Номер 4.42, страница 137 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

4.2. Рациональные числа. Глава 4. Рациональные числа - номер 4.42, страница 137.

Условие.

4.42. Одинаковые или разные знаки имеют числа m и n ($mn \neq 0$), если верно равенство:

a) $\left|\frac{m}{n}\right|=\frac{m}{n}$;

б) $\left|\frac{m}{n}\right|=-\frac{m}{n}$?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а)

Рассмотрим равенство $|\frac{m}{n}| = \frac{m}{n}$.

По определению модуля (абсолютной величины), равенство $|x| = x$ верно тогда и только тогда, когда число $x$ является неотрицательным, то есть $x \ge 0$.

В нашем случае роль $x$ играет дробь $\frac{m}{n}$. Следовательно, данное в условии равенство выполняется, если $\frac{m}{n} \ge 0$.

По условию задачи $mn \neq 0$, что означает, что ни $m$, ни $n$ не равны нулю. Поэтому их частное $\frac{m}{n}$ также не может быть равно нулю. Таким образом, остается только одно условие: $\frac{m}{n} > 0$.

Дробь положительна в том случае, когда ее числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки. То есть, либо оба числа $m$ и $n$ положительны ($m > 0$ и $n > 0$), либо оба отрицательны ($m < 0$ и $n < 0$).

В обоих случаях числа $m$ и $n$ имеют одинаковые знаки.

Ответ: одинаковые знаки.

б)

Рассмотрим равенство $|\frac{m}{n}| = -\frac{m}{n}$.

По определению модуля (абсолютной величины), равенство $|x| = -x$ верно тогда и только тогда, когда число $x$ является неположительным, то есть $x \le 0$.

В данном случае $x = \frac{m}{n}$. Следовательно, равенство из условия выполняется, если $\frac{m}{n} \le 0$.

Так как по условию $mn \neq 0$, то $m \neq 0$ и $n \neq 0$, а значит и дробь $\frac{m}{n}$ не может быть равна нулю. Таким образом, остается только одно условие: $\frac{m}{n} < 0$.

Дробь отрицательна в том случае, когда ее числитель и знаменатель имеют разные (противоположные) знаки. То есть, либо $m > 0$ и $n < 0$, либо $m < 0$ и $n > 0$.

В обоих случаях числа $m$ и $n$ имеют разные знаки.

Ответ: разные знаки.