Страница 126 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

3.217. Запишите в строчку 5 таких чисел, чтобы сумма любых двух соседних чисел была положительна, а сумма всех чисел была отрицательна.

Обозначим пять искомых чисел как $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5$.

Согласно условию задачи, должны выполняться следующие неравенства:

1. Сумма любых двух соседних чисел положительна:

$a_1 + a_2 > 0$

$a_2 + a_3 > 0$

$a_3 + a_4 > 0$

$a_4 + a_5 > 0$

2. Сумма всех чисел отрицательна:

$S = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 < 0$

Для того чтобы общая сумма была отрицательной, как минимум одно из чисел должно быть отрицательным. Если все числа будут положительными, их сумма также будет положительной. Рассмотрим вариант, когда числа в строчке чередуются по знаку.

Попробуем следующую структуру: три отрицательных числа на нечетных позициях и два положительных числа на четных позициях. Пусть $a_1, a_3, a_5$ будут отрицательными, а $a_2, a_4$ — положительными.

Чтобы сумма соседних чисел была положительной, каждое положительное число должно быть по модулю больше любого из своих отрицательных соседей. То есть:

$a_2 > |a_1|$ и $a_2 > |a_3|$

$a_4 > |a_3|$ и $a_4 > |a_5|$

Чтобы общая сумма всех чисел была отрицательной, сумма модулей всех отрицательных чисел должна быть больше суммы всех положительных чисел:

$|a_1| + |a_3| + |a_5| > a_2 + a_4$

Теперь подберем конкретные значения, удовлетворяющие этим условиям.

Пусть положительные числа будут $a_2 = 11$ и $a_4 = 11$.

Тогда для отрицательных чисел должны выполняться условия:

$11 > |a_1|$, $11 > |a_3|$, $11 > |a_5|$

И при этом $|a_1| + |a_3| + |a_5| > 11 + 11 = 22$.

Мы можем выбрать, например, $a_1 = -10, a_3 = -10, a_5 = -10$.

Проверим эти значения:

$11 > |-10|$ — верно.

$|-10| + |-10| + |-10| = 30$, и $30 > 22$ — тоже верно.

Таким образом, мы получили последовательность чисел: $-10, 11, -10, 11, -10$.

Проверим, соответствует ли эта последовательность условиям задачи:

1. Проверка сумм соседних чисел:

$a_1 + a_2 = -10 + 11 = 1 > 0$

$a_2 + a_3 = 11 + (-10) = 1 > 0$

$a_3 + a_4 = -10 + 11 = 1 > 0$

$a_4 + a_5 = 11 + (-10) = 1 > 0$

Все суммы соседних чисел положительны.

2. Проверка суммы всех чисел:

$S = -10 + 11 + (-10) + 11 + (-10) = 1 + 1 - 10 = -8$

Сумма всех чисел отрицательна ($-8 < 0$).

Оба условия выполнены. Существует множество других решений, например: $5, -7, 5, -7, 5$. Проверим его: $5+(-7)=-2$, что не удовлетворяет условию. Другой пример: $5, -4, 5, -4, 5$. Сумма соседних $5+(-4)=1>0$. Сумма всех чисел $5-4+5-4+5=7>0$, не подходит. Пример, который подходит: $-4, 6, -5, 6, -4$. Суммы соседних: $2, 1, 1, 2$ (все $>0$). Сумма всех: $-4+6-5+6-4 = -1 < 0$.

Ответ: Например, такая строчка чисел: $-10, 11, -10, 11, -10$.

3.218. Можно ли записать в строчку 6 таких чисел, чтобы сумма любых двух соседних чисел была положительна, а сумма всех чисел была отрицательна?

Предположим, что такие 6 чисел существуют. Обозначим их по порядку: $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6$.

По условию задачи, сумма любых двух соседних чисел положительна, то есть:
$a_1 + a_2 > 0$
$a_2 + a_3 > 0$
$a_3 + a_4 > 0$
$a_4 + a_5 > 0$
$a_5 + a_6 > 0$

Также по условию, сумма всех этих чисел отрицательна. Обозначим эту сумму через $S$:
$S = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 < 0$

Рассмотрим сумму $S$, сгруппировав слагаемые в пары соседних чисел:

$S = (a_1 + a_2) + (a_3 + a_4) + (a_5 + a_6)$

Из первого условия мы знаем, что каждая из сумм в скобках — это положительное число. Мы складываем три положительных числа:
первое слагаемое $(a_1 + a_2)$ больше нуля,
второе слагаемое $(a_3 + a_4)$ больше нуля,
третье слагаемое $(a_5 + a_6)$ больше нуля.

Сумма трех положительных чисел всегда является положительным числом, поэтому $S$ должна быть больше нуля ($S > 0$).

Полученное утверждение $S > 0$ противоречит второму условию задачи, которое гласит, что $S < 0$. Так как предположение о существовании таких чисел приводит к противоречию, то таких чисел не существует.

Ответ: Нет, нельзя.

3.219. Можно ли записать в строчку 7 таких чисел, чтобы сумма любых двух соседних чисел была положительна, а сумма всех чисел была отрицательна?

Да, можно. Приведем пример такого набора чисел и покажем, почему он удовлетворяет условиям задачи.

Пусть искомые семь чисел это $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6, a_7$.

Согласно условию, должны выполняться два требования:

1. Сумма любых двух соседних чисел положительна: $a_i + a_{i+1} > 0$ для $i$ от 1 до 6.
2. Сумма всех чисел отрицательна: $S = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7 < 0$.

Рассмотрим сумму всех чисел $S$, сгруппировав слагаемые:

$S = (a_1 + a_2) + (a_3 + a_4) + (a_5 + a_6) + a_7$

Так как суммы в скобках, согласно первому условию, положительны, то для того, чтобы вся сумма $S$ была отрицательной, необходимо, чтобы число $a_7$ было отрицательным.

Теперь сгруппируем слагаемые по-другому:

$S = a_1 + (a_2 + a_3) + (a_4 + a_5) + (a_6 + a_7)$

Аналогично, суммы в скобках положительны, следовательно, чтобы вся сумма $S$ была отрицательной, необходимо, чтобы число $a_1$ было отрицательным.

Итак, мы выяснили, что как минимум первое и последнее числа в такой последовательности должны быть отрицательными. Это наводит на мысль о построении последовательности, в которой числа чередуются по знаку. Попробуем построить такую последовательность, где числа на нечетных местах отрицательны, а на четных — положительны.

Пусть числа на нечетных местах равны $x$, а на четных — $y$. Тогда последовательность выглядит так: $x, y, x, y, x, y, x$.

Для выполнения условий задачи нам нужно подобрать такие $x$ и $y$.

Из того, что числа на нечетных местах отрицательны, а на четных — положительны, следует: $x < 0$ и $y > 0$.

1. Проверка условия о сумме соседних чисел:

Все соседние пары чисел в нашей последовательности — это $(x, y)$. Значит, их сумма должна быть положительной:

$x + y > 0 \implies y > -x$

2. Проверка условия о сумме всех чисел:

В последовательности 4 числа, равных $x$, и 3 числа, равных $y$. Их общая сумма должна быть отрицательной:

$4x + 3y < 0 \implies 3y < -4x \implies y < -\frac{4}{3}x$

Таким образом, нам нужно найти такие числа $x$ и $y$, которые удовлетворяют системе неравенств:

$\begin{cases} x < 0 \\ y > 0 \\ y > -x \\ y < -\frac{4}{3}x \end{cases}$

Объединив последние два неравенства, получим: $-x < y < -\frac{4}{3}x$.

Найдем конкретные значения. Пусть $x = -4$. Тогда для $y$ получаем:

$-(-4) < y < -\frac{4}{3}(-4)$

$4 < y < \frac{16}{3}$

$4 < y < 5.33...$

Мы можем выбрать любое число из этого интервала, например, $y = 5$.

Итак, мы получили последовательность: -4, 5, -4, 5, -4, 5, -4.

Проверим ее:

• Сумма любых двух соседних чисел: $-4 + 5 = 1$. Это число больше нуля. Условие выполнено.
• Сумма всех чисел: $4 \times (-4) + 3 \times 5 = -16 + 15 = -1$. Это число меньше нуля. Условие выполнено.

Таким образом, искомый набор чисел существует.

Ответ: Да, можно. Например, последовательность чисел: -4, 5, -4, 5, -4, 5, -4.

3.220. Можно ли записать в строчку 9 таких чисел, чтобы сумма любых трёх соседних чисел была положительна, а сумма всех чисел была отрицательна?

Предположим, что такие числа существуют. Обозначим их последовательность как $a_1, a_2, a_3, \dots, a_9$.

Согласно условиям задачи:
1. Сумма любых трёх соседних чисел положительна.
2. Сумма всех девяти чисел отрицательна.

Запишем сумму всех девяти чисел $S$:
$S = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7 + a_8 + a_9$

Мы можем сгруппировать слагаемые в этой сумме по три последовательных числа. Существует несколько способов это сделать, но самый простой — разбить всю последовательность на три непересекающиеся тройки:
$S = (a_1 + a_2 + a_3) + (a_4 + a_5 + a_6) + (a_7 + a_8 + a_9)$

По первому условию задачи, каждая из сумм в скобках должна быть положительной, так как каждая из них является суммой трёх соседних чисел:
$a_1 + a_2 + a_3 > 0$
$a_4 + a_5 + a_6 > 0$
$a_7 + a_8 + a_9 > 0$

Таким образом, общая сумма $S$ является суммой трёх положительных чисел. Сумма положительных чисел всегда положительна, то есть $S > 0$.

Это заключение ($S > 0$) противоречит второму условию задачи, которое гласит, что сумма всех чисел должна быть отрицательной ($S < 0$). Поскольку мы пришли к противоречию, наше первоначальное предположение о том, что такие числа существуют, неверно.

Ответ: нет, нельзя.

3.221. Можно ли расставить в клетках таблицы, состоящей из трёх строк и четырёх столбцов, целые числа так, чтобы сумма чисел:

а) в каждой строке была равна $-20$, а в каждом столбце $-15$;

б) в каждой строке была равна $-20$, а в каждом столбце $-16$;

в) в каждой строке была положительной, а в каждом столбце — отрицательной?

Да, можно. Чтобы определить, возможно ли это, нужно проверить, совпадает ли общая сумма всех чисел в таблице, посчитанная по строкам, с суммой, посчитанной по столбцам.

Сумма всех чисел, если считать по строкам (3 строки, сумма в каждой -20):
$S_{строк} = 3 \times (-20) = -60$.

Сумма всех чисел, если считать по столбцам (4 столбца, сумма в каждом -15):
$S_{столбцов} = 4 \times (-15) = -60$.

Так как $S_{строк} = S_{столбцов}$, такое расположение чисел возможно. Простейший пример — заполнить все ячейки таблицы одним и тем же числом $x$. Тогда сумма в каждой строке будет $4x$, а в каждом столбце — $3x$. Из условий задачи получаем:

$4x = -20 \Rightarrow x = -5$

$3x = -15 \Rightarrow x = -5$

Поскольку значение $x$ совпадает, можно заполнить все ячейки числом -5. Вот пример такой таблицы:

В этой таблице сумма чисел в каждой строке равна $4 \times (-5) = -20$, а сумма чисел в каждом столбце равна $3 \times (-5) = -15$.

Ответ: да, можно.

Нет, нельзя. Вычислим общую сумму всех чисел в таблице двумя способами, как и в предыдущем пункте.

Сумма по строкам (3 строки, сумма в каждой -20):
$S_{строк} = 3 \times (-20) = -60$.

Сумма по столбцам (4 столбца, сумма в каждом -16):
$S_{столбцов} = 4 \times (-16) = -64$.

Сумма всех элементов таблицы, вычисленная по строкам ($-60$), не равна сумме, вычисленной по столбцам ($-64$). Это является противоречием, так как общая сумма всех чисел в таблице должна быть одной и той же, независимо от способа подсчета. Следовательно, расставить числа требуемым образом невозможно.

Ответ: нет, нельзя.

Нет, нельзя. Пусть $S$ — это общая сумма всех чисел в таблице. Рассмотрим эту сумму с двух точек зрения.

1. Суммирование по строкам. По условию, сумма чисел в каждой из трёх строк является положительной. Так как все числа в таблице целые, то и их сумма в каждой строке — целое число. Минимальное положительное целое число — это 1. Таким образом, сумма в каждой строке не меньше 1. Тогда общая сумма всех чисел в таблице:
$S = (\text{сумма 1-й строки}) + (\text{сумма 2-й строки}) + (\text{сумма 3-й строки}) \ge 1 + 1 + 1 = 3$.
Значит, общая сумма $S$ должна быть положительным числом.

2. Суммирование по столбцам. По условию, сумма чисел в каждом из четырёх столбцов является отрицательной. Поскольку числа целые, сумма в каждом столбце — целое отрицательное число, то есть не больше -1. Тогда общая сумма всех чисел в таблице:
$S = (\text{сумма 1-го столбца}) + ... + (\text{сумма 4-го столбца}) \le (-1) + (-1) + (-1) + (-1) = -4$.
Значит, общая сумма $S$ должна быть отрицательным числом.

Мы пришли к противоречию: общая сумма всех чисел $S$ должна быть одновременно положительной ($S \ge 3$) и отрицательной ($S \le -4$), что невозможно. Следовательно, так расставить числа нельзя.

Ответ: нет, нельзя.

3.222. В строчку записаны несколько чисел так, что сумма любых трёх соседних чисел положительна. Можно ли утверждать, что сумма всех чисел положительна, если чисел:

а) 18;

б) 19;

в) 20?

а)

Пусть дан ряд из 18 чисел: $a_1, a_2, \dots, a_{18}$.Нам нужно определить, будет ли их сумма $S_{18} = a_1 + a_2 + \dots + a_{18}$ всегда положительной.Поскольку количество чисел (18) делится на 3, мы можем сгруппировать все числа в тройки, не пересекающиеся между собой:$S_{18} = (a_1 + a_2 + a_3) + (a_4 + a_5 + a_6) + \dots + (a_{16} + a_{17} + a_{18})$.Каждая из этих групп, например $(a_1 + a_2 + a_3)$ или $(a_4 + a_5 + a_6)$, является суммой трёх соседних (последовательных) чисел.По условию задачи, сумма любых трёх соседних чисел положительна.Следовательно, каждая из 6 скобок в выражении для $S_{18}$ является положительным числом.Сумма шести положительных чисел всегда будет положительным числом.Таким образом, можно утверждать, что сумма всех 18 чисел положительна.
Ответ: да, можно.

б)

Рассмотрим ряд из 19 чисел: $a_1, a_2, \dots, a_{19}$.Количество чисел (19) не делится на 3. Попробуем построить контрпример, то есть найти такую последовательность чисел, которая удовлетворяет условию задачи, но её общая сумма не является положительной.Рассмотрим последовательность, построенную на повторении блока из трёх чисел: $x, y, z$. Чтобы выполнялось условие задачи, достаточно, чтобы сумма чисел в блоке была положительной: $x+y+z > 0$.Пусть $x+y+z = 1$.Последовательность из 19 чисел будет состоять из 6 полных блоков $(x, y, z)$ и одного числа $x$ в конце.Сумма всех 19 чисел будет равна:$S_{19} = 6 \cdot (x+y+z) + x$.Подставив $x+y+z = 1$, получим $S_{19} = 6 \cdot 1 + x = 6+x$.Мы хотим, чтобы эта сумма была не положительной, то есть $S_{19} \le 0$.$6+x \le 0 \implies x \le -6$.Выберем $x = -7$.Теперь найдем $y$ и $z$ из условия $x+y+z=1$:$-7 + y + z = 1 \implies y+z=8$.Можно взять, например, $y=10$ и $z=-2$.Таким образом, мы получили блок чисел $(-7, 10, -2)$. Сумма этих чисел равна $1$, что больше нуля.Последовательность будет выглядеть так: $-7, 10, -2, -7, 10, -2, \dots, -7, 10, -2, -7$.Сумма любых трёх её соседних членов равна 1, так что условие задачи выполняется.При этом сумма всех 19 чисел равна $S_{19} = 6 \times 1 + (-7) = -1$.Сумма отрицательна. Следовательно, утверждать, что сумма всех чисел положительна, нельзя.
Ответ: нет, нельзя.

в)

Рассмотрим ряд из 20 чисел: $a_1, a_2, \dots, a_{20}$.Количество чисел (20) не делится на 3. Как и в предыдущем пункте, построим контрпример.Возьмём периодическую последовательность с блоком из трёх чисел $x, y, z$, где $x+y+z > 0$.Последовательность из 20 чисел будет состоять из 6 полных блоков $(x, y, z)$ и первых двух чисел следующего блока: $x$ и $y$.Сумма всех 20 чисел будет равна:$S_{20} = 6 \cdot (x+y+z) + x + y$.Мы хотим найти такие $x, y, z$, чтобы $x+y+z>0$ и $S_{20} \le 0$.Пусть $x+y+z = \epsilon$, где $\epsilon$ — некоторое малое положительное число.Тогда $S_{20} = 6\epsilon + x+y$. Нам нужно, чтобы $6\epsilon + x+y \le 0$.Из $x+y+z=\epsilon$ следует, что $x+y = \epsilon-z$.Подставим это в неравенство: $6\epsilon + (\epsilon-z) \le 0 \implies 7\epsilon \le z$.Выберем $\epsilon = 1$. Тогда нам нужно, чтобы $z \ge 7$.Пусть $z=8$.Из $x+y+z=1$ получаем $x+y+8=1 \implies x+y=-7$.Можно взять, например, $x=3$ и $y=-10$.Получаем блок чисел $(3, -10, 8)$. Сумма этих чисел равна $1 > 0$.Последовательность: $3, -10, 8, 3, -10, 8, \dots$. Сумма любых трёх соседних членов равна 1.Сумма всех 20 чисел равна $S_{20} = 6 \times 1 + 3 + (-10) = 6 - 7 = -1$.Сумма отрицательна. Следовательно, и в этом случае утверждать, что сумма всех чисел положительна, нельзя.
Ответ: нет, нельзя.

3.223. В непрозрачном мешке лежат 10 белых и 5 чёрных шаров. Какое наименьшее число шаров нужно вынуть из мешка не глядя, чтобы среди них было 2 шара:

а) белых;

б) чёрных;

в) разных цветов;

г) одного цвета?

В этой задаче мы будем использовать принцип наихудшего случая, чтобы найти минимальное количество шаров, которое нужно вынуть для гарантии определённого результата. В мешке 10 белых и 5 чёрных шаров.

а) белых;
Чтобы гарантированно вынуть 2 белых шара, нужно рассмотреть самый неблагоприятный сценарий. В худшем случае мы сначала будем вытаскивать все шары другого цвета, то есть все 5 чёрных шаров. После того как мы вынем 5 чёрных шаров, в мешке останутся только белые. Следовательно, следующие два шара, которые мы вынем, обязательно будут белыми.
Таким образом, наименьшее число шаров, которое нужно вынуть, равно сумме всех чёрных шаров и требуемого количества белых шаров:
$5 \text{ (чёрных)} + 2 \text{ (белых)} = 7$ шаров.
Ответ: 7

б) чёрных;
Аналогично предыдущему пункту, рассмотрим наихудший сценарий для получения 2 чёрных шаров. В этом случае мы сначала вытащим все шары другого цвета, то есть все 10 белых шаров. После этого в мешке останутся только чёрные. Чтобы получить 2 чёрных шара, нам нужно вынуть ещё 2 шара, и они гарантированно будут чёрными.
Следовательно, наименьшее число шаров, которое нужно вынуть, равно:
$10 \text{ (белых)} + 2 \text{ (чёрных)} = 12$ шаров.
Ответ: 12

в) разных цветов;
Чтобы гарантированно вынуть 2 шара разных цветов (то есть хотя бы один белый и один чёрный), нужно рассмотреть наихудший сценарий. Худший случай — это когда мы вытаскиваем максимально возможное количество шаров одного цвета, прежде чем попадётся шар другого цвета. Мы должны выбрать цвет, шаров которого больше всего, — в данном случае это белый (10 шаров).
Итак, в худшем случае мы вынем все 10 белых шаров. Следующий, 11-й шар, который мы вытащим, обязательно будет чёрным, так как белых шаров в мешке не осталось. Таким образом, после извлечения 11 шаров у нас будет 10 белых и 1 чёрный, что удовлетворяет условию.
$10 \text{ (максимальное количество шаров одного цвета)} + 1 = 11$ шаров.
Ответ: 11

г) одного цвета?
Чтобы гарантированно вынуть 2 шара одного цвета (либо 2 белых, либо 2 чёрных), воспользуемся принципом Дирихле. В данном случае у нас есть 2 "ящика" — это цвета (белый и чёрный).
В худшем случае, чтобы не получить пару одного цвета, мы вынем по одному шару каждого цвета. То есть, первый шар будет, например, белым, а второй — чёрным. После того как мы вынули 2 шара (по одному каждого цвета), третий шар, который мы вынем, неизбежно будет либо белым (и составит пару с первым белым), либо чёрным (и составит пару со вторым чёрным).
Таким образом, достаточно вынуть 3 шара, чтобы среди них гарантированно нашлись два шара одного цвета.
$2 \text{ (количество цветов)} + 1 = 3$ шара.
Ответ: 3

3.224. В непрозрачном мешке лежат 679 белых и 679 чёрных шаров. Какое наименьшее число шаров нужно вынуть из мешка не глядя, чтобы среди них было 2 шара:

а) белых;

б) чёрных;

в) разных цветов;

г) одного цвета?

а) белых;
Чтобы гарантированно вынуть 2 белых шара, необходимо рассмотреть самый неблагоприятный (худший) сценарий. Худший случай заключается в том, что мы сначала вынем все шары другого цвета. В мешке 679 чёрных шаров. Если мы вынем их все, у нас всё ещё не будет ни одного белого шара. После этого в мешке останутся только белые шары, и следующие два шара, которые мы достанем, будут гарантированно белыми. Таким образом, наименьшее число шаров, которое нужно вынуть, равно:
$679 \text{ (все чёрные шары)} + 2 \text{ (белых шара)} = 681$
Ответ: 681.

б) чёрных;
Данный случай полностью аналогичен предыдущему. Чтобы гарантированно вынуть 2 чёрных шара, мы должны предположить, что в худшем случае сначала нам будут попадаться все 679 белых шаров. После того как мы их вынем, в мешке останутся только чёрные. Следующие два шара обязательно будут чёрными. Следовательно, необходимо вынуть:
$679 \text{ (все белые шары)} + 2 \text{ (чёрных шара)} = 681$
Ответ: 681.

в) разных цветов;
Чтобы гарантированно вынуть 2 шара разных цветов, рассмотрим худший сценарий, при котором мы как можно дольше вынимаем шары одного цвета. Максимальное количество шаров одного цвета, которое можно вынуть подряд, — это 679 (например, все белые). После того как мы вынем 679 шаров одного цвета, в мешке останутся только шары другого цвета (в нашем примере — чёрные). Поэтому следующий, 680-й шар, обязательно будет другого цвета. Таким образом, среди 680 вынутых шаров гарантированно окажутся шары разных цветов.
$679 \text{ (шаров одного цвета)} + 1 \text{ (шар другого цвета)} = 680$
Ответ: 680.

г) одного цвета?
Чтобы гарантированно вынуть 2 шара одного цвета (то есть либо два белых, либо два чёрных), рассмотрим наихудший вариант, который оттягивает появление такой пары.
1. Вынимаем первый шар. Он может быть, например, белым.
2. Вынимаем второй шар. В худшем случае он будет другого цвета — чёрный. Теперь у нас на руках два шара разных цветов.
3. Вынимаем третий шар. Он может быть либо белым, либо чёрным. Если он белый, то у нас образуется пара белых шаров (вместе с первым шаром). Если он чёрный — пара чёрных (вместе со вторым шаром). В любом случае, после извлечения третьего шара у нас гарантированно будет два шара одного цвета. Это следует из принципа Дирихле: имея 2 цвета ("ящика"), достаточно вынуть 3 шара ("предмета"), чтобы как минимум два из них оказались одного цвета.
$2 \text{ (цвета)} + 1 = 3$
Ответ: 3.

3.225. Имеется 3 комнаты с разными замками и 3 ключа от этих комнат. Какое наименьшее число проб нужно сделать, чтобы определить, какой ключ от какой комнаты?

Чтобы гарантированно определить, какой ключ от какой комнаты, необходимо рассмотреть худший из возможных сценариев. Наша цель — найти минимальное число проб, достаточное для решения задачи в любом случае. Обозначим комнаты как K1, K2, K3, а ключи — A, B, C.

Рассмотрим следующую пошаговую стратегию:

Шаг 1: Определение ключа для первой комнаты

Возьмем один любой ключ, например, ключ А, и попробуем открыть им одну любую комнату, например, К1.
- Если ключ А подошел — отлично, мы нашли одно соответствие за 1 пробу.
- Если ключ А не подошел, мы берем этот же ключ А и пробуем открыть им следующую комнату, К2.
Теперь рассмотрим все исходы после максимум двух проб:
1. Ключ А подошел к комнате К1 (затрачена 1 проба). Мы знаем пару А-К1.
2. Ключ А не подошел к К1, но подошел к К2 (затрачено 2 пробы). Мы знаем пару А-К2.
3. Ключ А не подошел ни к К1, ни к К2 (затрачено 2 пробы). Методом исключения мы понимаем, что ключ А предназначен для комнаты К3. Мы знаем пару А-К3.
Таким образом, в худшем случае нам потребуется 2 пробы, чтобы однозначно определить, какой комнате принадлежит первый взятый ключ.

Шаг 2: Определение ключей для оставшихся комнат

После первого шага, в худшем случае, мы потратили 2 пробы и определили одну пару ключ-комната (например, А-К3). У нас осталось 2 комнаты (К1, К2) и 2 неизвестных ключа (B, C).
Теперь нам нужно сделать всего одну дополнительную пробу. Возьмем ключ B и попробуем открыть им комнату К1.
- Если ключ B подошел к К1 (это наша третья проба в общем счете), то мы знаем пару B-К1. Оставшийся ключ C, очевидно, подходит к оставшейся комнате К2. Все соответствия найдены.
- Если ключ B не подошел к К1, то мы знаем, что он предназначен для другой оставшейся комнаты — К2. То есть B-К2. Тогда ключ C подходит к комнате К1. Все соответствия также найдены.
Следовательно, всего одна проба на этом шаге позволяет нам определить две оставшиеся пары.

Итог

Суммируя количество проб в худшем случае на каждом шаге, получаем минимальное число, которое гарантирует решение задачи:
$2$ (пробы для первого ключа) + $1$ (проба для второго ключа) = $3$ пробы.
За 3 пробы мы гарантированно определим все соответствия. Меньшим числом проб обойтись нельзя. Например, после двух неудачных попыток (ключ А не подошел к К1, а ключ B не подошел к К2) все еще остаются два возможных варианта распределения ключей, и однозначного ответа нет.

Ответ: 3