Номер 3.219, страница 126 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 3. Целые числа. Дополнения к главе 3. Занимательные задачи - номер 3.219, страница 126.

Условие.

3.219. Можно ли записать в строчку 7 таких чисел, чтобы сумма любых двух соседних чисел была положительна, а сумма всех чисел была отрицательна?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Да, можно. Приведем пример такого набора чисел и покажем, почему он удовлетворяет условиям задачи.

Пусть искомые семь чисел это $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6, a_7$.

Согласно условию, должны выполняться два требования:

1. Сумма любых двух соседних чисел положительна: $a_i + a_{i+1} > 0$ для $i$ от 1 до 6.
2. Сумма всех чисел отрицательна: $S = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7 < 0$.

Рассмотрим сумму всех чисел $S$, сгруппировав слагаемые:

$S = (a_1 + a_2) + (a_3 + a_4) + (a_5 + a_6) + a_7$

Так как суммы в скобках, согласно первому условию, положительны, то для того, чтобы вся сумма $S$ была отрицательной, необходимо, чтобы число $a_7$ было отрицательным.

Теперь сгруппируем слагаемые по-другому:

$S = a_1 + (a_2 + a_3) + (a_4 + a_5) + (a_6 + a_7)$

Аналогично, суммы в скобках положительны, следовательно, чтобы вся сумма $S$ была отрицательной, необходимо, чтобы число $a_1$ было отрицательным.

Итак, мы выяснили, что как минимум первое и последнее числа в такой последовательности должны быть отрицательными. Это наводит на мысль о построении последовательности, в которой числа чередуются по знаку. Попробуем построить такую последовательность, где числа на нечетных местах отрицательны, а на четных — положительны.

Пусть числа на нечетных местах равны $x$, а на четных — $y$. Тогда последовательность выглядит так: $x, y, x, y, x, y, x$.

Для выполнения условий задачи нам нужно подобрать такие $x$ и $y$.

Из того, что числа на нечетных местах отрицательны, а на четных — положительны, следует: $x < 0$ и $y > 0$.

1. Проверка условия о сумме соседних чисел:

Все соседние пары чисел в нашей последовательности — это $(x, y)$. Значит, их сумма должна быть положительной:

$x + y > 0 \implies y > -x$

2. Проверка условия о сумме всех чисел:

В последовательности 4 числа, равных $x$, и 3 числа, равных $y$. Их общая сумма должна быть отрицательной:

$4x + 3y < 0 \implies 3y < -4x \implies y < -\frac{4}{3}x$

Таким образом, нам нужно найти такие числа $x$ и $y$, которые удовлетворяют системе неравенств:

$\begin{cases} x < 0 \\ y > 0 \\ y > -x \\ y < -\frac{4}{3}x \end{cases}$

Объединив последние два неравенства, получим: $-x < y < -\frac{4}{3}x$.

Найдем конкретные значения. Пусть $x = -4$. Тогда для $y$ получаем:

$-(-4) < y < -\frac{4}{3}(-4)$

$4 < y < \frac{16}{3}$

$4 < y < 5.33...$

Мы можем выбрать любое число из этого интервала, например, $y = 5$.

Итак, мы получили последовательность: -4, 5, -4, 5, -4, 5, -4.

Проверим ее:

• Сумма любых двух соседних чисел: $-4 + 5 = 1$. Это число больше нуля. Условие выполнено.
• Сумма всех чисел: $4 \times (-4) + 3 \times 5 = -16 + 15 = -1$. Это число меньше нуля. Условие выполнено.

Таким образом, искомый набор чисел существует.

Ответ: Да, можно. Например, последовательность чисел: -4, 5, -4, 5, -4, 5, -4.