Номер 3.215, страница 124 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Дополнения к главе 3. Фигуры на плоскости, симметричные относительно точки. Глава 3. Целые числа - номер 3.215, страница 124.

Условие.

3.215. Из прямоугольника вырезали квадрат (рис. 66). Постройте прямую, которая делит площадь закрашенной фигуры пополам.

Рис. 66

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения этой задачи воспользуемся свойством центральной симметрии: любая прямая, проходящая через центр симметрии фигуры, делит ее площадь пополам.

Обоснование

Пусть $S_R$ — площадь прямоугольника, а $C_R$ — его центр симметрии (точка пересечения диагоналей). Пусть $S_Q$ — площадь вырезанного квадрата, а $C_Q$ — его центр симметрии (точка пересечения диагоналей). Площадь закрашенной фигуры равна $S = S_R - S_Q$.

Рассмотрим прямую $l$, проходящую через оба центра $C_R$ и $C_Q$.

• Поскольку прямая $l$ проходит через центр прямоугольника $C_R$, она делит площадь прямоугольника на две равные части, каждая площадью $\frac{S_R}{2}$.
• Поскольку прямая $l$ проходит через центр квадрата $C_Q$, она делит площадь квадрата на две равные части, каждая площадью $\frac{S_Q}{2}$.

Следовательно, прямая $l$ разделит закрашенную фигуру на две части. Площадь каждой из этих частей будет равна разности площадей половинки прямоугольника и половинки квадрата, то есть:

$$ \frac{S_R}{2} - \frac{S_Q}{2} = \frac{S_R - S_Q}{2} = \frac{S}{2} $$

Таким образом, прямая, проведенная через центры прямоугольника и квадрата, делит площадь закрашенной фигуры пополам.

Построение

1. Находим центр симметрии прямоугольника, проведя его диагонали. Обозначим эту точку $C_R$.
2. Находим центр симметрии вырезанного квадрата, проведя его диагонали. Обозначим эту точку $C_Q$.
3. Проводим прямую через точки $C_R$ и $C_Q$. Эта прямая и будет искомой.

На рисунке ниже показано это построение. Красным цветом обозначен центр прямоугольника $C_R$, синим — центр квадрата $C_Q$. Искомая прямая проведена через эти две точки.

Ответ: Искомая прямая — это прямая, проходящая через центры симметрии исходного прямоугольника и вырезанного квадрата.