Страница 140 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

4.58. Существуют ли дроби $\frac{p}{q}$, для которых верно неравенство $-\frac{2}{5} < \frac{p}{q} < -\frac{1}{5}$? Если существуют, то найдите три такие дроби.

Да, такие дроби существуют. Между любыми двумя различными рациональными числами, такими как $-\frac{2}{5}$ и $-\frac{1}{5}$, всегда можно найти бесконечное множество других рациональных чисел.

Чтобы найти три такие дроби, удобно привести исходные дроби к общему знаменателю, который будет больше исходного. Это позволит нам увидеть "промежуток" между числителями.

Возьмем исходное неравенство:

$-\frac{2}{5} < \frac{p}{q} < -\frac{1}{5}$

Приведем дроби к общему знаменателю, например, 20. Для этого умножим числитель и знаменатель каждой дроби на 4:

$-\frac{2}{5} = -\frac{2 \cdot 4}{5 \cdot 4} = -\frac{8}{20}$

$-\frac{1}{5} = -\frac{1 \cdot 4}{5 \cdot 4} = -\frac{4}{20}$

Теперь неравенство выглядит так:

$-\frac{8}{20} < \frac{p}{q} < -\frac{4}{20}$

Теперь легко найти дроби, лежащие в этом интервале. Мы можем взять дроби со знаменателем 20, числители которых являются целыми числами между -8 и -4. Такими числами являются -7, -6 и -5.

Следовательно, три подходящие дроби:

1. $-\frac{7}{20}$

2. $-\frac{6}{20}$ (эту дробь можно сократить до $-\frac{3}{10}$)

3. $-\frac{5}{20}$ (эту дробь можно сократить до $-\frac{1}{4}$)

Все три дроби $-\frac{7}{20}$, $-\frac{3}{10}$ и $-\frac{1}{4}$ удовлетворяют заданному условию.

Ответ: Да, существуют. Например: $-\frac{7}{20}$, $-\frac{3}{10}$, $-\frac{1}{4}$.

4.59. Можно ли назвать 10 дробей, больших одной из данных дробей, но меньших другой:

а) $ \frac{39}{40} $ и $ -\frac{1}{40} $;

б) $ -\frac{3}{4} $ и $ -\frac{1}{4} $?

а) Даны дроби $-\frac{39}{40}$ и $-\frac{1}{40}$. Задача состоит в том, чтобы определить, можно ли найти 10 дробей, которые больше одной из данных дробей, но меньше другой. Сравним данные дроби: так как $-39 < -1$, то $-\frac{39}{40} < -\frac{1}{40}$.

Следовательно, нам нужно найти 10 дробей $x$, удовлетворяющих двойному неравенству:

$$-\frac{39}{40} < x < -\frac{1}{40}$$

Поскольку знаменатели у данных дробей одинаковы, мы можем рассмотреть дроби с таким же знаменателем 40. Числители таких дробей должны быть целыми числами, заключёнными между -39 и -1. Такими числителями являются числа от -38 до -2 включительно:

-38, -37, -36, -35, -34, -33, -32, -31, -30, -29, -28, -27, -26, -25, -24, -23, -22, -21, -20, -19, -18, -17, -16, -15, -14, -13, -12, -11, -10, -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2.

Всего таких целых чисел 37, что больше 10. Значит, мы можем выбрать любые 10 из них и составить искомые дроби.

Например, вот 10 таких дробей:

$$-\frac{38}{40}, -\frac{37}{40}, -\frac{36}{40}, -\frac{35}{40}, -\frac{34}{40}, -\frac{33}{40}, -\frac{32}{40}, -\frac{31}{40}, -\frac{30}{40}, -\frac{29}{40}$$

Ответ: да, можно.

б) Даны дроби $-\frac{3}{4}$ и $-\frac{1}{4}$. Сначала сравним их: так как $-3 < -1$, то $-\frac{3}{4} < -\frac{1}{4}$.

Нам нужно найти 10 дробей $x$, которые удовлетворяют неравенству:

$$-\frac{3}{4} < x < -\frac{1}{4}$$

Если рассматривать дроби со знаменателем 4, то между числителями -3 и -1 есть только одно целое число: -2. Это даёт нам только одну дробь: $-\frac{2}{4}$.

Чтобы найти больше дробей, приведём исходные дроби к большему общему знаменателю. Между любыми двумя различными рациональными числами всегда можно найти бесконечно много других рациональных чисел. Для того чтобы найти 10 дробей, нам нужно, чтобы разница между новыми числителями была больше 10. Умножим числитель и знаменатель каждой дроби, например, на 11 (поскольку $10+1=11$).

$$-\frac{3}{4} = -\frac{3 \times 11}{4 \times 11} = -\frac{33}{44}$$

$$-\frac{1}{4} = -\frac{1 \times 11}{4 \times 11} = -\frac{11}{44}$$

Теперь наше неравенство имеет вид:

$$-\frac{33}{44} < x < -\frac{11}{44}$$

Теперь мы можем найти дроби со знаменателем 44, числители которых являются целыми числами между -33 и -11. Это числа от -32 до -12. Количество таких чисел равно $(-12) - (-32) + 1 = 21$.

Так как 21 > 10, мы можем легко назвать 10 дробей, удовлетворяющих условию. Например:

$$-\frac{32}{44}, -\frac{31}{44}, -\frac{30}{44}, -\frac{29}{44}, -\frac{28}{44}, -\frac{27}{44}, -\frac{26}{44}, -\frac{25}{44}, -\frac{24}{44}, -\frac{23}{44}$$

Ответ: да, можно.

Можно ли назвать 100, 1000, 10 000 таких дробей?

4.60. Найдите дробь, которая больше одной из данных дробей, но меньше другой:

а) $ -\frac{1}{5} $ и $ -\frac{1}{3}; $

б) $ -\frac{5}{6} $ и $ -\frac{2}{3}; $

в) $ -\frac{3}{8} $ и $ -\frac{3}{4}; $

г) $ -\frac{3}{20} $ и $ -\frac{7}{30}; $

д) $ -\frac{3}{7} $ и $ -\frac{2}{9}; $

е) $ -\frac{10}{11} $ и $ -\frac{19}{20}. $

Да, можно. Между любыми двумя различными дробями существует бесконечно много других дробей. Чтобы найти любое заданное количество дробей, например $N$, между двумя дробями, можно поступить следующим образом:

1. Привести исходные дроби к общему знаменателю. Пусть это будут дроби $\frac{A}{D}$ и $\frac{C}{D}$, где $A < C$.
2. Умножить числитель и знаменатель обеих дробей на число, большее $N$, например, на $N+1$. Получим дроби $\frac{A \cdot (N+1)}{D \cdot (N+1)}$ и $\frac{C \cdot (N+1)}{D \cdot (N+1)}$.
3. Между новыми числителями $A \cdot (N+1)$ и $C \cdot (N+1)$ будет как минимум $N$ целых чисел. Выбирая эти числа в качестве числителей и сохраняя общий знаменатель $D \cdot (N+1)$, мы получим $N$ или более дробей, расположенных между исходными. Например, дроби $\frac{A \cdot (N+1)+1}{D \cdot (N+1)}, \frac{A \cdot (N+1)+2}{D \cdot (N+1)}, \dots$

Этот метод показывает, что можно найти не только 100, 1000 или 10 000, а любое, сколь угодно большое, количество дробей между двумя данными.

а) $\frac{1}{5}$ и $\frac{1}{3}$

Чтобы найти дробь между $\frac{1}{5}$ и $\frac{1}{3}$, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 5 и 3 — это $5 \cdot 3 = 15$.

$\frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{3}{15}$

$\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{5}{15}$

Теперь нужно найти дробь, которая больше $\frac{3}{15}$ и меньше $\frac{5}{15}$. Для этого нужно выбрать числитель, который больше 3 и меньше 5. Таким числом является 4.

Искомая дробь — $\frac{4}{15}$. Проверим: $\frac{3}{15} < \frac{4}{15} < \frac{5}{15}$, следовательно, $\frac{1}{5} < \frac{4}{15} < \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{4}{15}$

б) $\frac{5}{6}$ и $\frac{2}{3}$

Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 6 и 3 — это 6. Сначала сравним дроби, чтобы понять, какая из них больше.

$\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{4}{6}$

Так как $\frac{4}{6} < \frac{5}{6}$, нам нужно найти дробь между $\frac{4}{6}$ и $\frac{5}{6}$. Между числителями 4 и 5 нет целых чисел. Поэтому увеличим знаменатель, умножив числитель и знаменатель каждой дроби, например, на 2.

$\frac{4}{6} = \frac{4 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{8}{12}$

$\frac{5}{6} = \frac{5 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{10}{12}$

Теперь ищем дробь между $\frac{8}{12}$ и $\frac{10}{12}$. Числитель должен быть больше 8 и меньше 10. Это число 9.

Искомая дробь — $\frac{9}{12}$, которую можно сократить до $\frac{3}{4}$. Проверим: $\frac{8}{12} < \frac{9}{12} < \frac{10}{12}$, следовательно, $\frac{2}{3} < \frac{3}{4} < \frac{5}{6}$.

Ответ: $\frac{3}{4}$

в) $\frac{3}{8}$ и $\frac{3}{4}$

Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 8 и 4 — это 8.

$\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 2} = \frac{6}{8}$

Сравнивая дроби, видим, что $\frac{3}{8} < \frac{6}{8}$. Нужно найти дробь между $\frac{3}{8}$ и $\frac{6}{8}$. Можно выбрать числитель 4 или 5. Возьмем 4.

Искомая дробь — $\frac{4}{8}$, которую можно сократить до $\frac{1}{2}$. Проверим: $\frac{3}{8} < \frac{4}{8} < \frac{6}{8}$, следовательно, $\frac{3}{8} < \frac{1}{2} < \frac{3}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

г) $\frac{3}{20}$ и $\frac{7}{30}$

Найдем наименьший общий знаменатель для 20 и 30. Это 60.

$\frac{3}{20} = \frac{3 \cdot 3}{20 \cdot 3} = \frac{9}{60}$

$\frac{7}{30} = \frac{7 \cdot 2}{30 \cdot 2} = \frac{14}{60}$

Так как $\frac{9}{60} < \frac{14}{60}$, ищем дробь между ними. Числитель может быть любым целым числом от 10 до 13. Возьмем, например, 12.

Искомая дробь — $\frac{12}{60}$, которую можно сократить до $\frac{1}{5}$. Проверим: $\frac{9}{60} < \frac{12}{60} < \frac{14}{60}$, следовательно, $\frac{3}{20} < \frac{1}{5} < \frac{7}{30}$.

Ответ: $\frac{1}{5}$

д) $\frac{3}{7}$ и $\frac{2}{9}$

Приведем дроби к общему знаменателю $7 \cdot 9 = 63$.

$\frac{3}{7} = \frac{3 \cdot 9}{7 \cdot 9} = \frac{27}{63}$

$\frac{2}{9} = \frac{2 \cdot 7}{9 \cdot 7} = \frac{14}{63}$

Сначала сравним дроби: $\frac{14}{63} < \frac{27}{63}$, значит $\frac{2}{9} < \frac{3}{7}$.

Ищем дробь между $\frac{14}{63}$ и $\frac{27}{63}$. Можно выбрать любой числитель от 15 до 26. Возьмем, например, 21, так как это позволит сократить дробь.

Искомая дробь — $\frac{21}{63}$, которую можно сократить на 21: $\frac{21 \div 21}{63 \div 21} = \frac{1}{3}$.

Проверим: $\frac{14}{63} < \frac{21}{63} < \frac{27}{63}$, следовательно, $\frac{2}{9} < \frac{1}{3} < \frac{3}{7}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$

е) $\frac{10}{11}$ и $\frac{19}{20}$

Приведем дроби к общему знаменателю $11 \cdot 20 = 220$.

$\frac{10}{11} = \frac{10 \cdot 20}{11 \cdot 20} = \frac{200}{220}$

$\frac{19}{20} = \frac{19 \cdot 11}{20 \cdot 11} = \frac{209}{220}$

Сравним дроби: $\frac{200}{220} < \frac{209}{220}$, значит $\frac{10}{11} < \frac{19}{20}$.

Ищем дробь между $\frac{200}{220}$ и $\frac{209}{220}$. Можно выбрать любой числитель от 201 до 208. Возьмем, например, 201.

Искомая дробь — $\frac{201}{220}$.

Ответ: $\frac{201}{220}$

4.61. Сравните числа:

а) $-\frac{1}{2}$ и $-1$;

б) $-\frac{8}{8}$ и $-1$;

в) $-\frac{9}{8}$ и $-1$;

г) $-\frac{498}{497}$ и $-1$.

а) Чтобы сравнить числа $-\frac{1}{2}$ и $-1$, приведем их к общему знаменателю. Представим $-1$ в виде дроби со знаменателем 2: $ -1 = -\frac{2}{2} $. Теперь нужно сравнить две дроби: $-\frac{1}{2}$ и $-\frac{2}{2}$. Поскольку знаменатели дробей одинаковы, сравниваем их числители. Так как $-1 > -2$, то и соответствующая дробь больше: $-\frac{1}{2} > -\frac{2}{2}$. Следовательно, $-\frac{1}{2} > -1$.
Ответ: $-\frac{1}{2} > -1$.

б) Чтобы сравнить числа $-\frac{8}{8}$ и $-1$, сначала упростим дробь. Любое число, деленное на само себя (кроме нуля), равно единице: $\frac{8}{8} = 1$. Таким образом, выражение $-\frac{8}{8}$ равно $-1$. Сравнивая $-1$ и $-1$, мы видим, что они равны.
Ответ: $-\frac{8}{8} = -1$.

в) Чтобы сравнить числа $-\frac{9}{8}$ и $-1$, приведем их к общему знаменателю 8. Представим $-1$ как $-\frac{8}{8}$. Теперь сравним дроби $-\frac{9}{8}$ и $-\frac{8}{8}$. Так как знаменатели равны, сравниваем числители: $-9$ и $-8$. Поскольку $-9 < -8$, то и дробь $-\frac{9}{8}$ меньше, чем $-\frac{8}{8}$. Следовательно, $-\frac{9}{8} < -1$.
Ответ: $-\frac{9}{8} < -1$.

г) Чтобы сравнить числа $-\frac{498}{497}$ и $-1$, приведем их к общему знаменателю 497. Представим $-1$ как $-\frac{497}{497}$. Теперь сравним дроби $-\frac{498}{497}$ и $-\frac{497}{497}$. Поскольку знаменатели равны, сравниваем числители: $-498$ и $-497$. Так как $-498 < -497$, то и дробь $-\frac{498}{497}$ меньше, чем $-\frac{497}{497}$. Следовательно, $-\frac{498}{497} < -1$.
Ответ: $-\frac{498}{497} < -1$.

4.62. Как можно сравнить дроби, не приводя их к общему положительному знаменателю, если числители этих дробей одинаковые положительные целые числа?

Чтобы сравнить две дроби, у которых одинаковые положительные целые числители, не нужно приводить их к общему знаменателю. Вместо этого следует сравнить их знаменатели. Правило сравнения в этом случае противоположно правилу сравнения дробей с одинаковыми знаменателями.

Правило: Из двух дробей с одинаковыми положительными числителями больше та дробь, у которой знаменатель меньше, и, соответственно, меньше та дробь, у которой знаменатель больше.

Объяснение: Знаменатель дроби показывает, на сколько равных частей разделено целое. Чем больше знаменатель, тем на большее количество частей разделено целое, а значит, каждая отдельная часть (доля) меньше. Поскольку числители у дробей одинаковые, это означает, что мы берем одинаковое количество частей в обоих случаях. Следовательно, если мы берем одинаковое количество более мелких частей, итоговая величина будет меньше.

Формально, пусть нам нужно сравнить дроби $ \frac{a}{b} $ и $ \frac{a}{c} $, где $ a, b, c $ — положительные целые числа.

Если $ b < c $, то это означает, что доля $ \frac{1}{b} $ больше доли $ \frac{1}{c} $. То есть, $ \frac{1}{b} > \frac{1}{c} $.

Так как мы умножаем обе части неравенства на одно и то же положительное число $a$, знак неравенства не меняется:

$ a \cdot \frac{1}{b} > a \cdot \frac{1}{c} $, что равносильно $ \frac{a}{b} > \frac{a}{c} $.

Пример:

Сравним дроби $ \frac{5}{8} $ и $ \frac{5}{11} $.

1. Числители дробей одинаковы и равны 5.
2. Сравниваем знаменатели: $ 8 < 11 $.
3. Так как знаменатель первой дроби (8) меньше знаменателя второй дроби (11), то первая дробь будет больше второй.
Таким образом, $ \frac{5}{8} > \frac{5}{11} $.

Ответ: Чтобы сравнить дроби с одинаковыми положительными числителями, нужно сравнить их знаменатели. Большей будет та дробь, у которой знаменатель меньше.