Номер 4.60, страница 140 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

4.3. Сравнение рациональных чисел. Глава 4. Рациональные числа - номер 4.60, страница 140.

Условие.

Можно ли назвать 100, 1000, 10 000 таких дробей?

4.60. Найдите дробь, которая больше одной из данных дробей, но меньше другой:

а) $ -\frac{1}{5} $ и $ -\frac{1}{3}; $

б) $ -\frac{5}{6} $ и $ -\frac{2}{3}; $

в) $ -\frac{3}{8} $ и $ -\frac{3}{4}; $

г) $ -\frac{3}{20} $ и $ -\frac{7}{30}; $

д) $ -\frac{3}{7} $ и $ -\frac{2}{9}; $

е) $ -\frac{10}{11} $ и $ -\frac{19}{20}. $

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Да, можно. Между любыми двумя различными дробями существует бесконечно много других дробей. Чтобы найти любое заданное количество дробей, например $N$, между двумя дробями, можно поступить следующим образом:

1. Привести исходные дроби к общему знаменателю. Пусть это будут дроби $\frac{A}{D}$ и $\frac{C}{D}$, где $A < C$.
2. Умножить числитель и знаменатель обеих дробей на число, большее $N$, например, на $N+1$. Получим дроби $\frac{A \cdot (N+1)}{D \cdot (N+1)}$ и $\frac{C \cdot (N+1)}{D \cdot (N+1)}$.
3. Между новыми числителями $A \cdot (N+1)$ и $C \cdot (N+1)$ будет как минимум $N$ целых чисел. Выбирая эти числа в качестве числителей и сохраняя общий знаменатель $D \cdot (N+1)$, мы получим $N$ или более дробей, расположенных между исходными. Например, дроби $\frac{A \cdot (N+1)+1}{D \cdot (N+1)}, \frac{A \cdot (N+1)+2}{D \cdot (N+1)}, \dots$

Этот метод показывает, что можно найти не только 100, 1000 или 10 000, а любое, сколь угодно большое, количество дробей между двумя данными.

а) $\frac{1}{5}$ и $\frac{1}{3}$

Чтобы найти дробь между $\frac{1}{5}$ и $\frac{1}{3}$, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 5 и 3 — это $5 \cdot 3 = 15$.

$\frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{3}{15}$

$\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{5}{15}$

Теперь нужно найти дробь, которая больше $\frac{3}{15}$ и меньше $\frac{5}{15}$. Для этого нужно выбрать числитель, который больше 3 и меньше 5. Таким числом является 4.

Искомая дробь — $\frac{4}{15}$. Проверим: $\frac{3}{15} < \frac{4}{15} < \frac{5}{15}$, следовательно, $\frac{1}{5} < \frac{4}{15} < \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{4}{15}$

б) $\frac{5}{6}$ и $\frac{2}{3}$

Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 6 и 3 — это 6. Сначала сравним дроби, чтобы понять, какая из них больше.

$\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{4}{6}$

Так как $\frac{4}{6} < \frac{5}{6}$, нам нужно найти дробь между $\frac{4}{6}$ и $\frac{5}{6}$. Между числителями 4 и 5 нет целых чисел. Поэтому увеличим знаменатель, умножив числитель и знаменатель каждой дроби, например, на 2.

$\frac{4}{6} = \frac{4 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{8}{12}$

$\frac{5}{6} = \frac{5 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{10}{12}$

Теперь ищем дробь между $\frac{8}{12}$ и $\frac{10}{12}$. Числитель должен быть больше 8 и меньше 10. Это число 9.

Искомая дробь — $\frac{9}{12}$, которую можно сократить до $\frac{3}{4}$. Проверим: $\frac{8}{12} < \frac{9}{12} < \frac{10}{12}$, следовательно, $\frac{2}{3} < \frac{3}{4} < \frac{5}{6}$.

Ответ: $\frac{3}{4}$

в) $\frac{3}{8}$ и $\frac{3}{4}$

Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 8 и 4 — это 8.

$\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 2} = \frac{6}{8}$

Сравнивая дроби, видим, что $\frac{3}{8} < \frac{6}{8}$. Нужно найти дробь между $\frac{3}{8}$ и $\frac{6}{8}$. Можно выбрать числитель 4 или 5. Возьмем 4.

Искомая дробь — $\frac{4}{8}$, которую можно сократить до $\frac{1}{2}$. Проверим: $\frac{3}{8} < \frac{4}{8} < \frac{6}{8}$, следовательно, $\frac{3}{8} < \frac{1}{2} < \frac{3}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

г) $\frac{3}{20}$ и $\frac{7}{30}$

Найдем наименьший общий знаменатель для 20 и 30. Это 60.

$\frac{3}{20} = \frac{3 \cdot 3}{20 \cdot 3} = \frac{9}{60}$

$\frac{7}{30} = \frac{7 \cdot 2}{30 \cdot 2} = \frac{14}{60}$

Так как $\frac{9}{60} < \frac{14}{60}$, ищем дробь между ними. Числитель может быть любым целым числом от 10 до 13. Возьмем, например, 12.

Искомая дробь — $\frac{12}{60}$, которую можно сократить до $\frac{1}{5}$. Проверим: $\frac{9}{60} < \frac{12}{60} < \frac{14}{60}$, следовательно, $\frac{3}{20} < \frac{1}{5} < \frac{7}{30}$.

Ответ: $\frac{1}{5}$

д) $\frac{3}{7}$ и $\frac{2}{9}$

Приведем дроби к общему знаменателю $7 \cdot 9 = 63$.

$\frac{3}{7} = \frac{3 \cdot 9}{7 \cdot 9} = \frac{27}{63}$

$\frac{2}{9} = \frac{2 \cdot 7}{9 \cdot 7} = \frac{14}{63}$

Сначала сравним дроби: $\frac{14}{63} < \frac{27}{63}$, значит $\frac{2}{9} < \frac{3}{7}$.

Ищем дробь между $\frac{14}{63}$ и $\frac{27}{63}$. Можно выбрать любой числитель от 15 до 26. Возьмем, например, 21, так как это позволит сократить дробь.

Искомая дробь — $\frac{21}{63}$, которую можно сократить на 21: $\frac{21 \div 21}{63 \div 21} = \frac{1}{3}$.

Проверим: $\frac{14}{63} < \frac{21}{63} < \frac{27}{63}$, следовательно, $\frac{2}{9} < \frac{1}{3} < \frac{3}{7}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$

е) $\frac{10}{11}$ и $\frac{19}{20}$

Приведем дроби к общему знаменателю $11 \cdot 20 = 220$.

$\frac{10}{11} = \frac{10 \cdot 20}{11 \cdot 20} = \frac{200}{220}$

$\frac{19}{20} = \frac{19 \cdot 11}{20 \cdot 11} = \frac{209}{220}$

Сравним дроби: $\frac{200}{220} < \frac{209}{220}$, значит $\frac{10}{11} < \frac{19}{20}$.

Ищем дробь между $\frac{200}{220}$ и $\frac{209}{220}$. Можно выбрать любой числитель от 201 до 208. Возьмем, например, 201.

Искомая дробь — $\frac{201}{220}$.

Ответ: $\frac{201}{220}$