Номер 4.146, страница 156 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

4.7. Смешанные дроби произвольного знака. Глава 4. Рациональные числа - номер 4.146, страница 156.

Условие.

ДОКАЗЫВАЕМ

4.146. Докажите, что:

а) $\left(-\frac{1}{7}\right) \cdot \frac{8}{9} \cdot \frac{3}{4} > -\frac{2}{3} \cdot 2\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{6}$

б) $-1\frac{1}{2} \cdot \left(-1\frac{1}{3}\right) > -1\frac{1}{4} \cdot \left(-1\frac{1}{5}\right)$

в) $\left(\frac{7}{12} - \frac{7}{18}\right) \cdot \left(-\frac{6}{7}\right) < \left(-\frac{25}{36}\right) : \frac{5}{-12} \cdot \frac{-1}{11}$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Чтобы доказать неравенство $(-\frac{1}{7}) \cdot \frac{8}{9} \cdot 1\frac{3}{4} > \frac{2}{-3} \cdot 2\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{6}$, мы вычислим значения его левой и правой частей и сравним их.

1. Вычислим значение левой части (ЛЧ):

$ЛЧ = (-\frac{1}{7}) \cdot \frac{8}{9} \cdot 1\frac{3}{4} = -\frac{1}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdot \frac{7}{4}$

Сокращаем дроби: $ЛЧ = -\frac{1 \cdot 8 \cdot 7}{7 \cdot 9 \cdot 4} = -\frac{1 \cdot (2 \cdot 4) \cdot 7}{7 \cdot 9 \cdot 4} = -\frac{2}{9}$

2. Вычислим значение правой части (ПЧ):

$ПЧ = \frac{2}{-3} \cdot 2\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{6} = -\frac{2}{3} \cdot \frac{9}{4} \cdot \frac{1}{6}$

Сокращаем дроби: $ПЧ = -\frac{2 \cdot 9 \cdot 1}{3 \cdot 4 \cdot 6} = -\frac{18}{72} = -\frac{1}{4}$

3. Сравним полученные значения: $-\frac{2}{9}$ и $-\frac{1}{4}$.

Приведем дроби к общему знаменателю $36$:

$-\frac{2}{9} = -\frac{2 \cdot 4}{9 \cdot 4} = -\frac{8}{36}$

$-\frac{1}{4} = -\frac{1 \cdot 9}{4 \cdot 9} = -\frac{9}{36}$

Так как $-8 > -9$, то $-\frac{8}{36} > -\frac{9}{36}$, а значит, $-\frac{2}{9} > -\frac{1}{4}$. Неравенство доказано.

Ответ: Неравенство верно, так как $-\frac{2}{9} > -\frac{1}{4}$.

б) Чтобы доказать неравенство $-1\frac{1}{2} \cdot (-1\frac{1}{3}) > -1\frac{1}{4} \cdot (-1\frac{1}{5})$, мы вычислим значения его левой и правой частей и сравним их.

1. Вычислим значение левой части (ЛЧ):

$ЛЧ = -1\frac{1}{2} \cdot (-1\frac{1}{3}) = (-\frac{3}{2}) \cdot (-\frac{4}{3})$

Произведение двух отрицательных чисел положительно. Сокращаем дроби:

$ЛЧ = \frac{3 \cdot 4}{2 \cdot 3} = \frac{4}{2} = 2$

2. Вычислим значение правой части (ПЧ):

$ПЧ = -1\frac{1}{4} \cdot (-1\frac{1}{5}) = (-\frac{5}{4}) \cdot (-\frac{6}{5})$

Произведение двух отрицательных чисел положительно. Сокращаем дроби:

$ПЧ = \frac{5 \cdot 6}{4 \cdot 5} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$

3. Сравним полученные значения: $2$ и $\frac{3}{2}$.

Так как $2 = \frac{4}{2}$, а $\frac{4}{2} > \frac{3}{2}$, то $2 > \frac{3}{2}$. Неравенство доказано.

Ответ: Неравенство верно, так как $2 > \frac{3}{2}$.

в) Чтобы доказать неравенство $(\frac{7}{12} - \frac{7}{18}) \cdot (-\frac{6}{7}) < (-\frac{25}{36}) : \frac{5}{-12} \cdot \frac{-1}{11}$, мы вычислим значения его левой и правой частей и сравним их.

1. Вычислим значение левой части (ЛЧ):

Сначала выполним вычитание в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $36$:

$\frac{7}{12} - \frac{7}{18} = \frac{7 \cdot 3}{36} - \frac{7 \cdot 2}{36} = \frac{21 - 14}{36} = \frac{7}{36}$

Теперь выполним умножение:

$ЛЧ = \frac{7}{36} \cdot (-\frac{6}{7}) = -\frac{7 \cdot 6}{36 \cdot 7} = -\frac{6}{36} = -\frac{1}{6}$

2. Вычислим значение правой части (ПЧ):

Выполним действия по порядку. Сначала деление, затем умножение. Деление на дробь $\frac{5}{-12}$ равносильно умножению на обратную дробь $-\frac{12}{5}$.

$(-\frac{25}{36}) : \frac{5}{-12} = (-\frac{25}{36}) : (-\frac{5}{12}) = \frac{25}{36} \cdot \frac{12}{5} = \frac{25 \cdot 12}{36 \cdot 5} = \frac{5 \cdot 1}{3 \cdot 1} = \frac{5}{3}$

Теперь умножим результат на $\frac{-1}{11}$:

$ПЧ = \frac{5}{3} \cdot \frac{-1}{11} = -\frac{5 \cdot 1}{3 \cdot 11} = -\frac{5}{33}$

3. Сравним полученные значения: $-\frac{1}{6}$ и $-\frac{5}{33}$.

Приведем дроби к общему знаменателю $66$:

$-\frac{1}{6} = -\frac{1 \cdot 11}{6 \cdot 11} = -\frac{11}{66}$

$-\frac{5}{33} = -\frac{5 \cdot 2}{33 \cdot 2} = -\frac{10}{66}$

Так как $-11 < -10$, то $-\frac{11}{66} < -\frac{10}{66}$, а значит, $-\frac{1}{6} < -\frac{5}{33}$. Неравенство доказано.

Ответ: Неравенство верно, так как $-\frac{1}{6} < -\frac{5}{33}$.