Номер 4.126, страница 152 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 4. Рациональные числа. 4.6. Законы сложения и умножения - номер 4.126, страница 152.

Условие.

ДОКАЗЫВАЕМ

4.126. Сформулируйте и докажите свойства деления рациональных чисел, выраженных равенствами:

a) $a : b = (a \cdot n) : (b \cdot n);$

б) $a : b = (a : n) : (b : n);$

в) $(a + b) : n = a : n + b : n,$ где $b \ne 0$ и $n \ne 0.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Формулировка свойства: частное двух рациональных чисел не изменится, если делимое и делитель умножить на одно и то же ненулевое рациональное число.
Доказательство:
Докажем справедливость равенства $a : b = (a \cdot n) : (b \cdot n)$ для любых рациональных чисел $a$, $b$, $n$, при условии что $b \ne 0$ и $n \ne 0$.
Преобразуем правую часть равенства, используя определение деления (деление на число равносильно умножению на число, обратное делителю):
$(a \cdot n) : (b \cdot n) = (a \cdot n) \cdot \frac{1}{b \cdot n}$
Используя свойства умножения, запишем выражение в виде дроби:
$(a \cdot n) \cdot \frac{1}{b \cdot n} = \frac{a \cdot n}{b \cdot n}$
Согласно основному свойству дроби, мы можем сократить дробь на общий множитель $n$, так как $n \ne 0$:
$\frac{a \cdot n}{b \cdot n} = \frac{a}{b}$
По определению, $\frac{a}{b}$ есть частное от деления $a$ на $b$, то есть $a:b$.
Таким образом, мы доказали, что правая часть равенства равна левой: $(a \cdot n) : (b \cdot n) = a : b$.
Ответ: Частное двух чисел не изменится, если делимое и делитель умножить на одно и то же число, отличное от нуля.

б) Формулировка свойства: частное двух рациональных чисел не изменится, если делимое и делитель разделить на одно и то же ненулевое рациональное число.
Доказательство:
Докажем справедливость равенства $a : b = (a : n) : (b : n)$ для любых рациональных чисел $a$, $b$, $n$, при условии что $b \ne 0$ и $n \ne 0$.
Преобразуем правую часть равенства. Запишем операцию деления в виде дроби:
$(a : n) : (b : n) = \frac{a:n}{b:n} = \frac{\frac{a}{n}}{\frac{b}{n}}$
Воспользуемся основным свойством дроби и умножим числитель и знаменатель полученной "многоэтажной" дроби на $n$ (это допустимо, так как $n \ne 0$):
$\frac{\frac{a}{n} \cdot n}{\frac{b}{n} \cdot n} = \frac{a}{b}$
Выражение $\frac{a}{b}$ по определению равно частному $a : b$.
Следовательно, мы доказали, что правая часть исходного равенства равна левой: $(a : n) : (b : n) = a : b$.
Ответ: Частное двух чисел не изменится, если делимое и делитель разделить на одно и то же число, отличное от нуля.

в) Формулировка свойства: распределительное свойство деления относительно сложения. Чтобы разделить сумму двух чисел на некоторое число, можно разделить на это число каждое слагаемое в отдельности и затем сложить полученные частные.
Доказательство:
Докажем справедливость равенства $(a + b) : n = a : n + b : n$ для любых рациональных чисел $a$, $b$, $n$, при условии что $n \ne 0$.
Преобразуем левую часть равенства, заменив деление на умножение на обратное число:
$(a + b) : n = (a + b) \cdot \frac{1}{n}$
Теперь применим распределительное свойство умножения относительно сложения:
$(a + b) \cdot \frac{1}{n} = a \cdot \frac{1}{n} + b \cdot \frac{1}{n}$
Рассмотрим правую часть исходного равенства и также заменим в ней деление на умножение:
$a : n + b : n = a \cdot \frac{1}{n} + b \cdot \frac{1}{n}$
Так как преобразованная левая часть оказалась равна правой части, равенство доказано.
Ответ: Чтобы разделить сумму на число, можно разделить на это число каждое слагаемое и сложить полученные результаты.