Номер 4.59, страница 140 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

4.3. Сравнение рациональных чисел. Глава 4. Рациональные числа - номер 4.59, страница 140.

Условие.

4.59. Можно ли назвать 10 дробей, больших одной из данных дробей, но меньших другой:

а) $ \frac{39}{40} $ и $ -\frac{1}{40} $;

б) $ -\frac{3}{4} $ и $ -\frac{1}{4} $?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Даны дроби $-\frac{39}{40}$ и $-\frac{1}{40}$. Задача состоит в том, чтобы определить, можно ли найти 10 дробей, которые больше одной из данных дробей, но меньше другой. Сравним данные дроби: так как $-39 < -1$, то $-\frac{39}{40} < -\frac{1}{40}$.

Следовательно, нам нужно найти 10 дробей $x$, удовлетворяющих двойному неравенству:

$$-\frac{39}{40} < x < -\frac{1}{40}$$

Поскольку знаменатели у данных дробей одинаковы, мы можем рассмотреть дроби с таким же знаменателем 40. Числители таких дробей должны быть целыми числами, заключёнными между -39 и -1. Такими числителями являются числа от -38 до -2 включительно:

-38, -37, -36, -35, -34, -33, -32, -31, -30, -29, -28, -27, -26, -25, -24, -23, -22, -21, -20, -19, -18, -17, -16, -15, -14, -13, -12, -11, -10, -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2.

Всего таких целых чисел 37, что больше 10. Значит, мы можем выбрать любые 10 из них и составить искомые дроби.

Например, вот 10 таких дробей:

$$-\frac{38}{40}, -\frac{37}{40}, -\frac{36}{40}, -\frac{35}{40}, -\frac{34}{40}, -\frac{33}{40}, -\frac{32}{40}, -\frac{31}{40}, -\frac{30}{40}, -\frac{29}{40}$$

Ответ: да, можно.

б) Даны дроби $-\frac{3}{4}$ и $-\frac{1}{4}$. Сначала сравним их: так как $-3 < -1$, то $-\frac{3}{4} < -\frac{1}{4}$.

Нам нужно найти 10 дробей $x$, которые удовлетворяют неравенству:

$$-\frac{3}{4} < x < -\frac{1}{4}$$

Если рассматривать дроби со знаменателем 4, то между числителями -3 и -1 есть только одно целое число: -2. Это даёт нам только одну дробь: $-\frac{2}{4}$.

Чтобы найти больше дробей, приведём исходные дроби к большему общему знаменателю. Между любыми двумя различными рациональными числами всегда можно найти бесконечно много других рациональных чисел. Для того чтобы найти 10 дробей, нам нужно, чтобы разница между новыми числителями была больше 10. Умножим числитель и знаменатель каждой дроби, например, на 11 (поскольку $10+1=11$).

$$-\frac{3}{4} = -\frac{3 \times 11}{4 \times 11} = -\frac{33}{44}$$

$$-\frac{1}{4} = -\frac{1 \times 11}{4 \times 11} = -\frac{11}{44}$$

Теперь наше неравенство имеет вид:

$$-\frac{33}{44} < x < -\frac{11}{44}$$

Теперь мы можем найти дроби со знаменателем 44, числители которых являются целыми числами между -33 и -11. Это числа от -32 до -12. Количество таких чисел равно $(-12) - (-32) + 1 = 21$.

Так как 21 > 10, мы можем легко назвать 10 дробей, удовлетворяющих условию. Например:

$$-\frac{32}{44}, -\frac{31}{44}, -\frac{30}{44}, -\frac{29}{44}, -\frac{28}{44}, -\frac{27}{44}, -\frac{26}{44}, -\frac{25}{44}, -\frac{24}{44}, -\frac{23}{44}$$

Ответ: да, можно.