Номер 3.209, страница 123 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Дополнения к главе 3. Фигуры на плоскости, симметричные относительно точки. Глава 3. Целые числа - номер 3.209, страница 123.

Условие.

3.209. Докажите, что любая прямая, проходящая через центр симметрии фигуры, делит её на две равные части.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Пусть $F$ — заданная фигура, а точка $O$ — её центр симметрии. Пусть $l$ — произвольная прямая, проходящая через точку $O$. Прямая $l$ разделяет плоскость на две полуплоскости. Соответственно, фигура $F$ также делится этой прямой на две части, назовём их $F_1$ и $F_2$. Нам необходимо доказать, что эти части равны, то есть $F_1$ и $F_2$ конгруэнтны.

По определению, точка $O$ является центром симметрии фигуры $F$, если для любой точки $A$ фигуры $F$ точка $A'$, симметричная $A$ относительно центра $O$, также принадлежит фигуре $F$. Преобразование центральной симметрии с центром в точке $O$, обозначим его $S_O$, отображает фигуру $F$ на саму себя, то есть $S_O(F) = F$.

Центральная симметрия является движением (изометрией), так как она сохраняет расстояния между точками. Две фигуры называются равными (конгруэнтными), если существует движение, которое переводит одну фигуру в другую.

Рассмотрим, как преобразование $S_O$ действует на часть $F_1$. Возьмём произвольную точку $A \in F_1$. Так как $F_1$ является частью $F$, то $A \in F$. По определению центра симметрии, точка $A' = S_O(A)$ также принадлежит фигуре $F$.

Точки $A$, $O$ и $A'$ лежат на одной прямой, причём $O$ — середина отрезка $AA'$. Поскольку прямая $l$ проходит через центр симметрии $O$, точка $A'$ будет лежать в другой полуплоскости относительно прямой $l$ по сравнению с точкой $A$ (за исключением случая, когда $A$ лежит на самой прямой $l$, тогда $A'$ также будет лежать на $l$). Это означает, что образ любой точки из части $F_1$ при симметрии $S_O$ будет принадлежать части $F_2$. Таким образом, преобразование $S_O$ отображает часть $F_1$ на часть $F_2$, то есть $S_O(F_1) = F_2$.

Поскольку существует движение (центральная симметрия $S_O$), которое отображает часть $F_1$ на часть $F_2$, то по определению равных фигур, эти части равны.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Центральная симметрия относительно центра фигуры является движением, которое переводит одну из частей, образованных прямой, в другую, следовательно, эти части равны.