Номер 3.211, страница 124 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Дополнения к главе 3. Фигуры на плоскости, симметричные относительно точки. Глава 3. Целые числа - номер 3.211, страница 124.

Условие.

3.211. Постройте круг с центром $O$. Отметьте внутри круга точку $M$. Постройте точку $N$, симметричную точке $M$ относительно точки $O$. Верно ли, что круг симметричен относительно своего центра?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Выполним по шагам все действия, указанные в задаче.

1. С помощью циркуля построим круг с центром в точке O и произвольным радиусом R.

2. Внутри этого круга отметим произвольную точку M. Так как точка M находится внутри круга, расстояние от центра O до точки M меньше радиуса круга: $OM < R$.

3. Для построения точки N, симметричной точке M относительно центра O, проведем прямую через точки M и O. На этой прямой отложим от точки O отрезок ON, равный по длине отрезку OM, так, чтобы точка O оказалась серединой отрезка MN. Построенная точка N и будет искомой.

Поскольку по построению $ON = OM$, а мы знаем, что $OM < R$, то отсюда следует, что и $ON < R$. Это означает, что точка N также лежит внутри круга.

Верно ли, что круг симметричен относительно своего центра?

Да, это утверждение верно.

Фигура называется симметричной относительно точки (центра симметрии), если для каждой точки, принадлежащей фигуре, симметричная ей точка относительно этого центра также принадлежит данной фигуре.

Рассмотрим произвольную точку M, принадлежащую кругу с центром O и радиусом R. По определению круга, расстояние от любой его точки до центра не превышает радиус, то есть $OM \le R$.

Пусть N — точка, симметричная точке M относительно центра O. По определению центральной симметрии, точка O является серединой отрезка MN, и, следовательно, длины отрезков OM и ON равны: $ON = OM$.

Так как $OM \le R$, то из равенства следует, что и $ON \le R$. Это означает, что точка N также принадлежит кругу, так как расстояние от неё до центра не превышает радиус.

Поскольку точка M была выбрана произвольно, это рассуждение справедливо для любой точки круга. Следовательно, круг симметричен относительно своего центра.

Ответ: Да, верно.