3}$ и $\frac{4}{7}$.
Знаменатели 3 и 7 разные. Находим наименьший общий знаменатель: НОК(3, 7) = 21.
Приводим дроби к знаменателю 21:
Для дроби $\frac{2}{3}$ дополнительный множитель равен $21 \div 3 = 7$. Получаем: $\frac{2 \cdot 7}{3 \cdot 7} = \frac{14}{21}$.
Для дроби $\frac{4}{7}$ дополнительный множитель равен $21 \div 7 = 3$. Получаем: $\frac{4 \cdot 3}{7 \cdot 3} = \frac{12}{21}$.
Теперь сравниваем полученные дроби $\frac{14}{21}$ и $\frac{12}{21}$. Так как $14 > 12$, то $\frac{14}{21} > \frac{12}{21}$.
Следовательно, $\frac{2}{3} > \frac{4}{7}$.

Ответ: Чтобы сравнить дроби с разными знаменателями, их нужно привести к общему положительному знаменателю, а затем сравнить как дроби с одинаковыми знаменателями (по числителям).

4.44. Сформулируйте правило сравнения: положительной дроби с нулём; отрицательной дроби с нулём; положительной дроби с отрицательной.

положительной дроби с нулём

По определению, любое положительное число — это число, которое больше нуля. Так как положительная дробь является положительным числом, она всегда будет больше нуля. Если представить числа на координатной прямой, то все положительные числа (включая дроби) находятся правее нуля.

Для любой положительной дроби $\frac{a}{b}$, где $a > 0$ и $b > 0$, всегда выполняется неравенство $\frac{a}{b} > 0$.

Ответ: Положительная дробь всегда больше нуля.

отрицательной дроби с нулём

По определению, любое отрицательное число — это число, которое меньше нуля. Так как отрицательная дробь является отрицательным числом, она всегда будет меньше нуля. На координатной прямой все отрицательные числа (включая дроби) находятся левее нуля.

Для любой отрицательной дроби $-\frac{a}{b}$, где $a > 0$ и $b > 0$, всегда выполняется неравенство $-\frac{a}{b} < 0$.

Ответ: Отрицательная дробь всегда меньше нуля.

положительной дроби с отрицательной

Любая положительная дробь больше нуля, а любая отрицательная дробь меньше нуля.

Пусть $p$ — положительная дробь, а $n$ — отрицательная дробь. Тогда справедливы неравенства: $p > 0$ и $n < 0$. На координатной прямой точка, соответствующая числу $p$, будет лежать правее нуля, а точка, соответствующая числу $n$, — левее нуля. Следовательно, точка $p$ всегда будет правее точки $n$.

Из неравенств $p > 0$ и $n < 0$ следует, что $p$ всегда больше $n$.

Ответ: Положительная дробь всегда больше отрицательной.

Сравните числа (4.45–4.50):

4.45. а) $15$ и $-45$;

б) $79$ и $0$;

в) $-81$ и $0$;

г) $48$ и $-1000$;

д) $-999$ и $-1$;

е) $46$ и $-46$.

а) 15 и -45

Для сравнения чисел 15 и -45 используем правило: любое положительное число всегда больше любого отрицательного числа. Так как 15 — положительное число, а -45 — отрицательное, то 15 больше, чем -45.

Ответ: $15 > -45$.

б) 79 и 0

Для сравнения чисел 79 и 0 используем правило: любое положительное число всегда больше нуля. Так как 79 — положительное число, то 79 больше, чем 0.

Ответ: $79 > 0$.

в) -81 и 0

Для сравнения чисел -81 и 0 используем правило: любое отрицательное число всегда меньше нуля. Так как -81 — отрицательное число, то -81 меньше, чем 0.

Ответ: $-81 < 0$.

г) 48 и -1000

Для сравнения чисел 48 и -1000 используем правило: любое положительное число всегда больше любого отрицательного числа. Так как 48 — положительное число, а -1000 — отрицательное, то 48 больше, чем -1000.

Ответ: $48 > -1000$.

д) -999 и -1

Для сравнения двух отрицательных чисел -999 и -1 используем правило: из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше. Найдем модули (абсолютные величины) этих чисел: $|-999| = 999$ и $|-1| = 1$. Поскольку $1 < 999$, то число, модуль которого меньше (то есть -1), является большим числом. Таким образом, -999 меньше, чем -1.

Ответ: $-999 < -1$.

е) 46 и -46

Для сравнения чисел 46 и -46 используем правило: любое положительное число всегда больше любого отрицательного числа. Так как 46 — положительное число, а -46 — отрицательное, то 46 больше, чем -46.

Ответ: $46 > -46$.

4.46. а) $ \frac{3}{7} $ и $ \frac{4}{7} $;

б) $ \frac{49}{50} $ и $ \frac{4}{5} $;

в) $ \frac{11}{20} $ и $ \frac{17}{30} $.

а) Чтобы сравнить дроби $\frac{3}{7}$ и $\frac{4}{7}$, нужно посмотреть на их числители, так как знаменатели у них одинаковые. Та дробь больше, у которой числитель больше. Сравниваем числители: $3 < 4$. Значит, $\frac{3}{7} < \frac{4}{7}$.
Ответ: $\frac{3}{7} < \frac{4}{7}$.

б) Чтобы сравнить дроби $\frac{49}{50}$ и $\frac{4}{5}$, необходимо привести их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для чисел 50 и 5 это 50. Первая дробь $\frac{49}{50}$ уже имеет нужный знаменатель. Приведем вторую дробь к знаменателю 50. Для этого умножим ее числитель и знаменатель на 10:
$\frac{4}{5} = \frac{4 \cdot 10}{5 \cdot 10} = \frac{40}{50}$.
Теперь сравним дроби с одинаковыми знаменателями: $\frac{49}{50}$ и $\frac{40}{50}$. Так как $49 > 40$, то $\frac{49}{50} > \frac{40}{50}$. Следовательно, $\frac{49}{50} > \frac{4}{5}$.
Ответ: $\frac{49}{50} > \frac{4}{5}$.

в) Чтобы сравнить дроби $\frac{11}{20}$ и $\frac{17}{30}$, нужно найти для них общий знаменатель. Найдем наименьшее общее кратное (НОК) для знаменателей 20 и 30. НОК(20, 30) = 60. Приведем обе дроби к этому знаменателю.
Для первой дроби дополнительный множитель равен $60 \div 20 = 3$:
$\frac{11}{20} = \frac{11 \cdot 3}{20 \cdot 3} = \frac{33}{60}$.
Для второй дроби дополнительный множитель равен $60 \div 30 = 2$:
$\frac{17}{30} = \frac{17 \cdot 2}{30 \cdot 2} = \frac{34}{60}$.
Теперь сравним полученные дроби $\frac{33}{60}$ и $\frac{34}{60}$. Так как числитель $33 < 34$, то $\frac{33}{60} < \frac{34}{60}$. Следовательно, $\frac{11}{20} < \frac{17}{30}$.
Ответ: $\frac{11}{20} < \frac{17}{30}$.