Номер 4.132, страница 154 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

4.7. Смешанные дроби произвольного знака. Глава 4. Рациональные числа - номер 4.132, страница 154.

Условие.

4.132. Сравните числа:

а) $-\frac{1}{2}$ и $-1\frac{1}{2}$;

б) $-\frac{3}{2}$ и $-1\frac{1}{4}$;

в) $-1\frac{1}{5}$ и $-1\frac{1}{6}$;

г) $-\frac{12}{11}$ и $-1\frac{1}{13}$;

д) $-1\frac{3}{4}$ и $-1\frac{2}{3}$;

е) $-2\frac{1}{9}$ и $-1\frac{1}{3}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для сравнения двух отрицательных чисел нужно помнить правило: из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше.

а)

Сравним числа $-\frac{1}{2}$ и $-1\frac{1}{2}$.

Сравним их модули (абсолютные величины): $|-\frac{1}{2}| = \frac{1}{2}$ и $|-1\frac{1}{2}| = 1\frac{1}{2}$.

Так как $\frac{1}{2} < 1\frac{1}{2}$, то для отрицательных чисел знак неравенства меняется на противоположный.

Следовательно, $-\frac{1}{2} > -1\frac{1}{2}$.

Ответ: $-\frac{1}{2} > -1\frac{1}{2}$

б)

Сравним числа $-\frac{3}{2}$ и $-1\frac{1}{4}$.

Сначала представим оба числа в одном виде, например, в виде неправильных дробей.

$-\frac{3}{2}$ уже является неправильной дробью.

$-1\frac{1}{4} = -\frac{1 \cdot 4 + 1}{4} = -\frac{5}{4}$.

Теперь сравним дроби $-\frac{3}{2}$ и $-\frac{5}{4}$. Приведем их к общему знаменателю, который равен 4.

$-\frac{3}{2} = -\frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2} = -\frac{6}{4}$.

Теперь сравниваем $-\frac{6}{4}$ и $-\frac{5}{4}$. Сравним их модули: $|\frac{6}{4}| > |\frac{5}{4}|$, так как $6 > 5$. Для отрицательных чисел, чем больше модуль, тем меньше число.

Следовательно, $-\frac{6}{4} < -\frac{5}{4}$, а значит $-\frac{3}{2} < -1\frac{1}{4}$.

Ответ: $-\frac{3}{2} < -1\frac{1}{4}$

в)

Сравним числа $-1\frac{1}{5}$ и $-1\frac{1}{6}$.

Целые части этих смешанных чисел равны ($-1$). Поэтому для сравнения нужно сравнить их дробные части: $-\frac{1}{5}$ и $-\frac{1}{6}$.

Сравним модули дробных частей: $\frac{1}{5}$ и $\frac{1}{6}$. Приведем их к общему знаменателю 30:

$\frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 6}{5 \cdot 6} = \frac{6}{30}$

$\frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 5}{6 \cdot 5} = \frac{5}{30}$

Так как $6 > 5$, то $\frac{6}{30} > \frac{5}{30}$, следовательно $\frac{1}{5} > \frac{1}{6}$.

Для отрицательных чисел знак неравенства меняется на противоположный: $-\frac{1}{5} < -\frac{1}{6}$.

Поскольку целые части равны, то и $-1\frac{1}{5} < -1\frac{1}{6}$.

Ответ: $-1\frac{1}{5} < -1\frac{1}{6}$

г)

Сравним числа $-\frac{12}{11}$ и $-1\frac{1}{13}$.

Преобразуем неправильную дробь $-\frac{12}{11}$ в смешанное число: $-\frac{12}{11} = -(\frac{11+1}{11}) = -(1 + \frac{1}{11}) = -1\frac{1}{11}$.

Теперь нужно сравнить $-1\frac{1}{11}$ и $-1\frac{1}{13}$. Целые части чисел равны ($-1$), поэтому сравним их дробные части: $-\frac{1}{11}$ и $-\frac{1}{13}$.

Сравним модули этих дробей: $\frac{1}{11}$ и $\frac{1}{13}$. Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше. Так как $11 < 13$, то $\frac{1}{11} > \frac{1}{13}$.

Для отрицательных чисел знак неравенства меняется на противоположный: $-\frac{1}{11} < -\frac{1}{13}$.

Следовательно, $-1\frac{1}{11} < -1\frac{1}{13}$.

Ответ: $-\frac{12}{11} < -1\frac{1}{13}$

д)

Сравним числа $-1\frac{3}{4}$ и $-1\frac{2}{3}$.

Целые части чисел равны ($-1$). Сравним их дробные части: $-\frac{3}{4}$ и $-\frac{2}{3}$.

Сначала сравним их модули: $\frac{3}{4}$ и $\frac{2}{3}$. Приведем дроби к общему знаменателю 12.

$\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{9}{12}$

$\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{8}{12}$

Так как $9 > 8$, то $\frac{9}{12} > \frac{8}{12}$, следовательно $\frac{3}{4} > \frac{2}{3}$.

Для отрицательных чисел, чем больше модуль, тем меньше само число. Поэтому $-\frac{3}{4} < -\frac{2}{3}$.

Так как целые части равны, то и $-1\frac{3}{4} < -1\frac{2}{3}$.

Ответ: $-1\frac{3}{4} < -1\frac{2}{3}$

е)

Сравним числа $-2\frac{1}{9}$ и $-1\frac{1}{3}$.

В этом случае достаточно сравнить целые части этих чисел: $-2$ и $-1$.

Так как $-2 < -1$, и оба числа отрицательные, то число с меньшей целой частью (более отрицательной) будет меньше.

На числовой оси $-2\frac{1}{9}$ находится левее, чем $-1\frac{1}{3}$.

Следовательно, $-2\frac{1}{9} < -1\frac{1}{3}$.

Ответ: $-2\frac{1}{9} < -1\frac{1}{3}$